指数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

第八讲 指数函数第 - 1 - 页 一、基础知识梳理 1、指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 底数按逆时针增大 3、比较指数幂的大小：(比较幂的大小的常用方法) (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较. 4、简单指数不等式的解法： (1)形如的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解. 二、典型例题 题型一 指数函数的图象及应用 例1 (1)函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是( ) A．， B．， C．， D．， (2)若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 题型二 指数函数的性质及应用 例2 比较大小 (1)设，则的大小关系为( ) A． B． C． D． (2)已知，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3 解简单的指数方程或不等式 (1)函数的定义域为 . (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为 . 例4 指数函数性质的综合应用 已知函数（），函数为奇函数 (1)求出的值，判断函数的单调性，并予以证明； (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 三、课堂练习 1.指数函数的图象如图所示，则二次函数的顶点的横坐标的取值范围是 ． 2.若曲线与直线没有公共点，则的取值范围为 ． 3.下列大小关系正确的是( ) A． B． C． D． 4.对于函数. (1)探索函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 四、课后作业 1．已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若，则( ) A． B． C． D． 3．若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为( ) A． B．2 C．3 D． 4．函数的最大值为( ) A．4 B．3 C． D． 5．函数的定义域为( ) A． B． C． D． 6．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 7．不等式的解集为( ) A． B． C． D． 8．函数在区间上单调递增，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 9．(多选)已知实数a，b满足等式，则下列不可能成立的有( ) A． B． C． D． 10．(多选)已知函数，则( ) A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D． 11．设，若函数是指数函数，且，则的取值范围是 ． 12．已知是奇函数，则 . 13．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式，并画出图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性. 14．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； 参考答案 1．D 【详解】∵，∴恒过定点，∴，，∴，其图象不经过第四象限， 2．D 【详解】因为，，所以，因为，， 所以，所以. 3．B 【详解】①当时，单调递增，故，解得； ②当时，单调递减，，无解，综上可知. 4．A 【详解】函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为. 5．C 【详解】令，解得且，所以函数的定义域为. 6．B 【详解】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数， 要使图象不经过第一象限，则，解得. 7．B 【详解】由不等式等价于，可得，所以或，解得或， 所以不等式的解集为． 8．A 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，则，即. 9．CD 【详解】作出函数和的图象如图所示：    设，，当时，由图可知；当时，由图可知； 当时，由图可知， 10．ABD 【详解】令，则．对于选项A，的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为，的值域为，所以函数的值域为,故B正确； 对于选项C，因为在上单调递增，且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C不正确； 对于选项D，由于函数在上单调递减，则，故 D正确． 11． 【详解】函数是指数函数, ,则单调递增．故，解得. 12．2 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数，得，即，因此，即有，所以. 13．（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数. 【详解】解：（1）由题意知，，，， ∴，图象如图： （2）∵，∴，为偶函数， 又，∴在上为减函数，在上为增函数． 14．(1) (2) 【详解】（1）设，，，， 其对称轴方程为，故函数在上单调递增，所以，故所求值域为； （2）∵函数的最小值为，， 若，在R上单调递增，没有最小值； 若时，可知当时，y取得最小值； 即，解得或舍去， 综上，； 学科网（北京）股份有限公司 $