2.6 指数与指数函数-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

0422对沟·讲与练·高三数学·基础版 ②讨论∫(x)的单调性并用函数单调性的定 义加以证明 …规律总结 当ab<0时，函数f(x)=a1十6为双刀函数. 若a>0,b<0,则函数在区间（一∞，0），(0，十∞) 上是增函数，若a<0,b>0,则函数在区间（一∞， 0),(0,十∞)上是减函数. 【对点训练4】(1)已知函数f(x)=2一 a 第 (a>0). 章 ①判断∫(x)在其定义域上的单调性，并用函 数单调性的定义加以证明； ②讨论函数∫(x)的奇偶性，并说明理由. 1 (2)已知a>0且a≠1，f(x)=a- 》温馨提示 ①判断函数∫(x)的奇偶性； 学习至此，请完成训练11 2.6 指数与指数函数 考试1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解指数函数的概 要求 念，了解指数函数的实际意义，掌握指数函数的单调性与其图象的特殊点， 回顾>必备知识 》知识梳理《 续表 1.根式 a'·a5=a+s 运算 a>0,b>0, (1)如果x”=a,那么x叫做a的n次方根. (a")s=a"s 性质 r,s∈Q (2)式子a叫做 ,这里n叫做根指数， (ab)"=a'b" a叫做被开方数. 3.指数函数的概念、图象与性质 (3)(a)”=a.当n为奇数时，a”=a;当n为偶 解析式 y=ar(a>0,且a≠1) 数时，a”=|a|= a,a≥0， a,a<0. 0<a<1 a>1 2.有理数指数幂 y=dty ↑y y=a 图象 0..y=1 (0,1) .-y=1 正分数指数幂：a=a四 a>0,m,n∈ 概念 负分数指数幂：a片 a Ja" N,n>1 在x轴上方，过定点(0,1) 0的正分数指数幂等于0,0的负 图象特征 当x逐渐增大时，图当x逐渐增大时，图 分数指数幂没有意义 象逐渐下降 象逐渐上升 第二章 函数的概念与基本初等函数 043 续表 》基础检测《 定义域 R 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 值域 “√”，错误的画“X”. 单调性 单调递减 单调递增 (1)a"=(a)”=a. 性 (2)函数y=ar+1(a>1)的值域是(0，十o∞). 质 当x=0时， 函数变 当x<0时，y>1;当x<0时，0< 化规律 (3)若a"<a"(a>0,且a≠1)，则m<n. 当x>0时，0< y<1;当x>0时， () V<I y>1 (4)函数f(x)=a-1+1(a>0,且a≠1)的 ○常用结论与知识拓展 图象必过定点(1,2) () 1.指数函数图象的画法 2.(教材改编题)函数f(x)=ar(a>0,且a≠1) 画指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象，应抓 的图象经过点P(3,27),则f(2)= 第 住三个关笑点：1a,01-(-1,日）. 3.(教材改编题)若函数y=(k十2)a”十2-b(a> 章 2.指数函数的图象与底数大小的比较 0,且a≠1)是指数函数，则k= 如图是指数函数①y=m',②y=b,③y=c2, 6= ④y=d的图象，底数m,b,c,d与1之间的大小关系 w0 4.(教材改编题)0.064 +16+0.25 为c>d>1>m>b>0.在第一象限内，指数函数 y=a(a>0,且a卡1)的图象越高，底数越大. 的值为 ②1 ① ③ ④ 5.(多选题)已知3“≤1，则下列不等式成立的有 () A.a≤b B.ac2≤bc2 C.a2≥b2 D.a1a1≥b1b1 提升>关键能力 考点1指数幂的运算 【例1】(1)化简：a· A (2)已知a+a=5(a>0),求下列各式 的值： 规律总结 ①a+a1;②a2+a2. 1.根式的化简问题要注意指数幂中当指数为负 幻学生试答： 数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数. 2.指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指 数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先 化成分数；底数是带分数，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂 的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 044沟·讲与练·高三数学·基础版 【对点训练1】 计算：4 √(4abt) 考点3指数函数的性质及应用 0.11·(a3·b3) 命题角度1比较指数式的大小 .(a>0,b>0) 【例3】(1)已知a=2.1,b=2.5,c=0.52,则a,b, 考点2指数函数的图象及应用 c的大小关系为 【例2】(1)（多选题）若函数y=a2十b-1(a>0, 2)已知a-()b-()c-() ,则a 且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列 b,c的大小关系是 选项中正确的有 幻学生试答： A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0 (2)若函数y=|2一1|的图象与直线y=b有 两个公共点，则b的取值范围为 第 学生试答： 章 规律总结 比较指数式的大小的方法 (1)能化成同底数的，先化成同底数幂，再利用 单调性比较大小 (2)不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中 间量比较大小 规律总结 有关指数函数图象问题的解题思路 【对点训练3】(1)(2023·天津卷改编)若a= (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特 1.01.5,b=1.016,c=0.65,则a,b,c的大小 殊点，验证选项中的图象是否过这些点，若不满足则 关系为 排除 (2)若a=0.6.4,b=0.4.6,c=0.40.4,则a,b, (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是 c的大小关系为 从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、 命题角度2 解简单的指数型方程或不等式 对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系 【例4】(1)若2+1≤ ,则函数y=2的值 不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数型方程、不等式问题的求解，往往 域是 是利用相应的指数型函数的图象，数形结合求解， (2)已知实数a≠1，函数f(x)= (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题， 14,x≥0， 若f(1-a)=f(a-1),则a的 可以通过直线x=1与图象的交点进行判断. 24x,x<0, 【对点训练2】(1)已知实数a,b满足等式 值为 2023“=2024,下列5个关系式：①0<b< 学生试答： a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0; ⑤a=b=0.其中不可能成立的关系式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)若函数y=|3一1|十m的图象不经过第 二象限，则实数m的取值范围是 第二章 函数的概念与基本初等函数 045 规律总结 规律总结 指数型不等式的常见类型及求解方法 1.指数型方程（不等式）的求解主要利用指数 (1)af)>a8x》或afr)<ax型 函数的单调性进行转化. 解法：afx)>ax)与 a>1, 2.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数 f(x)>g(x) 函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及 0<a<1, a>1, 值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异 af<a台 f(x)<g（x). f (x)<g(z) 减”这一性质分析判断 或0<a<1, f(x)>g(x). 【对点训练5】设f(x)= -2+(a>0,b>0), 2+1+b (2)形如a>b的不等式，注意将b转化为以a (1)当a=b=1时，求证：f(x)不是奇函数； 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y=a的单 (2)若f(x)是奇函数，求a与b的值； 调性求解. (3)在(2)的条件下，求不等式f(x)>0的 【对点训练4】已知函数f(x)=2r一2，则不等 解集 式f(2)+f(-8)<0的解集为 第 命题角度3指数函数性质的综合应用 章 【例5】(1)不等式4-2r+1十a>0对任意x∈ R恒成立，则实数a的取值范围是 (2)已知定义域为R的函数f(x)=一 1 2+ 2+则关于1的不等式f-2)十 1 f(2t2-1)<0的解集为 学生试答： 》温馨提示 学习至此，请完成训练12 2.7对数与对数函数 1.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函 考试 数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，掌握对数函数的单调性与其图象的 要求 特殊点.3.知道对数函数y=logx与指数函数y=a2互为反函数(a>0,且a≠1). 回顾 必备知识 》知识梳理《 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：log.1= ,log a= 1.对数的概念 一般地，如果a”=N(a>0,且a≠1)，那么数 (a>0,且a≠1， N>0) x叫做 ,记作 ,其中 (2)对数的运算性质 a叫做 ,N叫做 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么h(t)单调递减，所以g(x)单调递减； 当x(+。,+)时。 t∈（号，十∞），i关于x单调递增 h(t)单调递增，所以g(x)单调递增. 综上可知，当a≥-4时，g(x)在(0,1) 上单调递减，在(1，+∞)上单调递增： 当a<4时，g(x)在(0，- 上单调递减在（兰-合 16 和(-÷+，6，十)上单调 递增. (3)证明：根据(2)的结论，当一4 a<0时，g(x)的最小值为g(1)= h(2)=2+2a≥2+2×(-4)=-6， 此时，0<a2≤16，得-6≤ 3 2 -a M=-6,所以g(x)≥M; 当a<一4时，g(x)的最小值可能是 g(x或gx,),而x1+1 =x2十 是=-受，所以gx)=gx: ()= -2, 此时a2>16,-6>-ga,M ,又因为--2> 8a,所 以g(x)>M. 综上可知，当a<0时，g(x)≥M. 对点训练3解：(1)函数f(x)=x2+ 月定义域为zx≠0，：f(一)正 E2士=∫x)∴fx)为偶函数 (2)设任意的x1,x2满足0 x1x2, 则f(x1)-f(x)=+】 1=(xf (i-)(xiz:-1) (x1-x2)(x1+x2)(x1x2-1)(x1x2+1) xizz 0<x1<x2,xix>0,x1 。22 x2<0,x1十x2>0,x1x2+1>0, 当0<x1<x2≤1时，x1x2一1<0， 则f(x1) f(x2)>0,即f(x1)> f(x2), (x)在(0,1]上单调递减， 当1<x1 <x2时，x1x2一1>0，则 f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)< f(x2),.f(x)在(1，十∞)上单调 递增. f(x)为偶函数，.f(x)在（一o∞，一1） 上单调递减，在[一1,0)上单调递增， .函数f(x)在(-∞，-1)和(0,1]上 单调递减，在[一1,0)和(1，十o∞)上单 调递增 例4解：令y=f)=1-之，则其定 义域为{xx≠0》，值域为R x1,x2∈（-∞，0)，且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1- 1 (x,-1）=1-x)x1x+1D T1T2 x1,x2∈(-∞，0)，且x1<x2, ·x1x2>0, x1-x2<0,x1x2十1>0， .f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 六y=x在（一∞，0）上为增函数， Hx1x2∈(0，十o∞)，且x1<x2,则 f()-f(:)=(z:1) :x1,x2∈(0，十o∞)，且x1<x2, ·x1x2>0,x1x2十1>0，x1-x2<0, .f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) f(x2), y=工-1在(0，十∞)上为增函 数，y=z-立在（-00 (0,十o)上是增函数. :-)=--=-( ）=-f, y=f(z)=x二是奇函数 三x的图象如图 对点训练4解：(1)①函数f(x)的定义 域为R,f(x)在其定义域上单调递增 证明如下： 任取x1x2∈R,且x1<x2, )-e-21+) 21g>0,故 易知22-21>0,1+a f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1), 所以函数f(x)在其定义域上单调 递增. @f)=2-分，则f(-) 2一2 当a=1时，f(-x)=2一2 一f(x),函数为奇函数； 当a>0且a≠1时，f(0)=1-a≠ 0,函数不是奇函数， f)=2-号f-D=方-2a, a f(1)不等于f(一1)，函数不是偶函 数，故函数既不是奇函数也不是偶 函数. 综上所述，当a=1时，函数f(x)是奇 函数，当a>0且a≠1时，函数f(x) 既不是奇函数也不是偶函数 (2)①易知函数f(x)的定义域是R, 1 f(-x)=a- a-d-a- 一f(x),所以函数f(x)为奇函数. ②当a>1时，f(x)在R上是增函数， 当0<a<1时，f(x)在R上是减函 数.证明如下： 设任意的x1,x2∈R,且x1<x2, f(x1)-f(x2)=a1-1 a"T -a+ a12 (a-a)(a1:+1) a 当a>1时，由x1<x2得0<a"1< a2,a1-a2<0,所以f(x1) f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),f(x) 在R上是增函数， 当0<a<1时，由x1<x2得a1> a2>0,a1-a2>0,所以f(x1) f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),f(x) 在R上是减函数. 2.6 指数与指数函数 》回顾·必备知识《 知识梳理 1.(2)根式 3.(0,十∞)y=1 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.9 解析：由题意可知，a3=27,a>0,且 a≠1，解得a=3,所以f(x)=3, f(2)=32=9. 3.-12 解析：根据指数函数的定义，得 伦-名8：解特伦二21 2-b=0, 4.7.9 解折：0.064-)”+16 0.25=0.4-1+27+0.52 0.4-1+8+0.5=7.9. 5.AB由3-b≤1，得3“6≤3°，所以 a一b≤0，则a≤b,故A正确；因为 c2≥0，所以ac2≤b2,故B正确；当 a=1,b=2时，a2<b2,故C错误；因 -x2x<0则 为f(x)=xx={z,x≥0， f(x)在R上为增函数，由a≤b得 aa≤bb|,故D错误.故选AB. 》提升·关键能力《… 例1(1)-√a 解析：因为人。」 有意义，所以a< 0,所以a=一√a,所以a· 参考答案413 =-√a (2)解：①将a京+a宁=5两边平 方，得a十a1+2=5,即a+a1=3. ②将a十a1=3两边平方，得a2+ a2十2=9，即a2十a2=7. 对点训练1了 8 解析：原式= 2×4ab 8 10a6号 5 例2(1)AD 因为函数 y=a"+b-1(a>0, 且a≠1)的图象经过 第一、三、四象限，所以 其大致图象如图所示 0 由图象可知函数为增 函数，所以a>1,当x=0时，y=1十 b-1=b<0.故选AD. (2)(0,1) 解析：作出曲线y= y+Jy=2-11 2-1与直线 y=b,如图所示，由 图象可得b的取值范 -y=b x 围是(0,1). 0 对点训练2(1)B如图，观察易知a,b 的关系式①0<b<a,②a<b<0, ⑤a=b=0可能成立，③0<a<b, ④b<a<0不可能成立.故选B. ,)y=2024 /)=2023 b 、 (2)(-∞，-1] 解析：在平面直角坐标系中画出y 3一1的图象，如图所示.由图象 知，y=3一1|的图象至少向下平移 1个单位长度，即m≤-1时，函数 y=|3一1十m的图象不经过第二 象限. y ,y=3-11 例3(1)c<a<b 解析：根据指数函数性质知1<21< 2.5,即1<a<b,又因为0.52 0.25,则c<a<b. (2)a>b>c 解析：易知：=（借）-[（号）门 (得)又y=(得)广在定义域上单 调递减，<1<号所以6>号 c,又y=x言在(0，十∞)上单调递增， >>子则a=(传)> (号)>（号）=综上a>b>c 414红对构·讲与练·高三数学· 对点训练3(1)b>a>c 解析：由y=1.01x在R上单调递增， 则a=1.01.5<b=1.0106,由y= x5在[0，十∞)上单调递增，则a= 1.015>c=0.6.5,所以b>a>c. (2)b<c<a 解析：a=0.61,c=0.401,由幂函数 的性质可得a>c,又b=0.4,c= 0.41,由函数y=0.4的性质可得 bc,所以b<c<a. 4[习 解析：() 一2 =(22)2=22+1, 22≤22+1，即x2十1≤-2x十4， 即x2+2x-3≤0，解得-3≤x≤1， 此时y=2的值域为[2,2门，即 为[g2] (2)2 解析：当a<1时，4=2，解得a= 2当a>1时，21=4-1，即-1= 一2，不成立.故a的值为2 对点训练4（一∞，3） 解析：因为f(x)=2一2，x∈R, f(-x)=2-2=-f(x),所以 f(x)=2一2为奇函数，所以 f(2)十f(-8)<0等价于f(2)< f(8).y=2是增函数，y=2是减 函数，故f(x)=2-2为R上的增 函数，因此2<8，解得x<3. 例5(1)(1，十∞) 解析：由题意得a>-4十21对任意 x∈R恒成立，令t=2,则t>0, y=-4十2H=-t2十2t= -(t-1)2十1，则y≤1，当t=1时， ymx=1,a>1. (2(,-3）Ua,+) 解析：由题意知f(x)是奇函数，且在R 上为减函数，则f(t2一2t)十f(2t2 1)<0即f(t2-2t)<-f(2t-1)= f(1-2t2),所以t2-2t>1-2t2,解 得t>1或t<-3 1 对点训练5解：(1)证明：当a=b=1 -2x+1 时，f(x)= 2+十1’ 则12号 所以f(-x)≠-f(x),故f(x)不是 奇函数. (2)当f(x)是奇函数时，f(-x)= -2十a 一f(x),即21T8=一2*+1+b 对定义域内任意实数x都成立. 整理得(2a-b)·22x+(2ab-4)·2+ (2a-b)=0, 所以份。二0解得侣二-士（合 去)或侣二：经检验台符合题 意所以侣二2 基础版 (3)由(2)可知f(x)=2+2 -2*+1 由f)>0得2士2之0→2+ 1>0,所以2<1→x<0, 即f(x)>0的解集为（一∞，0）. 2.7对数与对数函数 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.以a为底N的对数x=log.V对 数的底数真数 2.(1)0 1 N (2)Dlog M++log N ②log.M-log.N③n log,M 4.log.x(a>0,且a≠1)x(0,十o∞)） 5.(0,十∞)(1,0)10减函数 增函数 6.互换y=x 基础检测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.[2,+o∞) 解析：要使函数f(x)=√In(x-1) 有意义只舍1》20年 红-1之1：解得工≥2，所以函教 x-1>0, f(x)的定义域为[2，十o∞). 3.0 解析：因为2lg5+lg4=21g5十21g2= 2(1g5+1g2)=2,5°=2，所以 21g5+1g4-5,2=2-2=0. 4.-1 解析：由y=f(x)=2,得x= 1ogy,所以函数f(x)的反函数为 gx)=1ogx,则R(分）=1og 1 -1. 5.AD1ga>lgb,则有a>b>0. 对于A,由a-b>0,则2>1，A正确： 对于B,双勾函数f(x)=x十 1在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，故 当a>b>0时，f(a)>f(b)不一定成 立，B错误；对于C, bb+2025 aa+2025 b(a+2025)-a(b+2025) a(a+2025) b+2025 2025(b二a二0，则。<a+20257 a(a+2025) 3()6 C错误：对于D, 3 (牙）=1，又3>0，所以m> 3-b,D正确.故选AD. …》提升·关键能力《… 2a+b-3 例1(1)(a-1)b-D 解析：因为a=1og36=1十1og32,b= log20=1十21log2,所以log23= a116g25=b二7，则1og15马 1 2 1og3十10g:5=a-+b-= 2a+b-3 (a-1)(b-1)1