精品解析：贵州省贵阳市中央民族大学附属中学贵阳学校2025-2026学年九年级上学期数学期末练习题

2025—2026学年度第一学期九年级期末练习测 数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）本题包括12个小题，每小题3分，共36分． 1. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移个单位后所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 4. 在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点．若是的中点，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 6. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶．若设每瓶沙棘汁降价元，且超市想通过销售该种沙棘汁获得630元的销售收入，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为，，转化成十进制数分别为，，则十进制数6用八卦符号表示是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（　　） A. （1，0） B. （，0） C. （，0） D. （2，0） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上．将直线沿y轴向上平移后的直线与y轴交于点B，与此反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共114分） 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 已知方程的两根为，则的值为_____________． 14. 如图，在中，，则的长为_____________． 15. 已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 16. 如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）下面是小星同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母， 得．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步 经检验：不是分式方程的解．．．．．．第三步 该方程无解．．．．．．．．．．．．． ．第四步 ①第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； ②请写出解该方程的正确过程． 18. 2025年我国进入科技创新爆发期，创新指数跃居全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等领域取得多项世界级突破．为激发青少年科学热情，某校开展了“逐梦科技强国”主题活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在B组的有多少人； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 19. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．若，求的值． 21. 如图，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折痕交于点E，交于点F，与对角线交于点O，，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 24. 如图在平面直角坐标系中，点在抛物线上，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，当轴时，连接，已知点M为线段上的一个点，过点M作直线轴交抛物线于点N；当点M的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）若，将该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分记为图象G，设图象G的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，当时，请求出m的取值范围． 25. 【问题提出】小丽在上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证． 【问题探究】 （1）小丽先选择了几个特殊图形进行验证，如图，请你在三个图形中任选两个，分别作一条直线，使这条直线既平分你所选图形的周长，又平分它的面积； （2）如图，小丽在直角三角形中，作出一条直线，交于点E、交于点F，直线既平分的周长，又平分的面积．请根据小丽所给的数据计算：若，，，，用含有a的代数式表示 ，并求a的值； 【问题解决】 （3）小丽家所在小区平面示意图如图，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到，，，，，．若该道路的一个出口在边上，请帮小丽在图中画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级期末练习测 数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）本题包括12个小题，每小题3分，共36分． 1. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 2. 将抛物线向右平移个单位后所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得原抛物线的顶点，根据点平移的规律可得新抛物线的顶点，利用顶点式及平移不改变二次项的系数可得新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向右平移个单位， ∴新抛物线的顶点为， 设新抛物线的解析式为：，代入得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像的平移．二次函数图像的平移，看顶点的平移即可，二次函数的平移不改变二次项的系数．得到平移前后的顶点是解题的关键．也考查了二次函数的顶点式，点的坐标平移变化规律：（1）将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变；（2）将点向右（或向上）)平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就增加几个单位长度；将点向左（或向下）平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就减少几个单位长度． 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：D． 4. 在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率成为解题的关键． 根据表格中的数据即可解答． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大约是． 故选C． 5. 如图，菱形的周长为20，对角线，相交于点．若是的中点，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得的长． 【详解】解：∵菱形的周长为20， ∴，且O为的中点， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选：B． 6. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：D． 7. 如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在中，，， ． 故选：B． 8. 山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶．若设每瓶沙棘汁降价元，且超市想通过销售该种沙棘汁获得630元的销售收入，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列方程解应用题，代数式的表示及对实际问题的理解和分析．先分析降价x元后的售价，再分析降价x元后的销售量，最后根据“销售收入=售价×销售量”列出方程即可． 【详解】解：设每瓶沙棘汁降价x元，则降价后的售价为元， ∵当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，且售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶， ∴现在每瓶降价x元，则降价的次数为次， 每次多销售5瓶，则多销售的瓶数为瓶， ∴降价x元后的销售量为瓶， ∴根据题意可列方程为， 故选：B． 9. 已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下． 点到对称轴的距离分别为： ． ∵抛物线的开口向下， ∴距离越大函数值越小． ∴． 故选 C． 10. 第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为，，转化成十进制数分别为，，则十进制数6用八卦符号表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解二进制数换算为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据十进制数换算成二进制数的方法计算即可． 【详解】解： ∴十进制数6换算成二进制数为 ∴用八卦符号表示是： ． 故选：C． 11. 如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（　　） A. （1，0） B. （，0） C. （，0） D. （2，0） 【答案】C 【解析】 【分析】根据点D的画法可得出AD平分∠OAB，由角平分线的性质结合相似三角形的性质可得出∠OBA＝∠OAB，利用二角互补即可求出∠OBA＝∠OAP＝30°，通过解含30度角的直角三角形即可得出点P的坐标． 【详解】解：由点D的画法可知AD平分∠OAB． ∵△OPA∽△OAB， ∴∠OAP＝∠OBA＝∠OAB． ∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OAB＝90°， ∴∠OAB＝60°，∠OAP＝30°， ∴AP＝2OP． 在Rt△OAP中，∠AOP＝90°，OA＝2， ， ∴OP＝， ∴点P的坐标为（，0）． 故选C． 【点睛】本题考查了基本作图、角平分线的性质、相似三角形的性质以及解含30度角的直角三角形，求出∠OAP＝30°是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上．将直线沿y轴向上平移后的直线与y轴交于点B，与此反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，根据题意可得，再求出反比例函数解析式，然后根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵将直线沿y轴向上平移后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的横坐标为，， 把代入，得： ， 即， ∴， ∴点D的坐标为． 故选：D 第II卷（非选择题 共114分） 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 已知方程的两根为，则的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握此内容是关键；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积． 【详解】解：对于一元二次方程，两根之积． 本题中，，所以． 故答案为：． 14. 如图，在中，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握锐角三角函数的概念是关键；过点A作于点D；在中由余弦函数关系求得，由正弦函数关系求得；在中由，设，则，由勾股定理求得，进而求得x的值，即可求得，由可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D； 在中，，，， ∴，； 在中，， 设，则，由勾股定理得， ∴， 解得：， 即， ∴； 故答案为：． 15. 已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围． 【详解】解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当，且时，；当，且时，； 综上，当，则x的取值范围是或； 故答案为：或． 16. 如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 由矩形的性质以及中点的定义可得，即，进而得到；再根据正切的定义可得 、，再运用勾股定理得到；如图：过G作垂直于I，则，易得，设，则，再证，运用相似三角形的性质列比例式可得，即，则，易得、；在和中运用勾股定理可得①；同理可得：②；最后联立即可解答． 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴，， ∵点F为边BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴ 如图：过G作垂直于I，则 ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图：连接， 设，则， 在中，， 在中，， ∴①； 同理可得：②； ①②联立可得：，（已舍弃负值）． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）下面是小星同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母， 得．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步 经检验：不是分式方程的解．．．．．．第三步 该方程无解．．．．．．．．．．．．． ．第四步 ①第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； ②请写出解该方程的正确过程． 【答案】（1）； （2）①，去分母时，等号右边漏乘最简公分母（意思相近即可）； ②解：去分母，得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 该方程的解为． 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角三角函数值的实数运算及分式方程的解法， （1）先算算术平方根、绝对值及特殊角的三角函数，再合并即可； （2）根据解分式方程的方法指出问题并解出方程即可； 【详解】解：（1） ． （2）①，去分母时，等号右边漏乘最简公分母（意思相近即可）； ②略 18. 2025年我国进入科技创新爆发期，创新指数跃居全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等领域取得多项世界级突破．为激发青少年科学热情，某校开展了“逐梦科技强国”主题活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D：．下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在B组的有多少人； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （3）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）15 （2）720 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图，用画树状图或列表的方法求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出本次抽取的学生总人数，再用学生总人数乘以B所占的百分比，即可解答； （2）先求出成绩不低于80分的人数的百分比，再乘以全校的学生总人数即可解答； （3）列出表格，得到共有12种等可能性的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有2种，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 （人）， ∴（人）． 即本次抽取的学生中成绩在B组的有15人． 故答案为：15． 【小问2详解】 （人）． 答：全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为人． 【小问3详解】 列表如图 甲 乙 丙 丁 甲 —— （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） —— （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） —— （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） —— 共有12种等可能性的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 19. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．若，求的值． 【答案】（1） （2）的值为1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解一元二次方程，待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键； （1）将点代入，得出点坐标为．进而待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意得出，解方程结合函数图象取舍的值，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ． 点坐标为． 点在的图象上， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 ，且轴， ． 整理得， 解得，（舍去） 的值为1． 21. 如图，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折痕交于点E，交于点F，与对角线交于点O，，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，又由已知即可证明； （2）连接，先证明，再证明为等边三角形，得到，在中，，则，由勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点A与点C对折重合， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】此题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明和为等边三角形是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点． （1）当，时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由求出，，再根据得到，代入计算即可； （2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论． 【小问1详解】 解：当时，，， 将代入得，，即 ∵， ∴， 将代入得，， 解得：或， ∵点A、B不重合， ∴； 【小问2详解】 解：∵的对称轴为， ∴关于对称轴对称的点坐标为， 当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴，都在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大， ∴， ∵， ∴ ∴，都在对称轴的左侧， ∵对于，都有， ∴，解得，此时； 综上所述，的取值范围为或． 23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 24. 如图在平面直角坐标系中，点在抛物线上，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图，当轴时，连接，已知点M为线段上的一个点，过点M作直线轴交抛物线于点N；当点M的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）若，将该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分记为图象G，设图象G的最高点和最低点到x轴的距离分别为d、n，当时，请求出m的取值范围． 【答案】（1） （2）点M的坐标为时，线段的长度最大，最大值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最大值等知识，熟练掌握这些知识是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设，则可得M的坐标，从而可表示出，即可求得其最大值，从而求得点M的坐标； （3）确定抛物线的对称轴为直线，分；；三种情况考虑即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵轴，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把点A、P的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴M的坐标为， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； 此时点M的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线，其对称轴为直线，最大值为4； 当时，如图2-1； 此时图象G的最低点为点B，最高点为点P， ∴，则，不合题意； 当时，如图2-2； 过点B作y轴的垂线交抛物线于点E，由（2）知，点E的横坐标为2， 此时图象G的最低点为点B或点E（P与E重合时），最高点为抛物线的顶点C， ∴， 则； 当时，如图2-3； 此时图象G的最低点为点P，最高点为抛物线的顶点C， ∴， ∴，不合题意； 综上，满足条件的m的取值范围为． 25. 【问题提出】小丽在上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证． 【问题探究】 （1）小丽先选择了几个特殊图形进行验证，如图，请你在三个图形中任选两个，分别作一条直线，使这条直线既平分你所选图形的周长，又平分它的面积； （2）如图，小丽在直角三角形中，作出一条直线，交于点E、交于点F，直线既平分的周长，又平分的面积．请根据小丽所给的数据计算：若，，，，用含有a的代数式表示 ，并求a的值； 【问题解决】 （3）小丽家所在小区平面示意图如图，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到，，，，，．若该道路的一个出口在边上，请帮小丽在图中画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度． 【答案】 （1）根据题意，画出图形，如图， （2）；3； （3）标出线段，如图， 【解析】 【分析】（1）根据圆，平行四边形，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，从而得到，再由直线平分的周长，可得①，再结合②，可得，过点E作于点G，则，可得，从而得到，可求出，然后结合直线平分的面积，即可求解； （3）先求出四边形的面积，然后分三种情况：当出口M在边上，出口N在边时，当一个出口在点B，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，F，当一个出口M在边上，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，G，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵直线平分的周长， ∴， ∴， 即①， ∵②， 由，得：， 如图，过点E作于点G，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵直线平分的面积， ∴， ∴， 解得：； （3）∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形的面积为， 如图，当出口M在边上，出口N在边时， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：（负值，舍去）， 如图，当一个出口在点B，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，F， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：， 即， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴没有平分四边形的面积，舍去； 如图，当一个出口M在边上，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，G， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分四边形的面积， ∴， 解得：， 即，，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆，平行四边形，等腰三角形的性质等知识，利用类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $