2.7 指数与指数函数-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案通用版

(x十1)(x一1或x>0)可知，函数 无最大值，故C错误；当x<-1或x> 0时，M(x)>0,当一1≤x≤0时， 0≤M(x)1,所以M(x)最小值为 0,故D正确.故选BD 2x2 1 对点训练2(1)Df(x)= 1+x-3 2(1十x)-21=5-2 1+x2 331x,因 为x∈R,所以t=1十x2≥1,0< 十≤1，则)e【专) 当fe)e[号o)时w=[fc]= -1;当f(x)∈[0,1)时，y= [fx]=0:当fx)e,号）时， y=[f(x)]=1.所以函数y= [f(x)门的值域是{-1,0,1.故选D. (2)A对于A,当x∈Q时，显然 -x∈Q,此时恒有D(x)=D(-x)= 1,当x任Q时，x是无理数，显然一x也 是无理数，此时恒有D(x)=D(一x)= 0,所以D(x)是偶函数，因此A正确； 对于B,因为D(0)=D(1)=1,所以 函数D(x)不是实数集上的单调函数， 因此B不正确；对于C,由函数的解析 式可知，D(x)的值域为{0,1}，因此C 不正确；对于D,因为D(π)=0， D(3.14)=1,所以D(π)<D(3.14), 因此D不正确.故选A. 2.7指数与指数函数 必备知识回顾 教材回扣 1.(2)根式 3.(2)(0,十∞)y=1 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.C因为函数y=1.01在(-∞， 十∞)上是增函数，且3.5>2.7，故 1.015>1.0127>1>0.751,即 c>b>a.故选C. 3.[1,十∞) 解析：复合函数f(x)=0.72-x可以 分为外部函数y=0.7”与内部函数 u=x2-2x,因为外部函数y=0.7“ 在公共定义域内单调递减，根据复合 函数单调性“同增异减”的性质，所以 求(x)的减区间，等价于求内部函数 u=x2一2x的增区间，易知u=x2 2x的增区间为[1，十o∞)，故f(x)的 减区间为[1，十∞). 4.1 解析：(a言·b言)立.aT÷ a().b（)x().a÷6 a片.b号=a,b°=1. 关键能力提升 例1解：D原式=a): aa5)=a)÷(a)=a a=1. ②原式={[)门 得)-1=[信)门() [(2)]-1=- 3 -1=0. (3)原式=Qb2.a号.b a.b 1 对点训练1(1)B由(a-一a): a十a1-2=5,可得a-a 土√5.故选B. (2)C(-64)3+[(-3)灯7-(2 33 1)+√38 =(-4)+(3)-1+ [)门-4+8-1+ 3 -子改选C 例2(1)A因为y= (仔)广为指数函 数，所以兰>0，且合≠1，所以 <0，因为二次函数y=ar十 2a b缸十c图象的对称轴为直线x=一2a, b 所以B,D错误，由指数函数的图象可 0<<1所以-<<0 所以二次函数图象顶点的横坐标在 (人子0)内，所以C错误.故选A .17 (2)(02」 解析：不等式4a-1<3x-4等价于 a-1< x-1,令f(x)=a, 3 gx)=是-1，当a>1时在同- 平面直角坐标系中作出两个函数的 图象， fx)=a -10 gx-1 图1 -445- 如图1所示，由图知不满足条件； 当0<a<1时，在同一平面直角坐标 系中作出两个函数的图象， y fx)=a-1 1: 0 2 图2 如图2所示，则f(2)≤g(2),即a2≤ X2-1,a≤子故a的取值范网足 3 ( 对点训练2(1)D由图象可知，函数 f(x)为减函数，从而有0<a<1. 方法一由f(x)=ar6的图象，得 其与y轴交点的纵坐标y∈(0,1)，令 x=0,得y=a,则0<ab<1,即 0<ab<a°，解得b<0.故选D. 方法二函数f(x)的图象可看作是 由y=a(0<a1)的图象向左平移 得到的，则-b>0,即b<0.故选D. (2)C y1+1 211表示 点M(x1y1)与点 A(1,-1)确定的直 线的斜率，又 0 M(x1y1)是y= A e在x∈[0,1)部 分图象上的动点，如图，当M接近 B(1,e)时，k→-o∞，当M为(0,1)时， &=0号=-2则e《,-, 只有C满足.故选C. 例3D因为指数函数y=0.5是单调 减函数，所以0.51<0.501<0.5°= 1,又幂函数y=x1在(0，十o∞)上是 单调增函数，所以1=1小1>0.51> 0.4山1，又因为指数函数y=1.1F是单 调增函数，所以1.1,5>1.1°=1，综 上可得b<a<c.故选D. 例4(1){x-1x3} 解析：不等式22-红≤ 22--1≤2-2，因为函数y=2为单 调递增函数，所以x2一4x-1≤2 2x,所以x2-2x-3≤0，解得-1≤ 3所以不等我2≤（日） 的解集为{x一1x3}. (2)[1,十∞) 解析：由10一6一3≥1，两边同除 以1，可得()广+（品）》广中 参考答案☑。 (品)广≤1，令f)=(品)” (高)广+（侣）广，则f)在上单润 递减，且f(1)=1,故不等式10 6-3≥1的解集为[1，十∞). 例5解：(1)因为fx)=1十2 2 十a的 定义域为R且是奇函数，所以f(0) 0,即2 .1 十2十a=0,解得a=-2 2* 1 1 此时fx)=1十2-豆=2 1 2 1+2则f-x)=1千2-2 11 1+2-2 =一f(x),符合题意. (2)因为f(x)≥0在x∈[-1,1]上 恒成立，所以f(x)mm≥0. 令t=2,因为x∈[-1,1]，所以t∈ [日 所以y=亡8=品+1+a t [哈 因为y=+1+a在[上 调递增， 所以yia= 1 +1十a=a十3 1十2 即f(x)nm=a十3 1 故a-子≥0，解得a≥弓 厂1 所以a的取值范围是上3，十o∞) 对点训练3(1)ABD令u=x2十4x十 3=(x+2)2-1,则u∈[-1，十∞). 对于A,f(x)的定义域为R,故A正 确：对于B,因为y=（2)u∈ 1“ [一1，十o∞)的值域为(0,2]，所以函数 f(x)的值域为(0,2]，故B正确：对于 C,因为u=x2+4x十3=(x十2)2 1在[-2，十∞)上单调递增，且y= (分）广在[-1，十0)上单调通减，所 以根据复合函数的单调性，得函数 f(x)在[-2，十∞)上单调递减，故C 不正确；对于D,由于函数f(x)在 [-2,十∞)上单调递减，则f(W2)> f(4),故D正确.故选ABD. (2)解：①当m=1时，可得f(x)= 4-2+1-8,即4-2+1-8<0，即 (2)2-22x-8<0,整理得(2 4)(2十2)<0， 红对勾·讲与练·高三数学 因为2十2>0，所以2一4<0，解得 x<2,所以不等式∫(x)<0的解集为 (-0∞，2) @令t=2,x∈[0,2]，则t∈[1,4幻， 可得4-m·2+1-8=t2-2mt-8, 由f(x)≥-12，可得t2-2mt-8≥ -12, 因为Hx∈[0,2]，f(x)≥-12恒成 立，即t2-2mt十4≥0对任意t∈[1， 4幻恒成立，即m≤十4对任意1∈ 2t [1,4]恒成立， 又因为=号+名≥ t t,2 2 =2,当仅当=即 t=2时取等号， 所以m≤2， 即实数的取值范围为（一∞，2]. 2.8对数与对数函数 必备知识回顾 教材回扣 1.以a为底V的对数x=log,N对 数的底数真数 2.(1)0 1 N (2)Olog,M+log.N ②log.M-log.N③nlog.M 4.logx(a>0,且a≠1)x(0,十o∞) 5.(0,十∞)(1,0)10减函数 增函数 6.互换y=x 基础检测 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2.A方法一如图，作出函数y1= logo.2x,y2=logo.3x,y3 logo. 图象， y↑ 6x -y1=l0g0.2x -y2=logo3x -y3=10g04x 由图可知，当x=6时，l0g.6> log.36>log6.16,即a>b>c.故 选A, 方法二 易知0>10g0.4> log60.3>log60.2,所以 loge 0.4 10g0.3<1og,0.2'即1og.16< log.36<log0.26,即a>b>c.故 选A. 3.(3,4) 解析：当x=3时，y=1og。1十4=4， .函数y=log。(x一2)十4的图象恒 过点A(3,4). 4.[2,4] 解析：，1x≤9，.l0g31 logax log:9,即0≤10gx≤2，即2≤ -446- f(x)≤4，则函数f(x)的值域为 [2,4]. 5.10 解析：原式=en9-log23·log2+ 1g100=9-1十2=10. 关键能力提升… 例1解：(1)原式=1og(5×7) 2(1og7-log3)+1og7-1log号月 log5+log7-2log57十2log3十 logs 7-2logs 3+l0gs5=2l0gs 5=2. (2)原式=lg√2×(2g√2十lg5)+ √(1g2-1)2=lg2×(g2+lg5)+ 1-lg√2=lg√2+1-lg2=1. 对点训练1(1)5 解析：由题意可得原式=g102 r 2 10gs2+1og3×1og2-3=立X 1 og:10-21og:2+2log:3×3lbg.2- 1 3=21+10g2)-210g2+6X02 1m3-3=2+6-3=5. In 2 (2)1+6 a+b 解析：由7=2可得b=10g2,所以 10g614= 1og:14 1+log72 10g,6=10g,2+10g3 1十b a十b 例2(1)D当x=0时y=1og. 1 一1，则当0<a<1时，如图1，函数图 象过第二、三、四象限； 图1 则当a>1时，如图2，函数图象过第 一、三、四象限 y 0Y-1 图2 所以函数y=l0g（x十上)的图象一 定经过第三、四象限.故选D, (2)[1,2)-1 解析：设g(x)= |-x2-2x+1,x≤0， gz>0,2圈内·讲与练·高三数学 2.7指数与指数函数 考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象经过的特殊点. 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。 续表 项目 y=a'(a>0,且a≠1) 1.根式 在x轴上方，过定点(0,1) (1)如果x"=a,那么x叫做a的n次方根. 图象特征 当x逐渐增大时，图 (2)式子a叫做 当x逐渐增大时， ,其中n叫做根指数， 象逐渐下降 图象逐渐上升 a叫做被开方数. (3)(a)"=a.当n为奇数时，a=a:当n为偶 定义域 R a,a≥0， 数时，a”=|a= 值域 a,a<0. 单调性 递减 递增 036 2.有理数指数幂 性 质 当x=0时， 正分数指数幂：a兰=a 函数变 负分数指数幂：a号 1 1 a>0,m, 当x<0时，y>1; 当x<0时，0< 概念 化规律 a n∈N" 当x>0时，0< y<1;当x>0 n>1 1 0的正分数指数幂等于0,0的负 时，y>1 分数指数幂没有意义 回教材拓展 a'·a5=a+s 运算 a>0,b≥ 1.指数函数图象的画法 (a)=a 性质 0,r,s∈Q 画指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象，应抓 (ab)"=a'b" 3.指数函数的概念、图象与性质 住三个关键点：1a),0,1D.(1,) (1)概念：一般地，函数y=ar(a>0,且a≠1) 2.指数函数的图象与底数大小的比较 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 如图是指数函数①y=m,②y=b,③y=c, (2)图象与性质 ④y=d的图象，底数m,b,c,d与1之间的大小关系 项目 y=a*(a>0,且a≠1) 为c>d>1>m>b>0.在第一象限内，指数函数 0a<1 a>1 y=a(a>0,且a≠1)的图象越高，底数越大. +)y )=a ②y↑ 3 图象 (0,1) (0.1) --y=l = 0 第二章函数的概念与基本初等函数 进 基础检测。 2.(人教A版必修第一册P119T6改编)已知a= 0.7501,b=1.012.7,c=1.013.5,则 1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”） A.a6c B.a>c>6 (1)函数y=21是指数函数， C.c6>a D.c>a>b (2)函数y=a+1(a>1)的值域是(0，十o∞). 3.(人教A版必修第一册P120T10改编)函数 ( f(x)=0.7x的单调递减区间为 (3)23>24. ( 4.已知a>0,b>0,则(a号.b)立.a÷ (4)若am<a"(a>0,且a≠1)，则m<n. ( 6= 关键能力提升 互动探究·考点精讲 考点1指数幂的运算 规律总结 指数幂运算的一般原则 【例1】计算： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指 1)aa÷√aT√a(a>0): 数运算 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的 倒数. )a.6)a. (3)底数是负数的，先确定符号；底数是小数的， -(a>0,b>0) 先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数， a.b (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂 037 听课记录 的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答， 【对点训练1】(1)已知a十a1=7,则a-a立 A.5 B.士√5 C.3 D.士3 (2)计算：(-64)+[(-3)]7-(2-1)°+ () 1 B.一2 1 1 C.- 2 0.2 考点2指数函数的图象及应用 【例2】 (1)二次函数y=ax2+bx十c与指数函数 的图象可能是 红题勾·讲与练·高三数学 听课记录 D (2)若关于x的不等式4a1<3.x-4(a>0, 且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取 命题角度2解指数方程或不等式 值范围为 【例4】(1)不等式2红1≤（ 的解集为 必听课记录 (2)不等式10一6一3≥1的解集为 听课记录 4规律总结 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从 最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对 称变换得到.注意，当底数a与1的大小关系不确定 时应注意分类讨论 命题角度3 指数函数性质的综合应用 038 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用 2 相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【例5】 已知函数fx)=1十2+a. (1)若f(x)是奇函数，求a的值； 【对点训练2】(1)函数f(x)= y (2)若f(x)≥0在x∈[-1,1]上恒成立，求 ar的图象如图所示，其中 a的取值范围. a,b为常数，则下列结论正 确的是 -10 听课记录 1 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)点M(x1y1)在函数y=e的图象上，当 x1∈[0,1)时，4十1 x17 可能等于 A.-1或-2 B.-1或-3 C.-2或-3 D.0 考点3指数函数的性质及应用 命题角度1 比较指数式大小 【例3】(2024·四川成都模拟)设a=0.5.4,b 0.41,c=1.1.5,则 A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 第二章函数的概念与基本初等函数 进 4规律总结 ②若Hx∈[0,2]，f(x)≥-12恒成立，求实 1.比较指数式的大小的方法 数m的取值范围. (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单 调性比较大小。 (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中 间量比较大小 2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数 的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数 函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值 域、单调区间、最值等问题时，一般要借助“同增异 减”这一性质分析判断. 易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底 数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论。 【对点训练3】(1)（多选）已知函数(x) r+4x+3 ) ,则 A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0,2] C.函数f(.x)在[-2，十∞)上单调递增 039 D.f(√2)>f(4) 温馨提示0 (2)已知函数f(x)=4-m·2x+1-8. 学习至此，请完成课时作业12 ①若m=1,求不等式f(x)<0的解集； 2.8 对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性，掌 握对数函数图象经过的特殊点。 3.知道对数函数y=logx与指数函数y=a互为反函数(a>0,且a≠1). 必备知识 回顾 自主学习·基础回扣 教材回扣。一 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：log1= ,log.a= 1.对数的概念 (a>0,且a≠1， 一般地，如果a'=N(a>0,且a≠1)，那么数 N>0). x叫做 ,记作 ,其 (2)对数的运算性质 中a叫做 ,N叫做 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么