函数零点的综合问题 期末专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026学年高一上期末专项训练（人教A版）《函数零点的综合问题》 一、单选题： 1.用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是(    ) A. B. C. D. 2.函数的零点为(    ) A. B. C. 和 D. 和 3.方程的解的个数为(    ) A. B. C. D. 或或 4.已知幂函数的图象过点，则函数的零点为(    ) A. B. C. D. 5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为(    ) A. B. C. D. 7.若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.设常数，函数若方程有三个不相等的实数根，，，且，则下列说法正确的是 (    ) A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 二、多选题： 9.若关于的方程的两根为正数包含等根，则的取值可以是(    ) A. B. C. D. 10.多选定义域和值域均为，常数的函数和的大致图象如图所示，则下列说法正确的有  (    ) A. 方程可能存在五个解 B. 方程有且仅有一个解 C. 方程有两负数解和一正数解 D. 方程最多只有三个解 11.已知函数，若函数恰有个不相等实数解，则实数可以是(    ) A. B. C. D. 12.如图是函数的图象，它与轴有个不同的交点，给出下列四个区间，能用二分法求出函数零点的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题： 13.已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为          ． 14.用二分法求方程在区间上的实数根时，取中点，则下一个有根区间是          ． 15.已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那么实数的取值范围为          ． 16.已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是          ． 17.设函数，关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是          ． 18.已知函数，若方程有个不同的实数解，则的取值范围是            ． 四、解答题： 19.已知函数． 若，求函数的零点； 若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围． 20.已知函数，函数． 若函数在和上的单调性相反，求的解析式； 若，不等式在上恒成立，求的取值范围； 已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数的范围． 21.已知函数，且，的部分图象，如图所示． 求函数的解析式； 若方程在上有两个不同的实根，试求的取值范围． 22.已知关于的一元二次方程． 若方程有两个根，其中一个根在区间内，另一个根在区间内，求实数的取值范围 若方程两个根均在区间内，求实数的取值范围． 23.已知函数，且为偶函数． 求和的值； 讨论函数的零点个数． 24.已知函数在区间上有最大值和最小值． 求，的值； 不等式在上恒成立，求实数的取值范围； 若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 2025-2026学年高一上期末专项训练：函数零点的综合问题 一、单选题： 1.用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：单调递增且连续，因为，，， 故可取作为初始区间． 2.函数的零点为(    ) A. B. C. 和 D. 和 【答案】C  解：令，解得或，所以函数的零点为：和． 3.方程的解的个数为(    ) A. B. C. D. 或或 【答案】A 解：方程的解的个数，等于函数和函数的图象的交点个数，如图所示数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为，故方程的解的个数为． 4.已知幂函数的图象过点，则函数的零点为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：幂函数的图象过点， ，，解得， ， 函数．令，得，函数的零点是． 5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：函数在上连续，且易知在上是增函数， 至多只有一个零点，，， ，由函数零点存在性定理可知函数的零点所在的区间为 6.已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：，则， ，则， ，则， 函数，，的零点分别为，，， 作出函数，，，的图象如图， 由图可知：， 7.若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：二次函数在区间上存在一个零点，且，一定有两个不同的解， 设两个解分别为，不妨设， ，，，即，故， 8.设常数，函数若方程有三个不相等的实数根，，，且，则下列说法正确的是 (    ) A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 【答案】D 解：画出函数的图象，如图所示方程有三个不相等的实数根可转化为函数的图象与直线有三个交点，实数的取值范围是，不正确 令，得，，不正确 由图可知，，，，由，得，，不正确 ，D正确故选D． 二、多选题： 9.若关于的方程的两根为正数包含等根，则的取值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  解：由题意，构建函数，定义域为， 因为关于的方程的两根为正数包含等根，  所以解得， 结合选项可知，，，D正确． 10.多选定义域和值域均为，常数的函数和的大致图象如图所示，则下列说法正确的有  (    ) A. 方程可能存在五个解 B. 方程有且仅有一个解 C. 方程有两负数解和一正数解 D. 方程最多只有三个解 【答案】ABD  解：选项：令，则，解得，故， ，可能得到个解，故A正确 选项：令，则，解得，故有且仅有一个解，故B正确 选项：令，则解得，故，，有两正数解和一 负数解，故C错误 选项：令，则解得，故最多只有三个解，故D正确． 综上答案为． 11.已知函数，若函数恰有个不相等实数解，则实数可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  解：画出函数的图象，时，． 若函数恰有个零点， 则实数，或． 因此可以为，，． 故选：． 12.如图是函数的图象，它与轴有个不同的交点，给出下列四个区间，能用二分法求出函数零点的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  解：由函数零点存在性定理可得，能用二分法求出函数零点的条件是：在区间连续不断且单调唯一，并且满足，由图象结合选项可得只有，和满足条件． 三、填空题： 13.已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为          ． 【答案】  14.用二分法求方程在区间上的实数根时，取中点，则下一个有根区间是          ． 【答案】 解：设函数，则 ，，， 因为，根据零点存在定理可得下一个有根区间是． 15.已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那么实数的取值范围为          ． 【答案】  解：作出的图象，如下图所示： 关于的方程有且仅有一个实数根， 函数的图象与有且只有一个交点， 由图可知， 则实数的取值范围是． 故答案为：． 16.已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是          ． 【答案】  解：当时，函数的图象如下： 时，， 要使得关于的方程有三个不同的根， 必须， 即， 解得，的取值范围是． 17.设函数，关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是          ． 【答案】 【解答】解：画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根，分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，它们显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，显然它在和以及的交点和之间，故所以，． 18.已知函数，若方程有个不同的实数解，则的取值范围是            ． 【答案】  解：因为函数，作出函数的图象如图所示， 令，则方程有个不同的实数解， 等价于关于的方程在上有两个不等的实数根， 令，则或， 则有，解得，所以的取值范围是． 四、解答题： 19.已知函数． 若，求函数的零点； 若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围． 【答案】解：当时，， 令， 解得， 当时，函数的零点是． 当时，，令得，符合题意． 当时，， 则，， 由于函数在区间上恰有一个零点，则或， 解得：或， 综上可得，的取值范围为或．  20.已知函数，函数． 若函数在和上的单调性相反，求的解析式； 若，不等式在上恒成立，求的取值范围； 已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数的范围． 【答案】解：由题意知，函数为二次函数， 其图象的对称轴为直线，解得， 所以． 依题意得，即在上恒成立， 转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 转化为在上恒成立． 令，则问题可转化为在上恒成立， 即，所以， 所以的取值范围为． ， 设，， 则由题意知函数与的图象在区间内有唯一交点． 当时，在上单调递减，在上为增函数， 且，， 所以函数与的图象在区间内有唯一的交点． 当时，的图象开口向下，对称轴为直线， 所以在上单调递减， 又在上为增函数， 由题意知，需，得，得， 所以． 当时，的图象开口向上，对称轴为直线， 所以在上单调递减， 又在上为增函数， 由题意知，需，得，得，所以 综上，的取值范围为． 21.已知函数，且，的部分图象，如图所示． 求函数的解析式； 若方程在上有两个不同的实根，试求的取值范围． 【答案】解：由函数的图象可得， 再由，可得，再由五点法作图可得， 又，，故函数的解析式为 若方程在上有两个不同的实根， 则直线和函数的图象在上有两个不同的交点， ，， 如图所示：故的取值范围为．  22.已知关于的一元二次方程． 若方程有两个根，其中一个根在区间内，另一个根在区间内，求实数的取值范围 若方程两个根均在区间内，求实数的取值范围． 【答案】解：由题意得，二次函数的图象与轴的交点分别在区间和内，则故，即实数的取值范围是 由题意得，二次函数的图象与轴的交点在区间内， 则 ， 即实数的取值范围是 23.已知函数，且为偶函数． 求和的值； 讨论函数的零点个数． 【答案】解：因为为偶函数，所以， 即， 整理得， 因为上式对定义域内任意恒成立，所以 解得，． 由知，函数 令，则，上述函数变为，因为函数为增函数， 在区间单减，在区间上单调递增，所以在 上单调递减，在单调递增， 又，即，且当和时，， 所以，当时，函数无零点 当时，函数有一个零点 当时，函数有两个零点．  24.已知函数在区间上有最大值和最小值． 求，的值； 不等式在上恒成立，求实数的取值范围； 若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】解：， 当时，在上单调递增，由题意可得，，解得； 当时，在上单调递减，由题意可得，，解得由于，故应舍去， 综上，，； 由知， ，即在上恒成立，即， ，在上恒成立， 又，当且仅当时取等号，，即， 实数的范围是； 方程，即， 化为，且． 令，则方程化为． 函数的图象如图： 原方程有三个不同的实数解， 有两个不同根，，且， 记， 则，或， 解得，解得． 实数的取值范围为．  1 学科网（北京）股份有限公司 $