精品解析：辽宁省朝阳市双塔区朝阳一中联盟校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由一个正六棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 5. 如图，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 8. 为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 4或 D. 2或 10. 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）；（2）；（3）；（4）．你认为其中错误的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 12. 如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则_________． 13. 如图，，，且中点，双曲线过点，则____． 14. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高．下午课外活动时，她测得根长为1m的竹杆的影长是0.8m．但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上．她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是________m． 15. 如图，在正方形中，，P为边的中点，Q为边上一点，连接，，，若为等腰三角形，则的长为______． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：， （2）解方程： 17. 学校在九年级学生中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛，然后把甲、乙两组的竞赛成绩进行了整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识比较强，为网络安全意识一般），并把收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 a 80 80 乙组 83 b 70 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）若该校九年级学生有500人，估计九年级学生中“网络安全意识非常强”的有多少人？ （3）现在准备从甲、乙两组得满分的学生中抽取两名学生参加全市比赛，利用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 18. 直播带货新平台“西方甄选”所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ 19. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 20. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作平行线，过点D作的平行线，两线交于点P． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面m空中水平飞行，无人机在、两点分别测得建筑物顶端的俯角为、，、两点的水平距离为m．（在同一平面上） （1）求建筑物的高度； （2）若建筑物的左侧m处有一建筑物高为m，会不会影响本次测量？请说明理由．（结果精确到1m，参考数据：）． 22. 【思考研究】 “如图1，在正方形中，E是对角线AC上一点，点F在DC的延长线上，且，EF交BC于点G，求证：．”小贤在研究这个问题时，写出了如下的分析过程： 先证，得到，再由，得到． （1）请根据小贤的分析过程证明． 【解决问题】 （2）求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接BF，试探究线段DE与线段BF数量关系，并说明理由． 23. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”． （1）如图1，矩形的顶点坐标分别是，，矩形的“互为零点”的是___________； （2）若点为反比例函数图象上的“互为零点”，且，则___________； （3）如图2，已知点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，抛物线于轴的交点为，． ①求的值； ②若存在一点，使得四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例式性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案． 【详解】解：∵， 故设，， ∴． 故选：B． 2. 如图，是由一个正六棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键． 【详解】解：俯视图是从上面看几何体，得到的平面图形内部是圆，看得见，用实线；外部是正六边形，如图所示： 故选：C． 3. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 4. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，分式方程的应用，设黑球的个数为个，根据频率可列出方程，解方程即可求得，从而得到答案，根据概率列出方程是关键． 【详解】设袋中有黑球个，由题意得：， 解得：，经检验，是分式方程的解， 则布袋中黑球的个数可能有6个． 故选：B． 5. 如图，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形对诮点坐标，注意掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或． 以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以或． 【详解】解：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小， 点的对应点的坐标是：或，即或． 故选：D． 6. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 7. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即, ∴物体被缩小到原来的． 故选：C． 8. 为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x， 根据题意得：． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 4或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 当与全等时，有两种情况：①当时，，②当时，，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可． 【详解】解：当与全等时，有两种情况： ①当时，， ，， ，， ； 动点在线段上，从点出发以的速度向点运动， 点和点的运动时间为：， ∴； ②当时，， ，， ，， ， ， 综上，v的值为2或． 故选：D． 10. 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）；（2）；（3）；（4）．你认为其中错误的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据函数图象可得， （1）抛物线与轴有两个交点，所以，该选项正确，不符合题意； （2）抛物线与轴的交点位于的下方，所以，该选项错误，符合题意； （3）由抛物线对称轴可得，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； （4）由图象可知，当时，，该选项正确，不符合题意； ∴错误选项为（2），只有1个， 故选：D． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，再根据一元二次方程的定义，可得，即可解答． 【详解】解：由题意得， 即， 解得， 根据一元二次方程的定义，可得， 解得， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次根的判别式，熟知根的判别式的符号对应的根的情况是解题的关键． 12. 如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则_________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合作图过程得是的垂直平分线，故，即，因为，得，即可作答． 【详解】解：连接， ∵，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， 则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，，，且为中点，双曲线过点，则____． 【答案】 【解析】 【分析】设C的坐标为（x，y），由A、B的坐标，且BC⊥AB且D为AC中点，可得关于x、y的关系式，求解可得C的坐标，进而可得k的值． 【详解】过点C作CE⊥OB于点E，设C的坐标为（x，y），则由D为AC中点，∴CD=DA． ∵∠CED=∠AOD=90°，∠CDE=∠ADO，∴△CED≌△AOD，∴CE=OA=3，∴x＝﹣3． 又∵BC⊥AB，∴∠CBE+∠ABE=90°． ∵∠ABE+∠BAO=90°，∴∠CBE=∠BAO． ∵∠CEB=∠BOA=90°，∴△BCE∽△ABO，∴，即，解得：y．故C的坐标为（﹣3，），又由双曲线y过点C，则k＝﹣3． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及中点的性质，三角形相似的判定和性质，注意结合题意灵活运用． 14. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高．下午课外活动时，她测得根长为1m的竹杆的影长是0.8m．但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上．她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是________m． 【答案】4.45 【解析】 【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高． 【详解】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x， 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，而CB=1.2， ∴BD=0.96， ∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56， 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得， ∴x=4.45， ∴树高是4.45m， 故答案为：4.45． 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同． 15. 如图，在正方形中，，P为边的中点，Q为边上一点，连接，，，若为等腰三角形，则的长为______． 【答案】2或4或 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得到，，再分情况讨论． 【详解】在正方形中，，P为边的中点， ∴，． ①如图1，当时， ， ∴， ∴； ②如图2，当时, ， ∴； ③如图3，当时， 设，则，， ∴，解得， 综上所述，的长为2或4或 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：， （2）解方程： 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先移项，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， 则， 解得，． 17. 学校在九年级学生中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛，然后把甲、乙两组竞赛成绩进行了整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识比较强，为网络安全意识一般），并把收集整理的数据制成了如下统计图表： 平均数 中位数 众数 甲组 a 80 80 乙组 83 b 70 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）若该校九年级学生有500人，估计九年级学生中“网络安全意识非常强”的有多少人？ （3）现在准备从甲、乙两组得满分的学生中抽取两名学生参加全市比赛，利用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）83；85 （2）200 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义可求出；根据中位数的定义可求出；根据众数的定义可求出． （2）根据用样本估计总体，用500乘以甲乙两组满分的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第5和第6位的成绩分别为80分和90分， ． 故答案为：83；85． 【小问2详解】 解：（人． 估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人． 【小问3详解】 解：由图1和图2可知，甲组满分人数为1人，记为，乙组满分人数为2人，分别记为，， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：，，，，共4种， 抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法概率，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 18. 直播带货新平台“西方甄选”所推销的大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2）当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元； 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出与的函数关系式； （2）根据“西方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意可得： ， 与的函数关系式为； 小问2详解】 由题意，得： ， ，抛物线开口向下， 当时，最大，最大值4500， 答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元； 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【解析】 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点D作的平行线，两线交于点P． （1）求证：四边形菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出是解决问题的关键． （1）根据，，即可证出四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据勾股定理可求，由，可求四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ∴四边形的面积为． 21. 某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面m空中水平飞行，无人机在、两点分别测得建筑物顶端的俯角为、，、两点的水平距离为m．（在同一平面上） （1）求建筑物的高度； （2）若建筑物的左侧m处有一建筑物高为m，会不会影响本次测量？请说明理由．（结果精确到1m，参考数据：）． 【答案】（1）日塔的高度约为m （2）会影响，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意添加辅助线，构造出直角三角形． （1）延长，交的延长线于，构造出两个直角三角形，根据已知条件，解两个直角三角形即可解答此题； （2）设建筑物与交与点，构造，解直角三角形，求出和，最后对比可得答案． 【小问1详解】 解：如图，延长，交的延长线于，则， ， ， ， m， 在中， ， ， m， m． 答：日塔的高度约为m； 【小问2详解】 解：会影响，理由：设建筑物与交与点， 由题意可知，m， 过点作与点， ， 在中，m， ， m， m， ， 会影响本次测量． 22. 【思考研究】 “如图1，在正方形中，E是对角线AC上一点，点F在DC的延长线上，且，EF交BC于点G，求证：．”小贤在研究这个问题时，写出了如下的分析过程： 先证，得到，再由，得到． （1）请根据小贤的分析过程证明． 【解决问题】 （2）求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接BF，试探究线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接证明全等说明边等即可； （2）直接通过直角的等量代换得到角等； （3）先证明全等三角形，再通过角度的等量代换证明等边三角形来说明边等即可． 小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 由（1）知，． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 ． 理由：∵四边形是菱形，， ∴，，，． ∵，∴， ∴，，∴． ∵，∴，， ∴．∵，∴， ∴为等边三角形，∴，∴． 【点睛】此题考查全等三角形的性质与判定，以及等边三角形的性质和判定，解题关键是等量代换出角等，然后证明全等． 23. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”． （1）如图1，矩形的顶点坐标分别是，，矩形的“互为零点”的是___________； （2）若点为反比例函数图象上的“互为零点”，且，则___________； （3）如图2，已知点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，抛物线于轴的交点为，． ①求的值； ②若存在一点，使得四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）和； （2）； （3）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）首先判断出点P在直线上，然后结合图象求解即可； （2）首先根据题意画出图象，然后得到是等腰直角三角形，求出，然后代入求解即可； （3）①根据题意得到，求出抛物线，然后由得到点A，B的水平距离为2，竖直距离为2，然后分两种情况讨论：和，然后分别求出点B的坐标，然后代入求解即可； ②设，分两种情况讨论：和，然后分别求出点C的坐标，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点” ∴ ∴点 ∴点P在直线上 ∴如图所示， ∵矩形的顶点坐标分别是，， ∴当时， ∴点是矩形的“互为零点”； 当时，，解得 ∴点是矩形的“互为零点”； 综上所述，矩形的“互为零点”的是和； 【小问2详解】 如图所示，设点P在第二象限，过点P作轴 ∵点为反比例函数图象上的“互为零点”， ∴点P在直线上 ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴将代入得， 解得； 【小问3详解】 ①∵点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点， ∴ ∴ ∴抛物线 ∵ ∴点A，B的水平距离为2，竖直距离为2， 如图所示，当时， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴ ∴将代入得， 解得； 如图所示，当时， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴ ∴将代入得， 解得； 综上所述，的值为或； ②设， 当时，抛物线 ∴当时， ∴ ∵，，四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴； 当时，抛物线 ∴当时， ∴ ∵，，四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数与几何综合，一次函数的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是判断出点P在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $