精品解析：河北省张家口市宣化区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

宣化区2025—2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷（冀教版） 注意事项：1．请考生把正确答案写在答题纸相应的地方． 2．考试时间为90分钟，满分为100分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，方差能反映一组数据波动程度大小，方差越小，数据的波动程度越小，即越稳定，掌握方差和平均数的概念是解本题的关键． 根据四人方差大小和平均数大小即可判断． 【详解】解：由于甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93， 故甲丙两人的平均成绩更高； ，， ， 表明甲同学的成绩稳定， 这10次比赛中成绩又高又稳定的是甲， 故选：A． 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数以及勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】在中，， 可设，则 由勾股定理得， 故选：B． 3. 嘉嘉在解方程时，得出方程有一个根是，则c的值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程把问题转化为关于c的方程求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得，． 故选：D． 5. 如图，是的直径，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出y1、y3、y2的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴y1＝2，y2＝﹣2，y3＝﹣， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键． 8. 如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（ ） A. B. C. 25 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的半径为5，求得代入公式计算即可． 本题考查了正方形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得扇形的半径为5，， 故扇形的面积为， 故选C． 9. 如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了度直角三角形的性质，勾股定理，及等腰三角形的性质，熟练掌握度直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．过点作于点，有度直角三角形的性质得，再勾股定理得，从而即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选∶． 10. 如图，在中，，，交、于点、，在下方作正方形，若，则点到的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，交于点，交于点，由等腰三角形三线合一可得的长，由勾股定理可求的长，由可得，则，可得的长，证明四边形是矩形，可得的长，，求得的长，即为点到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，交于点， ，， ． 在中，． ， ，． ，即， ． 四边形是正方形， ，． ， ． 四边形是矩形． ． ． 点到的距离为． 故选：A． 11. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 12. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】由题意不难得到，则有，可判断是等腰三角形，则不难判断①和②正确；易证，则有，再根据，，从而得到，利用相似三角形的性质可判断③错误；由此可知正确的结论有2个． 【详解】解：由题意可得，，，为垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴点为的中点， ∴垂直平分线段， 故选项①，②正确，符合题意； 在和中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项③错误，不符合题意； ∴正确的结论有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，解题的关键是对相似三角形的判定与性质的灵活运用． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，将特殊角的三角函数值代入上式计算即可． 【详解】解： ． 14. 已知一组数据的平均数是3，那么另一组数据，，，，的平均数是___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的定义是解题的关键．由题意得，再根据平均数的定义计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴数据，，，，的平均数是12． 故答案为：12． 15. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解：因为是方程的两个实数根， 所以由根与系数的关系，得， 则， 代入数值，， 故答案为：2． 16. 如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 17. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 18. 把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点B，连接．若，，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，则点P的坐标为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，黄金分割，正确理解题意是解题的关键．根据题意可得，再把代入反比例函数解析式中计算求解即可；可得，根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵轴，，， ∴， ∵反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； 即， ∵的值为“黄金比”， ∴， ∴， ∵点P在x轴上， 当在x轴的负半轴上，则点P的坐标为， 当在x轴的正半轴上，则点P的坐标为， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程． 甲同学： 解：，， 第一步 ∴ 第二步 ∴ 第三步 ， 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 （1）甲同学解一元二次方程的方法是 ； （2）甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误； （3）从甲、乙两位同学中任选一个方程进行正确解答． 【答案】（1）公式法 （2）甲从第三步，乙从第一步 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键． （1）根据甲同学的解题步骤分析即可； （2）根据甲同学和乙同学的解题步骤分析即可； （3）分别根据公式法和因式分解法的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：甲同学解一元二次方程的方法是公式法， 故答案为：公式法； 【小问2详解】 根据可知甲从第三步开始出现错误；根据可能等于0可知乙从第一步开始出现错误； 【小问3详解】 选择甲或乙： 甲同学： 解：，， ∴ ∴ ， 乙同学： 或 ， 20. 某校380名学生参加了这学期的“读书伴我行”活动，要求每人在这学期读书本．活动结束后随机抽查了20名学生每人的读书量，并分为四种等级，4本；5本；6本；7本．将各等级的人数绘制成尚不完整的扇形统计图和条形统计图． 回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）这20名学生每人这学期读书量的众数是________本，中位数是________本； （3）在求这20名学生这学期每人读书量的平均数时，小亮是这样计算的：（本）． 小亮的计算是否正确？如果正确，估计这380名学生在这学期共读书多少本；如果不正确，请你帮他计算出正确的平均数，并估计这380名学生在这学期共读书多少本． 【答案】（1）见解析 （2）6，5.5 （3）小亮的计算不正确．正确的平均数为本，估计这380名学生在这学期共读书2052本 【解析】 【分析】本题考查了条形图和扇形图、众数、加权平均数、中位数的定义． （1）先根据等级的扇形图求出C等级人数，由此即可得补全统计图， （2）根据众数和中位数、众数的定义即可得． （3）根据加权平均数的公式求出正确的平均数即可． 【小问1详解】 解：C等级人数：（人）． 补全条形统计图如答图． 【小问2详解】 解：这20名学生每人这学期读书量中，阅读6本的人数最多，则众数是6本， 这20名学生每人这学期读书量中，从小到大排列，排在第10和第11的是和，则中位数是（本）， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：小亮的计算不正确． 正确的平均数为（本）， （本）． 答：估计这380名学生在这学期共读书2052本． 21. 如图，为的直径，弦交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2）5； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出∠A=∠D，∠C=∠ABD，从而可求证△AEC∽△DEB； （2）由垂径定理可知BE=4，设半径为r，由勾股定理可列出方程求出r． 【详解】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”， 得∠A=∠D，∠C=∠ABD， ∴△AEC∽△DEB （2）∵CD⊥AB，O为圆心， ∴BE=AB=4， 设⊙O的半径为r， ∵DE=2，则OE=r-2， 在Rt△OEB中， 由勾股定理得：OE2+EB2=OB2， 即：（r-2）2+42=r2， 解得r=5，即⊙O的半径为5 【点睛】此题考查圆的综合问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，解题关键在于掌握判定定理． 22. 石家庄西柏坡作为革命圣地．拥有丰富的历史文化资源，近年来，景区的知名度和吸引力不断提升，吸引了大量游客前来参观和体验，据了解2024年7月份该基地接待参观人数为10万，9月份接待参观人数增加到12.1万． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该景区10月份的参观人数． 【答案】（1） （2）万 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率的问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意10月份的参观人数，即可求出结论． 【小问1详解】 设这两个月参观人数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． 【小问2详解】 （万人）． 答：预计10月份的参观人数为万人． 23. 如图，卓越小组进行一次光的折射实验，先将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处照射到底部B处，入射光线与水槽内壁夹角为，然后向水槽注水至的中点E处时停止注水，此时入射光线折射到了水槽底部D处（直线为法线，为折射光线）．已知点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．求的长．（结果都精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，由题意知，四边形是矩形，则，再解直角三角形即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 由题意知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）过点A作直线，交x轴正半轴于点C，连接，若，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点D（点D在点B左侧），在x轴上取一点E，连接，，，当时，求此时的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入，求出，得，再将代入，求得反比例函数的解析式，最后联立方程组求解即可； （2）设直线交x轴于点M，，先求得，再根据面积公式列方程求解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，即得是等腰直角三角形，且，；过点B作y轴的平行线，交x轴于点M，过点D作y轴的垂线交于点N，证明，求出，及，即可求得答案． 【小问1详解】 解：把的坐标代入，得， 解得， ， 把的坐标代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为； 联立方程组， 解方程组得或， 点B得坐标为； 【小问2详解】 解：设直线交x轴于点M， 令，则， 解得， ， 设， 则， ， ， ， 解得， 点C的坐标为； 【小问3详解】 解：，，， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，且，， 如图，过点B作y轴的平行线，交x轴于点M，过点D作y轴的垂线交于点N， ， ，， ，， ， ， ， ， 点D在反比例函数的图象上， ， ， ， 的面积为； 综上所述，的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，求反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣化区2025—2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷（冀教版） 注意事项：1．请考生把正确答案写在答题纸相应的地方． 2．考试时间为90分钟，满分为100分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 嘉嘉在解方程时，得出方程有一个根是，则c的值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 0 4. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 2 5. 如图，是的直径，，则度数为（ ） A B. C. D. 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 8. 如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（ ） A. B. C. 25 D. 20 9. 如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，交、于点、，在下方作正方形，若，则点到的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 11. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13. 计算：． 14. 已知一组数据的平均数是3，那么另一组数据，，，，的平均数是___________． 15. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 16. 如图，外接圆的圆心坐标为______． 17. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 18. 把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点B，连接．若，，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，则点P的坐标为___． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程． 甲同学： 解：，， 第一步 ∴ 第二步 ∴ 第三步 ， 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 （1）甲同学解一元二次方程的方法是 ； （2）甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误； （3）从甲、乙两位同学中任选一个方程进行正确解答． 20. 某校380名学生参加了这学期的“读书伴我行”活动，要求每人在这学期读书本．活动结束后随机抽查了20名学生每人的读书量，并分为四种等级，4本；5本；6本；7本．将各等级的人数绘制成尚不完整的扇形统计图和条形统计图． 回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）这20名学生每人这学期读书量的众数是________本，中位数是________本； （3）在求这20名学生这学期每人读书量的平均数时，小亮是这样计算的：（本）． 小亮的计算是否正确？如果正确，估计这380名学生在这学期共读书多少本；如果不正确，请你帮他计算出正确的平均数，并估计这380名学生在这学期共读书多少本． 21. 如图，为的直径，弦交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的半径． 22. 石家庄西柏坡作为革命圣地．拥有丰富的历史文化资源，近年来，景区的知名度和吸引力不断提升，吸引了大量游客前来参观和体验，据了解2024年7月份该基地接待参观人数为10万，9月份接待参观人数增加到12.1万． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该景区10月份参观人数． 23. 如图，卓越小组进行一次光的折射实验，先将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处照射到底部B处，入射光线与水槽内壁夹角为，然后向水槽注水至的中点E处时停止注水，此时入射光线折射到了水槽底部D处（直线为法线，为折射光线）．已知点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．求的长．（结果都精确到，参考数据：，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）过点A作直线，交x轴正半轴于点C，连接，若，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点D（点D在点B左侧），在x轴上取一点E，连接，，，当时，求此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $