精品解析：陕西省西安市新城区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度第一学期期末检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、年级、姓名、座位号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 下面图中所示几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，在边上，，与交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数与一次函数（为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2.5 D. 3 7. 如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（ ） A B. C. D. 8. 当时，二次函数（为常数，且）有最小值，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 4或 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于___________，（填写“中心投影”或“平行投影”） 10. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关．如图所示的哪吒造型中，点为的黄金分割点，即，若，则_____． 11. 关于方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 12. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，，）的图象经过的顶点，顶点在轴的负半轴上，若顶点的坐标为，，则的值为_____． 14. 如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 化简：． 17. 解方程： 18. 如图，中，，请用尺规作图法，在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． （1）你选择的补充条件是_____（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．与位似，位似中心为原点，与的相似比为．（点、、分别与点、、对应，且点在第四象限） （1）在图中画出； （2）与的周长比为_____． 21. 陕西作为文化大省，“周秦汉唐”千年文脉博大精深，历史文化和文物遗存丰厚，无数历史名胜数不胜数，以独特魅力吸引着四方来客．为了丰富学生的课余生活，宣传陕西的旅游景点，某校将举行“人文陕西，大赞美丽三秦”的主题活动，活动中有一个转盘游戏的环节．如图所示是一个可自由转动的转盘，被分为四等份，每个扇形区域中都标有一个景点名称，转动转盘，当转盘停止时，转盘指针（若指针指在分界线上，重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）指向哪个景点名称时，则由参加游戏者为大家介绍该景点． （1）随机转动转盘一次，转盘停止时，指针恰好指向．华山的概率为_____； （2）圆圆和萌萌参加该活动，他们各转动转盘一次，请利用画树状图或列表的方法求两人中至少有一人介绍．兵马俑的概率． 22. 紫云楼是大唐芙蓉园园内最为经典的仿古建筑，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心的唐代帝王风范．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端在同一水平地面上的点，放置一个平面镜，然后沿着方向后退，当退到点时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端的像，已知小云的眼睛到地面的距离为1.5米，米；接着，小强在地面上的点处测得紫云楼的顶端的仰角，米，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：，，）． 23. 2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，平均每天可销售30件，每件盈利50元．为尽可能让利于顾客，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：每件吉祥物玩具每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件吉祥物玩具降价元，商场销售这种吉祥物玩具日盈利为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件吉祥物玩具降价多少元时，商场销售这种吉祥物玩具日盈利可达到2100元？ 24. 如图，点在的对角线上，过点、分别作、的平行线相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的面积． 25. 某数学课题学习小组，为了研究某隧道（图1）的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该隧道口的横截面是抛物线型，隧道底部宽为，抛物线的最高点与路面的距离为，点在轴上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有摄像头、进行升级，现已知这两个摄像头的水平距离为，且、关于轴对称，求这两个摄像头距地面的高度是多少米？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，为对角线中点，过点作于点，则与的面积之比为_____； （2）如图2，在矩形中，为对角线上的点，连接，过点作，连接、，，请分别求出的值及的度数； 【问题解决】 （3）如图3，矩形是一个工厂的平面示意图，，在边上规划一个水房，为对角线的中点，为员工餐厅，连接，计划在的左侧修建一个员工宿舍，且满足，，连接，现在需要沿铺设小路，为了节约成本，需使小路的长尽可能的短，求小路的最短长度．（水房、餐厅的大小及小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、年级、姓名、座位号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解的方法求解方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ，， 故选：B． 2. 下面图中所示几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图即可选择． 【详解】解：图中所示几何体的俯视图是 故选D． 【点睛】本题考查三视图的画法．用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 3. 如图，在平行四边形中，在边上，，与交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4. 如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，，矩形是正方形，故D选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据是边上的中线得到，再根据锐角的正弦值列式计算即可得解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 6. 已知反比例函数与一次函数（为常数）的图象的一个交点的横坐标为2，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，先根据题意得出函数图象的交点坐标是解题的关键． 将交点的横坐标代入反比例函数求出纵坐标，再代入一次函数求解． 【详解】解：在反比例函数中，令，则， ∴交点坐标为． 将点代入，得 ，解得． 故选：B． 7. 如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长． 【详解】解：连接、，如图， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，， ∴， 在中，， ∵H是的中点， ∴ ． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理，二次根式的化简． 8. 当时，二次函数（为常数，且）有最小值，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为4或， 故选：D． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于___________，（填写“中心投影”或“平行投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】本题考查了中心投影与平行投影的概念，解题的关键是区分两种投影的光源特点． 根据中心投影的定义（由同一点光源发出的光线形成的投影），判断舞台上方灯光（点光源）照射形成的投影类型． 【详解】解：舞台上方的灯光属于点光源，由点光源发出的光线形成的投影是中心投影， 故答案为：中心投影． 10. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关．如图所示的哪吒造型中，点为的黄金分割点，即，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的情况，根据方程有两个相等的实数根时判别式为0即可求解． 直接根据一元二次方程根的判别式列出式子，求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：5． 12. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键． 取格点D，连接，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：取格点D，连接，如图， 由图可得，此时为直角三角形， ∴， 故答案为：4． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，，）的图象经过的顶点，顶点在轴的负半轴上，若顶点的坐标为，，则的值为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，也考查了平行四边形的性质． 设点，由，求出的值，即可求解． 【详解】设点， ， ． ，解得． ． ． 故答案为：24． 14. 如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的勾股定理以及辅助线的构造方法。掌握通过菱形性质推导等边三角形，并利用勾股定理在直角三角形中逐步求解线段长度是解题的关键．首先，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得出对角线；其次，设，通过的角性质得到，结合的等量关系求出，确定和的长度；最后，作构造直角三角形，通过勾股定理逐步计算、和，最终在中求得． 【详解】解：在菱形中，，， 则， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵过点作于点， ∴， 中，，， ∴， 由， 得，解得， 故，， 过P作于点M， ∵， ∴ 在中，，， ∴， 在中，，由勾股定理可得： ， ， 在中，，由勾股定理可得： ． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键． 先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 移项后通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】画图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—作一个角等于已知角．作交于点D，即可求解． 【详解】解：如图，点D即为所求． 19. 如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． （1）你选择的补充条件是_____（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】（1）②或③ （2）选择②或③，证明见解析 【解析】 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； 【小问2详解】 解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点坐标分别为，，．与位似，位似中心为原点，与的相似比为．（点、、分别与点、、对应，且点在第四象限） （1）在图中画出； （2）与的周长比为_____． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查在网格中作图形的位似图形，和位似图形的性质． （1）找到对应点，连接即可； （2）根据周长比等于位似比解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：∵与位似，位似中心为原点，与的相似比为， ∴与的周长比为， 故答案为：． 21. 陕西作为文化大省，“周秦汉唐”千年文脉博大精深，历史文化和文物遗存丰厚，无数历史名胜数不胜数，以独特魅力吸引着四方来客．为了丰富学生的课余生活，宣传陕西的旅游景点，某校将举行“人文陕西，大赞美丽三秦”的主题活动，活动中有一个转盘游戏的环节．如图所示是一个可自由转动的转盘，被分为四等份，每个扇形区域中都标有一个景点名称，转动转盘，当转盘停止时，转盘指针（若指针指在分界线上，重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）指向哪个景点名称时，则由参加游戏者为大家介绍该景点． （1）随机转动转盘一次，转盘停止时，指针恰好指向．华山的概率为_____； （2）圆圆和萌萌参加该活动，他们各转动转盘一次，请利用画树状图或列表方法求两人中至少有一人介绍．兵马俑的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，指针恰好指向．华山的概率为； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 萌萌 圆圆 共有16种等可能的结果，其中两人中至少有一人介绍．兵马俑的结果共有7种， 两人中至少有一人介绍．兵马俑的概率为． 22. 紫云楼是大唐芙蓉园园内最为经典的仿古建筑，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心的唐代帝王风范．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端在同一水平地面上的点，放置一个平面镜，然后沿着方向后退，当退到点时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端的像，已知小云的眼睛到地面的距离为1.5米，米；接着，小强在地面上的点处测得紫云楼的顶端的仰角，米，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：，，）． 【答案】紫云楼的高度为39米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 根据题意可证，解直角三角形，得到，再根据相似三角形对应边成比例可得的值． 【详解】解：由题意知，，， ． ，即． 在中，， ，即． ． ，解得． 紫云楼的高度为39米． 23. 2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，平均每天可销售30件，每件盈利50元．为尽可能让利于顾客，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：每件吉祥物玩具每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件吉祥物玩具降价元，商场销售这种吉祥物玩具日盈利为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件吉祥物玩具降价多少元时，商场销售这种吉祥物玩具日盈利可达到2100元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，得到日盈利的等量关系是解决本题的关键． （1）降价1元，可多售出2件，降价元，可多售出件，根据日盈利=每件商品盈利的钱数×件数，即可得与之间的函数关系式； （2）令，列出方程求解，再根据为尽可能让利于顾客，选择合适的答案即可． 【小问1详解】 解：每件吉祥物玩具降价元，此吉祥物玩具每件盈利元，此吉祥物玩具每天可销售件． 根据题意，得． 即与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， 为尽可能让利于顾客， ． 答：当每件吉祥物玩具降价20元时，商场销售这种吉祥物玩具日盈利可达到2100元． 24. 如图，点在的对角线上，过点、分别作、的平行线相交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）48 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，三角形的外角的性质结合已知条件推出，进而得到，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，根据，得到，进而得到，解，求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形平行四边形． ，， ， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， 中，， 在中，， 的面积． 25. 某数学课题学习小组，为了研究某隧道（图1）的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该隧道口的横截面是抛物线型，隧道底部宽为，抛物线的最高点与路面的距离为，点在轴上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的摄像头、进行升级，现已知这两个摄像头的水平距离为，且、关于轴对称，求这两个摄像头距地面的高度是多少米？ 【答案】（1） （2）高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线的顶点为，对称轴是轴，从而可设抛物线为，又，故求得的值，进而可以得解； （2）依据题意，由原有摄像头、的水平距离为，故可令，求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点为，对称轴是轴， 故可设该抛物线的函数表达式为． 又，． ． 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵原有摄像头、的水平距离为， 令，则． 这两个摄像头距地面的高度为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，为对角线的中点，过点作于点，则与的面积之比为_____； （2）如图2，在矩形中，为对角线上的点，连接，过点作，连接、，，请分别求出的值及的度数； 【问题解决】 （3）如图3，矩形是一个工厂的平面示意图，，在边上规划一个水房，为对角线的中点，为员工餐厅，连接，计划在的左侧修建一个员工宿舍，且满足，，连接，现在需要沿铺设小路，为了节约成本，需使小路的长尽可能的短，求小路的最短长度．（水房、餐厅的大小及小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）（或）；（2），；（3）的最短长度为 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，即可求解； （2）证明，得，，即可求解； （3）过点作于，连接，证明，得，即可证，得，则，所以点在上运动，则当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：（1）为对角线的中点， ． 在矩形中，， ， ． ． ． 故答案为：（或）． （2）四边形是矩形，， ， ，． 同理，在中，， ， ． ， ，即． ． ，． ． （3）在矩形中，， ． ． 如图，过点作于，连接， ，， ，． ，， ，． ． ，． ， ，即． ． ． ， ． 点在上运动． 当时，有最小值， 此时， ，即． ． 故小路的最短长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $