精品解析：河北省衡水市衡水中学2024-2025学年高二上学期期中综合素质评价数学试卷

2024－2025学年度高二年级上学期期中综合素养评价 数学学科 主命题人　　张金瑞 （考试分I、II两部分共150分，时间共120分钟） I卷（共58分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 2. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】由椭圆，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：D. 3. 已知两点，，直线与线段有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线恒过点.然后求出直线的斜率，结合图象，即可得出答案. 【详解】直线可化为， 由可得，，所以直线恒过点. ，， 如图可知，直线的倾斜角介于直线倾斜角与直线的倾斜角之间. 所以当时，有； 当时，有. 又直线的斜率为， 所以，或. 故选：D. 4. 已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案. 【详解】 ，为一个焦点，设另一焦点为， 且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1. 故选：D 5. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【详解】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 6. 在正三棱锥中，二面角的平面角为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题作图，根据二面角的平面角定义在图表示出，利用正三棱锥的几何性质，结合勾股定理与锐角三角函数，再根据线面角定义求解即可. 【详解】由题意可作图如下： 其中为线段的中点，为等边的中心， 易知， 在等腰中，由为线段的中点，则， 所以是二面角的平面角，则， 在正三棱锥中，易知平面， 因为平面，所以， 设底面等边的边长为，则， 在中，， 则，， 在中，， 在中，，由图可知为与平面所成角. 故选：D. 7. 设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，依题意求出点坐标，即可求出直线的方程，再由点到直线的距离公式及得到、的关系，即可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，上焦点，下焦点， 由，解得，不妨取， 则直线的方程为，即， 又点到的距离为，则， 即，又，所以，即， 所以离心率. 故选：B 8. 已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合椭圆定义在中由余弦定理求得，同理在中利用余弦定理可得，再由可得关系，进而得离心率. 【详解】连接，设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，即. 由可知， 在在中利用余弦定理可得 ， 同理可解得， 又因为，即， 所以． 故选：A. 二.多选题（共3个小题，每小题6分，共18分.不选或错选为0分，正确答案为两个选项的部分选项得3分，正确选项为3项的，选对1个选项2分，选对2个选项得4分，都正确的得6分） 9. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ） A. 的取值范围是 B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C. 存在点使得 D. 的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点在椭圆外得到，求出的范围，即可判断A；求出，则的取值范围是，即可判断B；设椭圆的上顶点为，求出，即可判断C，利用基本不等式及椭圆的定义判断D. 【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，又，解得，故A不正确； 当时，，则， 所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于，所以存在点使得，故C正确； 因为， 当且仅当时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由长方体的体对角线求出直径，由球的表面积公式求解即可判断选项A；把矩形和放置在同一平面内，当点，，三点共线时，最小，求解即可判断选项B；以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离，判断C；作，交于点，则为二面角的平面角，求解即可判D. 【详解】对于A，长方体外接球的直径， 故外接球的表面积为，故选项A正确； 对于D，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则， 连接交于点， 当点，，三点共线时，最小， 则，故，所以， 由余弦定理可得， ， 所以，即的最小值为，故B正确； 以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 所以 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离为，故C错误； 作，交于点，由于， 平面，平面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 在中，，D正确. 故选：ABD 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 关于直线对称的曲线方程为 C. 在上存在点，使得到点的距离为3 D. 若，，则在上不存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，应用两点距离公式及已知得的方程为判断A；利用对称性求对称圆的圆心，即得对称圆的方程判断B；求出与圆心距离，结合半径判断C；应用点斜式写出的中垂线，应用点线距离及半径的关系判断中垂线与圆的位置关系判断D. 【详解】设，则， 所以，则， 整理得，A对； 由上，设对称圆的圆心为，则， 所以对称的曲线方程为，B对； 由到圆心的距离为，由圆半径， 所以到圆的最短距离为，故不存在，使到的距离为3，C错； 由中点为，且，则的中垂线为， 圆心到的距离， 故在上不存在点，使得，D对. 故选：ABD Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为______. 【答案】18 【解析】 【分析】确定直线的方程，根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知过点的直线（不过原点）在轴、轴上的截距相等， 设该直线方程为，将代入得，即直线方程为， 由于该直线与相切，圆心为，半径为， 故， 故答案为：18 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】，则方向的单位向量为， 向量在向量上的投影向量为， 故答案为：． 14. 在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合双曲线方程求出与，由蒙日圆定义可得圆的方程，再由切线互相垂直可得为直径，解直角三角形可得. 【详解】由双曲线可知，. 则的蒙日圆圆心为，半径为，其蒙日圆方程为， 由已知可得， 所以为圆的直径，所以. 又，所以. 所以的周长为. 故答案为：. 四、解答题（共5题，满分77分） 15. 设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． （1）求点A的坐标； （2）直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把直线一般式化为截距式方程，结合题意进行求解即可； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合二倍角的正切公式、直线的点斜式方程进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以由， 由题意可知：， 因为，所以点A的坐标为； 【小问2详解】 由（1）可知，所以有直线， 设直线倾斜角为，则有， 所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为， 则有， 所以直线直线的方程为：. 16. 如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离： （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 平面，以为原点，分别以､ 的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ， ， 则. 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先建立空间直角坐标系，平面，分别以､的方向为轴，轴，轴的正方向建系，求得的方向向量和平面的法向量平行即可； （2）求得直线的方向向量和平面的法向量，利用投影法即可得解； （3）分别求得平面的法向量为，平面的法向量为，则平面和平面夹角的余弦值，代入即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 则， 点到平面的距离为. 【小问3详解】 设平面与平面的夹角为， 平面的法向量为，平面的法向量为， ， 平面和平面夹角的余弦值等于. 17. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）讨论切线l斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果. （2）计算到直线AB的距离d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长. （3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积. 【小问1详解】 圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由，可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 直线方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， . 【小问3详解】 圆的圆心，半径， 点到直线：的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 18. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． （1）求的方程； （2）过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； （3）已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解， （2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得，即可由二次函数的性质求解， （3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得，将其代入双曲线方程即可求解. 【小问1详解】 根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得， 由于，故，即. 【小问2详解】 设，， 故当时，最小值为2 【小问3详解】 联立与可得， 设， 则， 故 设存在点C满足，则， 故， 由于在，故， 化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且， 故符合题意，由于，故， 故,故， 故存在，使得 19. 阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B. （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）共线，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c的方程组，并注意a,b,c的平方关系，求解即得a,b的值，进而得到方程； （2）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得面积关于t的函数表达式，适当换元，整理变形，可利用对勾函数的单调性求得最大值； （3）先求得直线方程，进而求得它与直线交于点， 然后证明，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可得：， 解得，，， 所以椭圆方程为. （2）设直线的方程为，，， 由，整理得， ， ， 令()，则， 设，函数在区间单调递增，知， 即当，即时，取到最大值. （3）由（2）知点在直线的方程为上，且. 易知椭圆的左､右顶点分别为，，直线方程为：， 它与直线交于点，则， 由于，都存在，且 ， 故于是于是B，Q，F三点共线. 【点睛】注意（2）中的直线的设法是为和求面积相适应的；注意求最值中的换元思想和函数思想的运用；注意（3）中的利用韦达定理的结论进行化简及运算的准确性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度高二年级上学期期中综合素养评价 数学学科 主命题人　　张金瑞 （考试分I、II两部分共150分，时间共120分钟） I卷（共58分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知两点，，直线与线段有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 1 5. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱锥中，二面角的平面角为，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，分别为双曲线（，）的上，下焦点，过点的直线与的一条渐近线交于点，若轴，且点到的距离为，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共3个小题，每小题6分，共18分.不选或错选为0分，正确答案为两个选项的部分选项得3分，正确选项为3项的，选对1个选项2分，选对2个选项得4分，都正确的得6分） 9. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ） A. 的取值范围是 B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C. 存在点使得 D. 的最小值为1 10. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 关于直线对称的曲线方程为 C. 在上存在点，使得到点的距离为3 D. 若，，则在上不存在点，使得 Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为______. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________． 14. 在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为______. 四、解答题（共5题，满分77分） 15. 设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． （1）求点A的坐标； （2）直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 16. 如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离： （3）求平面和平面夹角的余弦值. 17. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 18. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． （1）求的方程； （2）过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； （3）已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 19. 阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B. （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $