精品解析：青海省海东市平安区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年第一学期学业质量评估 八年级数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A. B. C. D. 2. 将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A. B. C. D. 3. 若三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以，则所得图形与原图形的位置关系是（ ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于对称 D. 将原图形向x轴负方向平移了1个单位长度 4. 若分式值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的三条中线，，相交于点P．以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论为（ ） A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：_____． 10. 已知，则值为______． 11. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉直径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 12. 分式与的最简公分母是_____． 13. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的周长是，，则的周长是___________． 14. 如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是，则对应虚像顶部点Q的坐标是____． 15. 若分式的值为正整数，则整数的值为________． 16. 如图，在中，、的平分线相交于，过作∥，交于，交于，那么下列结论中：①都是等腰三角形；②；③的周长等于；④．其中正确的是_____（填写正确的序号） 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 20. 如图，在中，，点是边的中点，，，，为垂足．求证：． 21. 作图题： （1）如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； （2）如图2，已知： ①请在图2的方框中，用尺规作一个，使（保留作图痕迹，不写作法）． ②根据①中的作图，判断的理由是______． 22. 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法解答下列问题： （1）解决问题：因式分解： （2）拓展应用：已知三角形三边长分别为，，，且满足 试判断这个三角形的形状，说明理由． 23. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 24. 有四个家庭利用十一假期相约一起开着两辆车去北京游玩，其中商务面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当商务面包车行驶了时，发现小轿车只行驶了．若商务面包车的行驶速度比小轿车快． （1）请问商务面包车、小轿车的速度分别为多少？ （2）当小轿车发现跟丢时，商务面包车行驶了，小轿车行驶了，小轿车为了追上面包车，就马上提速，他们约定好在的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少？ 25. 【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期学业质量评估 八年级数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据长方形面积公式列出算式，再根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：长方形的面积为， 故选：B． 2. 将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式；需要注意：公因式必须是每一项中都含有的因式；公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：定系数，即确定各项系数的最大公因数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提的公因式是， 故选：． 3. 若的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以，则所得图形与原图形的位置关系是（ ） A 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于对称 D. 将原图形向x轴负方向平移了1个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称．熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据横坐标不变，纵坐标乘以，以及结合关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，进行判断，作答即可． 【详解】解：∵的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以， ∴所得图形与原图形的位置关系是关于x轴对称， 故选：A． 4. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件．分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，需注意分母不为0的限制，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴分子且分母． 解方程：，即， ∴或． 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴． 故选：B． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先化除法为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：C 6. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得， 故选：D． 7. 如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路线，利用对称的性质作出点M关于直线的对称点，然后将所求路线长转化为两定点之间的距离即可． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接，交直线于点，如图所示，，此时所需的管道最短． 故选：D． 8. 如图，的三条中线，，相交于点P．以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论为（ ） A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，三角形的面积，根据三角形的中线的性质可得，进而可判断①③，假设，可得垂直平分，但不一定垂直，即判断②，令，则，同理，，令，则，再根据三角形的外角可知，即可判断④，关键是掌握三角形中线的性质及三角形中大边对大角，小边对小角． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故①符合题意； 如果， ∵是的中线， ∴垂直平分，但不一定垂直，即：， 故②不符合题意； ∵的三条中线，，相交于点， 同上可知，，，，， 则， ∴ ∴， 故③符合题意； 由上可知，，令，则， 同理，，令，则， ∴， ∵， 故④不符合题意． ∴其中，正确的结论为①③． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键； 先提出公因式，再利用平方差公式解答，即可． 【详解】解： ． 故答案为： 10. 已知，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则展开，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：1． 11. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分式与的最简公分母是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是最简公分母，两个分式的分母分别为和，它们互质，因此最简公分母为它们的乘积． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 13. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的周长是，，则的周长是___________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得出，结合三角形的周长求出的值，再与等式分别相加减，可求得和．即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：13． 14. 如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是，则对应虚像顶部点Q的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特点，根据题意得出点与点关于轴对称，再根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，点与点关于轴对称， 火焰顶部点的坐标是， 对应虚像顶部点的坐标是， 故答案为：． 15. 若分式的值为正整数，则整数的值为________． 【答案】0或1 【解析】 【分析】先把分式进行约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出的值． 【详解】， 要使的值是正整数，则分母必须是4的约数， 即或或， 则或或(舍去)， 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查了分式的化简、分式的值，利用约分的方法进行分析是解决问题的关键． 16. 如图，在中，、的平分线相交于，过作∥，交于，交于，那么下列结论中：①都是等腰三角形；②；③的周长等于；④．其中正确的是_____（填写正确的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题综合运用了角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．结合角平分线的性质和平行线的性质，即可证明和是等腰三角形，然后根据线段的和差分析其它结论． 【详解】解：①∵的平分线相交于F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴都是等腰三角形．故①正确； ②根据①得．故②正确； ③根据②得．故③错误； ④和不一定相等，∴和不一定相等．故④错误． 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先去分母化为整式方程，求解后验根即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 解得，， 检验，当时，， 所以原分式方程的解是． 19. 如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）先证明垂直平分，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，即可得出，说明是等腰三角形； （2），，得出，，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，即可得出，最后根据等边对等角即可求出结果． 小问1详解】 证明：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，点是边的中点，，，，为垂足．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，由点是边的中点得到，由，推出，得到，即可得到结论． 【详解】证明：， ． 点是边的中点， ， ，， ． ， ． 21. 作图题： （1）如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形； （2）如图2，已知： ①请在图2的方框中，用尺规作一个，使（保留作图痕迹，不写作法）． ②根据①中的作图，判断的理由是______． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，作线段，全等三角形的判定等知识．熟练掌握作轴对称图形，作线段，全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）①作射线，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，以为圆心，的长为半径画弧，交以为圆心，的长为半径所画的弧于点，连接即可；②由作图可知，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所作； 【小问2详解】 ①解：如图2，即为所作； （2）由作图可知，， ∴， 故答案为：． 22. 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法解答下列问题： （1）解决问题：因式分解： （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足 试判断这个三角形的形状，说明理由． 【答案】（1） （2）三角形为等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：三角形为等边三角形，理由如下： 原式展开得 ，整理得 ， ， ， ∴， ∴， ∴这个三角形为等边三角形． 23. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握方法是解题的关键． （1）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并化简后代入计算即可． （2）先将括号里的式子通分进行减法运算，再计算分式的除法化简，最后代入数值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 当时， 原式； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时， 原式． 24. 有四个家庭利用十一假期相约一起开着两辆车去北京游玩，其中商务面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当商务面包车行驶了时，发现小轿车只行驶了．若商务面包车的行驶速度比小轿车快． （1）请问商务面包车、小轿车速度分别为多少？ （2）当小轿车发现跟丢时，商务面包车行驶了，小轿车行驶了，小轿车为了追上面包车，就马上提速，他们约定好在的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少？ 【答案】（1）小轿车的速度为，商务面包车的速度为； （2）小轿车提速 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）设小轿车的速度为，则商务面包车的速度为，根据“商务面包车行驶了时，发现小轿车只行驶了”列出分式方程求解并检验即可得出答案； （2）设小轿车提速，根据“商务面包车行驶了，小轿车行驶了，他们约定好在的地方碰头，”列出分式方程求解并检验即可得出答案． 【小问1详解】 解：设小轿车的速度为，则商务面包车的速度为 根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解 答：小轿车的速度为，商务面包车的速度为； 【小问2详解】 解：设小轿车提速 根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解 答：小轿车提速． 25. 【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $