精品解析：黑龙江省大庆市祥阁学校　2025-2026学年上学期 九年级期末试卷-数学

祥阁学校2025-2026学年九年级上学期期末教学检测 数学试卷 注意事项： 1．答题时间：120分钟；卷面分值：120分； 2．请在答题卡上按要求书写作答； 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2005 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 3. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 故选：B． 4. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是正确理解左视图．注意看不见的线用虚线表示. 根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看是矩形，两条看不见的线把矩形分成三个相邻的矩形． 故选：D． 5. 已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题关键是将点代入各函数表达式，结合函数性质及的条件判断是否符合． 分别将点点，，代入四个选项中的函数表达式，根据函数性质求出a、b的值或关系，结合这一条件判断该函数是否符合要求． 【详解】A．对于函数，把代入得，即 ；把代入得，此时的值前后不一致，所以该函数不符合条件，不符合题意； B．函数，它是一次函数，随的增大而增大，把代入得；把代入得；把 代入得．此时的值不相等，且，不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意； C．对于函数，它是二次函数，图象开口向下，对称轴为轴，即．点和关于轴对称，把或代入得；把 代入得．满足，该函数符合条件，符合题意； D．对于函数，它是二次函数，图象开口向上，对称轴为轴，即．把或代入得；把 代入得．不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，小明设计一组测量实验．①将的水倒入一个容积为的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据大铁球的实验情况求出大铁球体积的范围，再结合小铁球的实验情况，求出小铁球体积的范围，进而确定答案． 本题主要考查体积的估算与不等式的简单应用，熟练掌握根据实验情况列出关于球体积的不等式是解题的关键． 【详解】解：杯子还能装的体积：． 由②设大铁球体积为，则，； 设小铁球体积为， 由③得， ． 由得， ． 结合选项，只有符合． 故选：B． 7. 下列命题正确的有（ ） ①没有平方根； ②几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④每条边都相等的多边形是正多边形； ⑤到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ⑥三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题、平方根、平行线、正多边形、角平分线的判定、三角形的外心，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：命题①：当 时，，0有平方根，命题错误； 命题②：几个有理数相乘，若其中有零，则乘积为零，命题错误； 命题③：过已知直线上一点，没有直线与该直线平行，命题错误； 命题④：每条边都相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，命题错误； 命题⑤： 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，命题正确； 命题⑥：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，命题正确； ∴ 正确命题有⑤和⑥，共2个． 故选：B． 8. 如图，在 中，，，，将 绕点顺时针旋转得到 ，当点落在的延长线上，连接 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的旋转问题，涉及勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 过作于，由，知是等腰直角三角形，可得，即得，，再由旋转性质可得，，，证明 ，根据勾股定理得． 【详解】解：如图，过作于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 将 绕点顺时针旋转角得到 ， ，，， ， ， ， ； 故选：C． 9. 如图 1，在 中，，一动点P从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段，与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（ ） A. 2秒 B. 4秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数以及动点问题的函数图象，正确读取图中的信息是解题的关键． 先根据函数图象中特殊点的坐标求出直角三角形的边长，再通过三角函数关系求出与相等时对应的点的运动路程，最后根据运动速度求出点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长． 【详解】解：当时，，此时点P、Q都在点A处， ， ， 当 时，点P从点A运动到点C处， ， ， ， ， ， 由题意得：当时，与的长相等， 设长为，则为，， ， ， ， 解得：， 如图，当点P运动到的中点时，，此时 ， 点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的路程长为：， 点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为：秒， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为、，以为斜边，在右上方作 ，设点C坐标为，则的最大值为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、圆的切线、勾股定理、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意先求出直线的解析式，分析发现点的轨迹是以为直径且在上方的半圆上运动，设直线，整理得：，直线与轴的交点坐标为，当直线与圆相切时，取到最大值，画出相切时的示意图，利用列方程求解即可． 【详解】解：∵、， ∴，， 设直线的解析式为 ， 则有， 解得， ∴直线的解析式为； ∵以为斜边在右上方作 ， ∴， ∴点的轨迹是以为直径且在上方的半圆上运动，直径， ∵， ， ， 设， ， 整理得：， 求的最大值，就是求的最大值， ∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当直线与圆相切时，，且点的纵坐标最大，即此时取到最大值； 过点作， 则， ， ∴， ∵， 又∵， ∴，， ∴， 解得 ∴的最大值是16． 故选：A． 二、填空题（每题3分，满分24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 某学校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求出概率，根据题意，用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用A，B，C分别表示航模、机器人、计算机编程三门特色课程，列表如下： A B C A / B / C / ∵共有6种等可能的结果，其中恰好选中航模和机器人的结果有2种， ∴； 故答案为：． 15. 把一个底面半径是5厘米的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面下降了3厘米，这个圆锥高______厘米． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查圆柱体和圆锥的体积，根据下降的水的体积等于圆锥的体积，以及圆柱体和圆锥的体积公式进行计算即可． 【详解】解：（厘米）； 故答案为：36． 16. 小熙在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），先画一个边长为的正方形，以对角线为边长作第个正方形，再以对角线为边长作第个正方形，依次下去，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及点的坐标规律，熟练掌握勾股定理及点的坐标规律是解题的关键．先求出的坐标，找出这些坐标的规律，进而问题可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴，， ∴，即， 同理可知：，，，，，，， 第次正方形的边长为， 第次正方形的边长为， 第次正方形的边长为， 第次正方形的边长为， 故第次正方形的边长为， 故第次正方形的边长为， 由此发现规律是每经过次作图后，点的坐标符号与第一次的坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的， 由， 点的横坐标为，形式与第个一样， 故点的坐标为． 故答案为：． 17. 如图，在矩形中， ，，点是边上的动点，将 沿直线 翻折，得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由翻折的性质可得，然后分点在矩形内、外两种情况，通过作垂线构造、，进而推出，确定点在以 、为直径的圆上运动，计算对应弧长并相加，得到总路径长． 【详解】解： 由四边形为矩形，可知，根据翻折的性质可知，， 如图，当点在矩形内部时，作，交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以 为直径的圆 上运动， 当点从点出发，一直运动到落在上时，点的运动路径为， ， 点的运动路径长， 如图，当点在矩形外部时，作，交 延长线于点， 同法可证，，，点在以为直径的圆上运动，连接 ， 当点运动到点时， ，， ， ， ， 根据翻折的性质，， ， ，， 点的运动路径为圆心角为，半径为的， 点的运动路径长， 点的运动总路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，图形翻折的性质，相似三角形判定与性质，圆的轨迹与弧长计算，通过证明三角形相似确定点的轨迹圆是解题关键． 18. 定义：在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时的最大值为，函数的“最优纵横值”为10．下列结论： ①点的“纵横值”为8； ②函数的“最优纵横值”为1； ③若二次函数，在时，该二次函数的“最优纵横值”为3，则m的值为3或； ④二次函数的“最优纵横值”为，该二次函数的图象与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是或． 其中正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】结论①直接计算点的纵横值验证；结论②计算函数在给定区间上的最大值，与结论对比；结论③根据二次函数的表达式求其在区间上的最大值，并解方程求 ；结论④根据最优纵横值表达式确定，再根据二次函数与轴交点在给定区间内求范围，与结论对比． 【详解】①点的纵横值为，正确； ②函数的纵横值，在上，随增大而减小，最大值为时，结论错误； ③二次函数的纵横值，在上的“最优纵横值”为3， ∵该二次函数的顶点坐标为，开口向下， ∴该二次函数的最大值为， ∴在或 处取得最大值， ∴或， 解得：或；正确； ④二次函数的纵横值，其最优纵横值为，解得， 将代入二次函数可得， 与轴交点为满足， 当时，，当时，， 存在需满足， 解得或， 但结论为或，其中时不成立，错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了新定义函数题，二次函数的性质，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题（满分66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，和化简绝对值，掌握知识点，正确计算是解题的关键． 先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，和计算负整数指数幂，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法，对分子分母进行因式分解后约分，最后将的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了分式的化简求值，涉及分式的通分、因式分解以及分式的乘除法运算．熟练掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 当 时，原式． 21. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了 ，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 【答案】原计划每天收割5公顷的水稻 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷， 根据题意，得， 解得 ， 经检验， 是原方程的解， 答：原计划每天收割5公顷的水稻． 22. 如图，为了测量出楼房的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为，求楼房的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，， ） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点B作 于 ， 于．根据斜面坡度为得到，在 中可求得米，米，由矩形得到米，米，在中求出 ，从而根据即可求解． 【详解】解：过点B作 于 ， 于，则， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∵在 中，， ∴ ∴米，米， ， 四边形是矩形， 米，（米）， ∵在中，， 米， （米）． 答：楼房的高度约为米． 23. 联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七年级学生的竞赛情况．随机抽取了部分学生成绩进行分析．并将测试成绩绘制成两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图； （2）抽取的样本中，测试成绩的众数是 分，中位数是 分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为 ； （3）已知该校七年级共有学生1040人，若竞赛成绩在（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 【答案】（1）80；见解析 （2）90；92.5； （3）728人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是正确解答的关键． （1）根据“95分”的频数为24，占调查人数的 ，可求出调查总人数，进而求出“90分”的人数，并补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的意义进行判断及扇形圆心角计算方法计算即可； （3）求出样本中“竞赛成绩在”所占得百分比即可． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， 故答案为：80； 补全条形统计图如下， 【小问2详解】 解：这80名学生成绩出现次数最多的是90，因此众数是90分， 将这80名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数分别是90分和95分，因此中位数是分， ， 故答案为：90；92.5；； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校七年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有728人． 24. 已知，如图，在 中， ，是 中线，是的中点，连接 并延长到，使 ，连接、 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ， ，求 的长． 【答案】（1） 证明： 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，是 的中线， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到， ，则 ，再证明四边形 是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接 ，证明四边形 是平行四边形，得 ，再求出 ，进而由勾股定理得 ，再利用平行线分线段成比例定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ， ，， 四边形 是平行四边形， ， ，是 中线， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点D的坐标为，． （1）求双曲线和直线的解析式． （2）根据图象，直接写出不等式的解集为 ． （3）若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E、C、D为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数表达式为：，直线的表达式为： （2）或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）设，根据和勾股定理先求出点A坐标，再求出双曲线和直线的解析式； （2）联立双曲线和直线的解析式，求出点B的坐标，再结合图象求解不等式解集即可； （3）先求出 ，根据等边对等角得到 ，再由等角的补角相等得到，故以点E，C，D为顶点构成的三角形与相似有两种情况，分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴双曲线为， 将和代入到 ， 得， 解得， ∴直线为； 【小问2详解】 解：联立双曲线和直线的解析式， 得 解得 ， ∴， 由题意得，表示直线在双曲线的上方 ∴解集为或； 【小问3详解】 解：将代入到直线中， 得 解得， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ，，， ，， 与相似有两种情况讨论如下： ①，如下图， 即， ， ， ②，如下图， 即， ， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数与几何图形的综合应用，涉及待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 26. 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ （3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 【答案】（1） （2）销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元 （3）0.8 【解析】 【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可； （2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案； （3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”得到x的范围，根据题意列式，找到当时，w有最大值，即可求解． 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 【小问1详解】 解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为，即， 故答案为：， 【小问2详解】 解：由题意，∵日销售量为， ∴销售该文具的日利润为， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． 【小问3详解】 解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套， ∴， ∴， 又此时日销量利润， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， ∴． 27. 如图，已知是的直径，与相切于点B，的弦，连接交 于点F，延长 与交于点E，连接 ． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据切线的性质可得，再利用等腰三角形和平行可证 平分，从而可得 ，然后再利用 证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得 ，再利用平行线的性质可求出，进而可得，再利用同角的余角相等可得 ，从而可证，然后利用相似三角形的性质可得，最后再利用中点和平行可证点F是的中点，从而可得，即可解答； （3）设，则，再由，得到，则，得到，在中，根据勾股定理得到，最后代入（2）中结论列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：连接 ， ∵与相切， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：∵是的直径， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴是 的中位线， ∴ ， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∵； ∴， 解得（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点B，连接， （1）求抛物线的解析式． （2）点P是直线上方抛物线上的点，连接， ，当时，求点P的坐标． （3）点G是第一象限内抛物线上的一点，连接 ，若，则点G的横坐标为 ． （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作，垂足为点E．动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒2个单位长度的速度沿射线 方向匀速运动，动点N以每秒1个单位长度的速度沿射线 方向匀速运动（当点M到达点C时，点M，N都停止运动）．连接，过点D作直线的垂线，垂足为点F，连接 ，则 的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将点和点的坐标代入函数表达式，并计算出 与的值即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，设点坐标为，使用“割补法”将分成两部分，分别表示出两个小三角形的面积，相加后得到关于的方程，解方程即可； （3）将 绕点顺时针旋转 ，得到，连接，通过旋转的性质可以得到点的坐标，以及证明是等腰直角三角形，因此直线与抛物线在第一象限的交点即为点 ．使用待定系数法求出直线的函数表达式，与抛物线联立，求出点 的横坐标； （4）连接 交于点，作于点 ，连接，取的中点，连接，由平行线判定相似，可以证出 和．根据相似的性质可以计算出点的坐标为是一个定点，进一步算出点到的中点的距离是一个定值，则点的运动轨迹是一段圆弧．当点在线段上时， 最小；当点与点重合时， 最大，使用勾股定理计算出最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴的平行线，交于点，设点坐标为， 将代入，得 ， ∴点坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵轴， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∵，， ∴点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，将 绕点顺时针旋转 ，得到，连接， ∵，， ∴，， 由旋转的性质可知，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴直线与抛物线在第一象限的交点即为点 ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或（舍去）， ∴点 的横坐标为； 【小问4详解】 解：如图，连接 交于点，作于点 ，连接，取的中点，连接，设运动时间为，则，， ∵点与点关于轴对称， ∴点坐标为，， ∵轴， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 点坐标为， 在直角中，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ①当点落在线段上时（即点处）， 取到最小值， ∵点坐标为，点坐标为， ∴点坐标为， 由勾股定理，得， ∵， ∴ 的最小值为； ②如图，当点与点重合时， 最大，作，垂足为， 此时， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在直角中，， 同理，， ∴， 综上所述， 的取值范围是． 【点睛】本题是二次函数与几何图形的综合题，考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的图象与解析式，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，圆的定义，“割补法”计算三角形面积以及勾股定理，熟练掌握相关知识并添加恰当的辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥阁学校2025-2026学年九年级上学期期末教学检测 数学试卷 注意事项： 1．答题时间：120分钟；卷面分值：120分； 2．请在答题卡上按要求书写作答； 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2005 C. D. 2. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明设计一组测量实验．①将的水倒入一个容积为的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是（ ）． A. B. C. D. 7. 下列命题正确的有（ ） ①没有平方根； ②几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④每条边都相等的多边形是正多边形； ⑤到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ⑥三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在 中，，，，将 绕点 顺时针旋转得到 ，当点 落在 的延长线上，连接 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图 1，在 中，，一动点P从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段，与x轴的交点，则图2点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（ ） A. 2秒 B. 4秒 C. 秒 D. 秒 10. 在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为、，以 为斜边，在右上方作 ，设点C坐标为，则的最大值为（ ） A. 16 B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分24分） 11. 在函数中，自变量 的取值范围是______． 12. 因式分解：________． 13. 若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 14. 某学校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为______． 15. 把一个底面半径是5厘米的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面下降了3厘米，这个圆锥高______厘米． 16. 小熙在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），先画一个边长为的正方形，以对角线为边长作第个正方形，再以对角线为边长作第个正方形，依次下去，点的坐标为______． 17. 如图，在矩形中， ，，点 是边上的动点，将 沿直线 翻折，得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点 从点 运动到点 时，点运动的路径长是______． 18. 定义：在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时的最大值为， 函数的“最优纵横值”为10．下列结论： ①点的“纵横值”为8； ②函数的“最优纵横值”为1； ③若二次函数，在时，该二次函数的“最优纵横值”为3，则m的值为3或； ④二次函数的“最优纵横值”为，该二次函数的图象与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是或． 其中正确结论的序号为______． 三、解答题（满分66分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了 ，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 22. 如图，为了测量出楼房 的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为，求楼房 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，， ） 23. 联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七年级学生的竞赛情况．随机抽取了部分学生成绩进行分析．并将测试成绩绘制成两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）此次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图； （2）抽取的样本中，测试成绩的众数是 分，中位数是 分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为 ； （3）已知该校七年级共有学生1040人，若竞赛成绩在（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 24. 已知，如图，在 中， ，是 中线，是的中点，连接 并延长到 ，使 ，连接、 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ， ，求 的长． 25. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为，直线 与x轴交于点C，与y轴交于点D，点D的坐标为，． （1）求双曲线和直线 的解析式． （2）根据图象，直接写出不等式的解集为 ． （3）若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E、C、D为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． （1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） （2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ （3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 27. 如图，已知 是的直径，与相切于点B，的弦，连接交 于点F，延长 与交于点E，连接 ． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点B，连接， （1）求抛物线的解析式． （2）点P是直线上方抛物线上的点，连接， ，当时，求点P的坐标． （3）点G是第一象限内抛物线上的一点，连接 ，若，则点G的横坐标为 ． （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作，垂足为点E．动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒2个单位长度的速度沿射线 方向匀速运动，动点N以每秒1个单位长度的速度沿射线 方向匀速运动（当点M到达点C时，点M，N都停止运动）．连接，过点D作直线的垂线，垂足为点F，连接 ，则 的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $