3.2图形的旋转（一）讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦图形旋转的核心知识点，系统梳理旋转的定义、三要素（旋转中心、方向、角度）、性质（全等性、对应点到中心距离相等、旋转角相等）及平面直角坐标系中的旋转规律（90°顺逆、180°变换），承接图形平移知识，为后续复杂图形变换学习搭建基础支架。 该资料以生活化情境（如亚运会旋转装置、导航环岛轨迹）培养数学眼光，通过透明纸旋转实验等探究活动发展空间观念与推理意识，课堂检测和课后作业融入航天、剪纸等跨学科实例强化应用意识。课中助力教师引导学生主动探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，有效提升核心素养。

2025-2026学年北师大版八年级数学下册 《第三章图形的平移与旋转第二节图形的旋转（一）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解图形旋转的定义，明确旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），能准确描述图形的旋转过程。 2.掌握图形旋转的性质，能利用性质解决线段、角度的等量关系问题。 3.会根据旋转的性质进行简单的图形作图，能在平面直角坐标系中分析点旋转后的坐标变化。 4.经历旋转性质的探究过程，体会图形变换的思想，提升空间想象能力和逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点：图形旋转的定义、三要素及旋转的性质；利用旋转性质进行计算与作图。 2.难点：旋转性质的灵活应用；在复杂图形中识别旋转关系，解决实际问题。 ) 三．课前预习 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个________按某个________转动一个________，这样的图形运动叫做图形的旋转。 2.旋转的三要素：________、________、________。 3.旋转不改变图形的________和________，只改变图形的________。 4.旋转后，对应点到旋转中心的距离________；对应线段________；对应角________。 5.旋转角的定义：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角叫做________，旋转角都________。 【答案】1.定点（旋转中心）；方向；角度 2.旋转中心；旋转方向；旋转角度 3.形状；大小；位置 4.相等；相等；相等 5.旋转角；相等 四．课堂探秘 探究一：旋转的定义与三要素 上面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景.你还能举出一些类似的例子吗?与同伴交流. 1.图形旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点（旋转中心）按某个方向（顺时针/逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 如图，△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF，点A，B，C分别旋转到了点D，E，F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角.在这一旋转过程中，点O是旋转中心，∠AOD，∠BOE，∠COF都是旋转角. 2.图形旋转的三要素 （1） 旋转中心：图形绕着转动的固定点（可以在图形内、图形上或图形外）。 （2） 旋转方向：顺时针或逆时针（若无特殊说明，默认顺时针）。 （3） 旋转角度：图形转动的度数（旋转前后对应线段的夹角）。 探究二：旋转的性质 1.探究： 如图，两张透明纸上的四边形4BCD和四边形EFGH完全重合，在纸上选取旋转中心O，并将其固定.把其中一张纸片绕点O旋转一定角度. (1)观察右图的两个四边形，你能发现有哪些相等的线段和相等的角? 【解析】相等的线段：AB = EF ， BC = FG ， CD = GH ， DA = HE ； 相等的角：∠ABC = ∠EFG ， ∠BCD = ∠FGH ，∠CDA = ∠GHE ，∠DAB = ∠HEF 。 （旋转不改变角的大小） (2)连接AO，BO，CO，DO，EO，FO,GO，HO，你又能发现有哪些相等的线段和相等的角? 【解析】相等的线段：AO = EO ， BO = FO ， CO = GO ， DO = HO 。 相等的角：∠AOE = ∠BOF = ∠COG = ∠DOH 。 (3)在右图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么? 【解析】发现：任意一对对应点与旋转中心所连的线段长度相等，且对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角。 改变透明纸上所画图形的形状，再试一试，并与同伴交流. 【解析】无论画三角形、五边形还是其他图形，旋转后都有相同的规律：对应线段相等，对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 2.图形旋转的核心性质 （1）图形全等性：旋转前后的图形是全等图形，对应线段相等，对应角相等。 （2）对应点到旋转中心的距离相等：任意一对对应点与旋转中心所连的线段长度相等。 （3）旋转角相等：对应点与旋转中心连线的夹角都相等，这个夹角就是旋转角。 （4）整体旋转一致性：图形上所有点都绕旋转中心按相同方向（顺时针或逆时针）旋转了相同的角度。 探究三：平面直角坐标系中点的旋转规律（以原点为旋转中心） 1.探究： △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.将△ABC绕点O顺时针旋转角α(0°<α<180°)得到△A1B1C1. (1)当α＝90°，画出△A1B1C1并写出A1的坐标； (2)若△A1B1C1上没有点在第一象限，写出α的取值范围. 【解析】(1)当α＝90°，△A1B1C1的位置如图所示：∴由图可得，A1的坐标为(3，2). (2)连接OA，OB如图，∴由图可知，∠BOC>∠AOC，∵若△A1B1C1上没有点在第一象限内， ∴当点B1在x轴上或在x轴下方时，点A1和点C1都不在第一象限内，∵B(－1，1)， ∴∠BOC＝45°，∴当点B1在x轴上时，B1(，0)，∴旋转角α＝∠BOB1＝45°＋90°＝135°， ∴当△A1B1C1上没有点在第一象限时，135°≤α<180°. 2.平面直角坐标系中点的旋转规律（以原点为旋转中心） 已知点P(x,y)，探究其绕原点旋转后的坐标： （1）顺时针旋转90°：P'(y, -x)； （2）逆时针旋转90°：P'(-y, x)； （3）旋转180°：P'(-x, -y)。 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 杭州亚运会开幕式上，主舞台的旋转装置绕固定点顺时针旋转90°后呈现新造型，下列关于该旋转的说法正确的是（ ） A. 旋转中心可以是任意点 B. 旋转角一定是90° C. 旋转方向可以随意改变 D. 旋转后装置上各点运动轨迹都是直线 【答案】：B 【解析】：旋转三要素是旋转中心、旋转方向、旋转角，本题中旋转中心是固定点（A错误），旋转角明确为90°（B正确），旋转方向是顺时针（C错误），点旋转轨迹是圆弧（D错误）。 2. 将一副三角板中的Rt△ABC绕点C旋转得到Rt△DEC，已知∠A=60°，∠B=30°，则旋转后∠BCE的度数不可能是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 180° 【答案】：A 【解析】：旋转前后对应角相等，∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE为旋转角或其补角，可能为60°、90°、180°，不可能为30°，故选A。 3.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若AB=3 cm,则BE等于( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 【答案】：B 【解析】已知△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED 。由旋转性质得： AB = AE ，∠BAE = 60°。△ABE为等边三角形，因此 BE = AB = 3cm。答案：B 4.如图,点A,B,C,D,O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为( ) A.30° B.45° C.90° D.135° 【答案】：C 【解析】△COD 是由△AOB绕点O 逆时针旋转得到的。观察对应点 B 与 D 、 A 与 C 与旋转中心O的连线，OB到OD的夹角为90°，因此旋转角为90°。 5. 2025年某导航APP更新后，可显示车辆绕路口环岛旋转的轨迹，若车辆初始位置为点A(2,3)，绕环岛中心（原点）顺时针旋转90°后，其坐标变为（ ） A. (3,-2) B. (-3,2) C. (-2,-3) D. (2,-3) 【答案】：A 【解析】：绕原点顺时针旋转90°的坐标规律：(x,y)→(y,-x)，代入(2,3)得(3,-2)，选A。 6. 学生在平面直角坐标系中绘制“旋转花朵”，将点P(-1,2)绕原点逆时针旋转90°得到点P'，则点P'的坐标是（ ） A. (2,1) B. (-2,-1) C. (2,-1) D. (-2,1) 【答案】：B 【解析】：绕原点逆时针旋转90°的坐标规律：(x,y)→(-y,x)，代入(-1,2)得(-2,-1)，选B。 7. 2026年“数字敦煌”项目新增旋转观赏功能，将壁画上的点M(4,-1)绕原点旋转180°后，对应的点M'的坐标是（ ） A. (-4,1) B. (4,1) C. (-4,-1) D. (1,-4) 【答案】：A 【解析】：绕原点旋转180°的坐标规律：(x,y)→(-x,-y)，代入(4,-1)得(-4,1)，选A。 8．如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ） A．（0，4） B．（2，-2） C．（3，-2） D．（-1，4） 【答案】D 【解析】如图所示： A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．故选：D． 9．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得点Q所在的象限为第二象限故选：B． 10．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】A 【解析】如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，又∵∠CDF+∠CDG=90°，∴∠CDG=∠EDF，在△DCG与△DEF中，，∴△DCG≌△DEF（AAS），∴EF=CG，∵AD=2，BC=3，∴CG=BC﹣AD=3﹣2=1，∴EF=1，∴△ADE的面积是：×AD×EF=×2×1=1，故选A． （二）．填空题 11. 2026年“远航天梦”航天科技体验中心的XR观影项目中，太空场景的旋转效果符合图形旋转三要素，其中旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和______。 【答案】：旋转角度 【解析】：图形旋转的核心三要素为旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）和旋转角度，三者共同决定旋转后的图形位置。 12. 2025年中国金鸡百花电影节获奖影片《祖国疆域·深空》展现航天成就，若将太空中某卫星图案绕原点逆时针旋转90°，已知原图案上一点坐标为(2,3)，则旋转后对应点的坐标为______。 【答案】：(-3,2) 【解析】：平面直角坐标系中，点(x,y)绕原点逆时针旋转90°的坐标规律为(x,y)→(-y,x)，代入(2,3)可得(-3,2)。 13. 传统剪纸艺术中，旋转对称图案的设计依据旋转性质，若图案绕旋转中心旋转60°后与自身重合，则该图案的最小旋转角为______°。 【答案】：60 【解析】：旋转对称图形中，使图形与自身重合的最小旋转角度即为该图形的最小旋转角，题目已明确旋转60°重合，故最小旋转角为60°。 14.课堂上老师展示的旋转模型中，点A绕点O旋转得到对应点A'，若OA=5cm，则OA'的长度为______cm。 【答案】：5 【解析】：根据旋转性质，对应点到旋转中心的距离相等，OA与OA'是对应点到旋转中心的线段，故长度相等。 15.小红将坐标系中的笑脸图案绕原点顺时针旋转90°，已知图案上一点坐标为(4,1)，则旋转后对应点的坐标为______。 【答案】：(1,-4) 【解析】：平面直角坐标系中，点(x,y)绕原点顺时针旋转90°的坐标规律为(x,y)→(y,-x)，代入(4,1)可得(1,-4)。 16．如图，将直角边长为5 cm的等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是______ cm2. 【答案】 【解析】S阴影＝＝×5×5×＝(cm2) 17.如图所示，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长为___ 【答案】 8 【解析】 ∵Rt△ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到Rt△A′B′C′，∴A′B′＝AB＝16.∵C′D为Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线，∴C′D＝A′B′＝8. 18．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是_____________ 【答案】12 【解析】连接CQ，如图：由中心对称可知，AQ＝BQ，由轴对称可知：BQ＝CQ，∴AQ＝CQ＝BQ，∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，∴∠ACQ+∠QCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，∵A（2，0），C（8，6），∴AF＝CF＝6，∴△ACF是等腰直角三角形，∵，∴∠AEC＝45°，∴E点坐标为（14，0），设直线BE的解析式为y＝kx+b，∵C，E点在直线上，可得：，解得：，∴y＝﹣x+14，∵点B由点A经n次斜平移得到，∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，解得：n＝4，∴B（6，8），∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12， 19.如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____． 【答案】y=﹣x或y=-4x 【解析】：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则A′（-3，4），设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，则4=-3k，解得：k=-，则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x，同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4），设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，则-4=k′，则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x. 故答案为y=﹣x或y=-4x. 20． 如图，边长为的等边，边在轴上，点在轴的正半轴上，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，，依此规律继续作等边，则A2027的纵坐标________． 【答案】0 【解析】∵△ABC是正三角形，BO⊥AC∴∠ABO=30°=30°， 360°÷30°=12，∴的横坐标旋转次为一个循环，∵2027÷12=168余11，A2027与A11在同一直线上，即x轴上，∴A2026的横坐标为0．故答案为：0． （三）．解答题 21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－6,1)，点B的坐标为(－3,1)，点C的坐标为(－3,3)． (1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出A1的坐标； (2)将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形． 【解析】(1)如图，A1(－1,1)．(2)如图： 22.在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1； （2）△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C2，那么B的对应点B2的坐标为 　　　　；（3）△A3B3C3是△ABC绕A点旋转180°得到，那么C的对应点C3的坐标为　　　　；（4）AC上找一点F，使BF平分△ABC的面积，利用网格在AC上标出点F． 【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，B2的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）；（3）如图所示，△A3B3C3即为所求，C3的坐标为（-3，-2），故答案为：（-3，-2）；（4）如图所示，点F即为所求． 23．如图，△ABC中，，，，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为的中点．   (1)指出能转中心，并求出旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 解：（1），即， 所以旋转中心为点A，旋转的度数为； （2）逆时针旋转一定角度后与重合，，，，，∵点C恰好成为的中点， ，． 24．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF. (1)补充完成图形； (2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°. 【解析】(1)补全图形如图所示：(2)证明：由旋转的性质得：∠DCF＝90°，∴∠DCE＋∠ECF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＋∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠BCD.∵EF∥CD，∴∠EFC＋∠DCF＝180°，∴∠EFC＝90°.在△BDC和△EFC中，∴△BDC≌△EFC(SAS)，∴∠BDC＝∠EFC＝90°. 25．如图Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边AB于点E，CC′的延长线交BB′于点F. (1)求证：∠ACE＝∠FBE； (2)设∠ABC＝α，∠CAC′＝β，若△ACE≌△FBE，试探索α，β满足什么数量关系． 【解析】(1)证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′，∴∠ACE＝(180°－∠CAC′)，∠FBE＝(180°－∠BAB′)，∴∠ACE＝∠FBE.(2)∵△ACE≌△FBE，∴CE＝BE，∴∠ABC＝∠BCE＝α.∵∠CAC′＝β，AC＝AC′，∴∠ACC′＝(180°－∠CAC′)＝(180°－β)．∵∠ACB＝∠BCE＋∠ACC′＝90°，∴α＋(180°－β)＝90°，整理得β＝2α. 26.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m． （1）问题发现 如图1，△CDE的形状是______三角形． （2）探究证明 如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由． 解：（1）证明：由旋转性质，得：∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边； （2）存在，当6＜m＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE， 由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，AD=2，∴CD=， ∴△BDE的周长最小值为：2+4． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.在平面内，将一个图形绕着一个____按某个方向转动一个____，这样的图形运动称为旋转。 2.旋转的三要素是：______、______、______。 3.旋转方向分为______和______两种。 4.旋转前后的图形是______，对应线段相等，对应角相等。 5.任意一对对应点与旋转中心所连的线段______。 6.对应点与旋转中心连线的夹角都______，这个夹角叫做______。 7.图形上的每一个点都绕旋转中心按相同方向转动了______的角度。 8.点 P(x,y) 绕原点顺时针旋转90°后的坐标为______。 9.点 P(x,y) 绕原点逆时针旋转90°后的坐标为______。 10.点 P(x,y) 绕原点旋转180°后的坐标为______。 【答案】1.定点；角度 2.旋转中心；旋转方向；旋转角度 3.顺时针；逆时针 4.全等图形 5.相等 6.相等；旋转角 7.相同 8.(y,-x) 9.(-y,x) 10.(-x,-y) （二）强化训练 一．选择题 1. 古诗词“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情”中，琴弦绕转轴旋转调节音调，该旋转现象的旋转角是（ ） A. 琴弦两端点连线的夹角 B. 琴弦初始位置与旋转后位置的夹角 C. 转轴与琴弦中点的连线夹角 D. 以上都不对 【答案】：B 【解析】：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，琴弦旋转时，初始位置与旋转后位置的夹角即为旋转角，故选B。 2. 2026年新款折叠屏手机的折叠轴设计采用旋转原理，屏幕的一边AB绕折叠轴上的点O旋转后得到A'B'，下列结论错误的是（ ） A. AB=A'B' B. ∠AOA'=∠BOB' C. OA=OA' D. ∠OAB=∠OA'B' 【答案】：D 【解析】：旋转性质：对应边相等（AB=A'B'）、对应点到旋转中心距离相等（OA=OA'）、旋转角相等（∠AOA'=∠BOB'），∠OAB与∠OA'B'不是对应角，不一定相等，故选D。 3. 学生小组合作探究“旋转图形的性质”，将△DEF绕点O逆时针旋转60°得到△D'E'F'，下列操作能验证旋转性质的是（ ） A. 测量DE与D'E'的长度是否相等 B. 测量∠DOD'与∠EOF'的度数是否相等 C. 测量点O到D和D'的距离是否相等 D. 以上都是 【答案】：D 【解析】：验证旋转性质可通过：对应边相等（DE=D'E'）、旋转角相等（∠DOD'=∠EOF'）、对应点到旋转中心距离相等（OD=OD'），故选D。 3.如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到．故选：B． 5.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB'C',若点C,B,C'共线,则∠ACB的度数为( ) A.60° B.45° C.30° D.15° 【答案】：C 【解析】：已知△ABC绕点A顺时针旋转120o得到△AB'C' ，且C,B',C'共线。由旋转性质得：AC = AC'，∠CAC' = 120o。△CAC'为等腰三角形，顶角∠CAC' = 120o，所以底角∠AC'C = ∠ ACC' =（180o-120o）÷{2= 30o。 又∠ACB = ∠AC'B' （旋转后对应角相等）， 且∠AC'B' = ∠ACC' ，故∠ACB = 30o。答案：C 6.下列图形绕某点旋转90°后,能与原来图形重合的是 ( ) 【答案】：B 【解析】A（正六边形）：最小旋转角60°，旋转90°不重合。B（风车形）：最小旋转角90°，旋转90°与原图形重合。 C（菱形）：最小旋转角180°，旋转 90°不重合。D（正三角形图案）：最小旋转角120°，旋转90°不重合。 7. 点Q(3,-2)绕点O(1,1)旋转180°后得到点Q'，则点Q'的坐标是（ ） A. (-1,4) B. (-2,3) C. (-3,2) D. (-1,-4) 【答案】：A 【解析】：绕非原点旋转180°，利用中点公式：设Q'(x,y)，则(3+x)/2=1，(-2+y)/2=1，解得x=-1，y=4，故选A。 8. 某无人机在平面直角坐标系中执行任务，从点A(-2,3)绕原点顺时针旋转90°后到达点B，再绕原点逆时针旋转180°后到达点C，则点C的坐标是（ ） A. (3,2) B. (-3,-2) C. (3,-2) D. (-3,2) 【答案】：B 【解析】：A(-2,3)顺时针转90°得B(3,2)，B(3,2)逆时针转180°得C(-3,-2)，选B。 9．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（ ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能 【答案】C 【解析】∵AC=BD=10， 又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°， ∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°， ∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5， ∴BG=5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C. 10．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，点A、A′关于点C对称，设点A的坐标是（x，y），则，解得，∴点A的坐标是．故选D． 二．填空题 11. 2026年航天科普行动中，某互动装置的旋转部件旋转前后全等，这体现了图形旋转的性质：旋转前后图形的______和大小保持不变。 【答案】：形状 【解析】：图形旋转属于全等变换，其核心性质是旋转前后图形的形状和大小均不改变，仅位置发生变化。 12. 2025年科技展上的智能旋转机械臂，绕固定点旋转时，机械臂末端两点旋转前后的对应线段长度______。 【答案】：相等 【解析】：根据图形旋转的性质，旋转前后对应线段的长度相等，这是旋转不改变图形大小的直接体现。 13. 古诗“银盘转玉盘”描绘月亮运行，若将月亮图案绕某点顺时针旋转180°，原图案上一点(1,-2)旋转后的坐标为______。 【答案】：(-1,2) 【解析】：点(x,y)绕原点旋转180°的坐标规律为(x,y)→(-x,-y)，代入(1,-2)可得(-1,2)。 14.数学作业中，将点P(-3,2)绕原点旋转180°得到点P'，则点P'到x轴的距离为______。 【答案】：2 【解析】：点(-3,2)绕原点旋转180°后的坐标为(3,-2)，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即| -2 | = 2。 15.小组合作探究中，将矩形绕其对角线交点旋转，若旋转角为______°，则旋转后的矩形与原矩形完全重合（填最小角度）。 【答案】：180 【解析】：矩形是中心对称图形，绕对角线交点（旋转中心）旋转180°后与自身重合，且180°是其最小旋转角。 16．如图将等边三角形ABC绕顶点A按顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是________． 【答案】 60°　 【解析】根据对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，即∠BAC＝60°.∵点E的对应点为点F，∴∠EAF等于旋转角60°. 17.如图三个圆是同心圆，圆中阴影部分的面积是________． 【答案】　[解析] 由题意得阴影部分的面积正好构成最大圆面积的，最大圆的面积是π，因而阴影部分的面积是. 18如图,在△ABC中,∠C=35°,将△ABC绕着点A旋转α(0°<α<180°),旋转后点B的对应点D落在BC上,点C的对应点为点E,且AD是∠BAC的平分线,则α=　　　　.  【答案】（）° 【解析】如图,根据题意可得AB=AD,∠BAD=α,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠BAD=α, ∵∠ADB=∠C+∠CAD=35°+α,AB=AD,∴∠B=∠ADB=35°+α,在△ABC中,∵∠C+∠CAB+∠B=180°,∴35°+2α+35°+α=180°,解得α=（）°. 19.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM,若AE=1,则EF的长为　　　　.  【答案】 【解析】　易知点B,C,M共线.由旋转的性质可得DE=DM,CM=AE=1,∠ADE=∠CDM,∠EDM=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=∠B=90°,AB=BC=3,∴∠ADE+∠FDC=∠ADC-∠EDF=45°, ∴∠FDC+∠CDM=45°,即∠MDF=45°,∴∠EDF=∠MDF, 在△EDF和△MDF中,∴△EDF≌△MDF(SAS),∴EF=FM,设EF=FM=x,则FC=FM-CM=x-1,∴BF=BC-FC=3-(x-1)=4-x,∵BE=AB-AE=3-1=2,∴在Rt△EBF中,由勾股定理得(4-x)2+22=x2,解得x=2.5.故答案为2.5. 20.如图,正方形ABCD中,将边BC绕点B旋转.当点C落在边AD的垂直平分线(直线MN)上的点E处时,∠DEC的度数为　　　　.  【答案】75°或15° 【解析】设MN与BC交于点F.①如图所示,当点E在BC的上方时,连接DE,CE,易知BC=BE, ∵MN是AD的垂直平分线,四边形ABCD是正方形,∴MN垂直平分BC,∴BF=CF=1/2BC=1/2BE, ∴在Rt△BEF中,∠BEF=30°,∴∠EBF=60°,又∵BC=BE,∴△BCE是等边三角形,∴∠BCE=60°,BC=CE,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,BC=CD=CE,∴∠ECD=∠BCD-∠BCE=90°-60°=30°,∴∠CED=∠CDE=1/2(180°-∠ECD)=1/2×(180°-30°)=75°; ②如图所示,当点E在BC的下方时,连接DE,CE,同理可得△BCE为等边三角形,∴CE=BC,∠BCE=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴CE=CB=CO,∠BCD=90°,∴△CDE是等腰三角形,∠ECD=∠BCE+∠BCD=60°+90°=150°,∴∠DEC=∠EDC=1/2(180°-∠ECD)=1/2×(180°-150°) =15°.综上,∠DEC的度数为75°或15°.故答案为75°或15°. 3． 解答题 21．如图，点O和的三个顶点正好在正方形网格的格点上，按要求完成下列问题：（1）画出绕点O顺时针旋转后的（2）画出绕点O旋转后的． 【答案】 22．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10． （1）在图中画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA． （2）求∠APB的度数． 解：（1）如图，△BEA即为所求； （2）∵△PBC≌△EAB，∴PB＝EB，∠EBP＝∠ABC＝60°，∴△PBE为等边三角形，∴PE＝PB＝8，∠EPB＝60°，∵AE＝PC＝10，PA＝6，∵PE2+AP2＝AE2，∴△APE为直角三角形，∴∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°． 23．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：∠AEB＝∠ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数． 解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD，∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，∴∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠AEB＝∠ADC； （2）如图，连接DE，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60°， 又∵∠AEB＝∠ADC＝130°，∴∠BED＝130°﹣60°＝70°． 24．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF． （1）求证：DA∥BC； （2）猜想线段AD、AE的数量关系，并证明你的猜想． 解：（1）∵AB＝BD，∠ABD＝α＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∵∠ABC＝60°，∴AD∥BC； （2）AD＝2AE．证明：∵△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，在△ADF和△BDF中 ∴△ADF≌△BDF（SSS），∴∠ADF＝∠BDF＝30°，∴DF⊥AB，∴AD＝2AE． 25.问题提出: (1)如图1,在△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AQ,连接BQ,则线段BQ、BP、BC三者之间的数量关系是　　　　　　.  问题探究: (2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD=6,∠BCD=∠BAD=90°,AC=8.求BC+CD的值. (3)如图3,在△ABC中,AC=4,∠ACB=90°,∠ABC=30°,P是线段BC上的任意一点,连接AP,将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°,得到线段AQ.连接CQ,线段CQ是否存在最小值?若存在,请求出CQ的最小值;若不存在,请说明理由. 　　 【解析】　(1)∵∠BAC=∠PAQ,∴∠BAC-∠BAP=∠PAQ-∠BAP,即∠PAC=∠BAQ,∵AP=AQ,AC=AB,∴△ACP≌△ABQ(SAS),∴PC=BQ,∴BC=BP+PC=BP+BQ,即BC=BP+BQ.故答案为BC=BP+BQ. (2)将CA绕点A逆时针旋转90°得到EA,连接DE,如图所示.根据旋转可知∠CAE=90°,AE=AC,∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠BAC=∠DAE,∵AC=AE,AB=AD, ∴△BAC≌△DAE(SAS),∴∠ABC=∠ADE,BC=DE,∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ABC+∠ADC=360°- 90°-90°=180°,∴∠ADE+∠ADC=180°,∴C、D、E在同一直线上,∴CE=CD+DE=CD+BC, ∵AE=AC=8,∠CAE=90°,∴CE=,∴BC+CD=8. (3)线段CQ存在最小值.在AB上截取AD=AC=4,连接DP,过点D作DE⊥BC于点E,如图所示. ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴∠CAB=90°-30°=60°,根据旋转可知AQ=AP,∠PAQ=60°,∴∠PAQ=∠CAD,∴∠CAQ+∠CAP=∠PAD+∠CAP,即∠CAQ=∠PAD,∵AQ=AP,AC=AD,∴△CAQ≌△DAP(SAS),∴CQ=DP,∴DP的值最小时,CQ的值最小,∵垂线段最短,∴当点P与点E重合时,CQ的值最小,∵AC=4,∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴AB=2AC=8,∵AD=AC=4,∴DB=AB-AD=4,∵∠B=30°,∠DEB=90°,∴DE=1/2DB=2,∴CQ的最小值为2. 26．定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如：在下图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”． (1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标； ②若点B的坐标为（2，1），直接写出点A的坐标； (2)E（-3，3），F（-2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′． ①求点E′的坐标； ②当点G运动时，求的最小值． 解：（1）①如图中，观察图象可知B（2，0）； ②如图， ∵∠AOB=∠ACO=∠ODB=90°，∴∠A+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴∠A=∠BOD， ∵AO=OB，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OC=BD=1，AC=OD=2，∴A（-1，2）； (2)①如图，过点E作EP⊥x轴于P，过点E′作E′H⊥x轴于H．∵∠EPG=∠EGE′ =∠GHE′=90°，∴∠E+∠PGE=90°，∠PGE+∠E′GH=90°，∴∠E=∠E′GH，∵EG=GE′，∴△EPG≌△GHE′（AAS），∴EP=GH=3，PG=E′H=a+3，∴OH=3+a，∴E′（3+a，3+a）； ②∵∠FGF′=90°，FG=GF′，∴△FGF′是等腰直角三角形，∴FF′=FG， 当FG⊥x轴时，FG取得最小值，即FF′有最小值，∴FF′的最小值为3． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下册 《第三章图形的平移与旋转第二节图形的旋转（一）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解图形旋转的定义，明确旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），能准确描述图形的旋转过程。 2.掌握图形旋转的性质，能利用性质解决线段、角度的等量关系问题。 3.会根据旋转的性质进行简单的图形作图，能在平面直角坐标系中分析点旋转后的坐标变化。 4.经历旋转性质的探究过程，体会图形变换的思想，提升空间想象能力和逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点：图形旋转的定义、三要素及旋转的性质；利用旋转性质进行计算与作图。 2.难点：旋转性质的灵活应用；在复杂图形中识别旋转关系，解决实际问题。 ) 三．课前预习 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个________按某个________转动一个________，这样的图形运动叫做图形的旋转。 2.旋转的三要素：________、________、________。 3.旋转不改变图形的________和________，只改变图形的________。 4.旋转后，对应点到旋转中心的距离________；对应线段________；对应角________。 5.旋转角的定义：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角叫做________，旋转角都________。 四．课堂探秘 探究一：旋转的定义与三要素 上面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景.你还能举出一些类似的例子吗?与同伴交流. 1.图形旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点（旋转中心）按某个方向（顺时针/逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 如图，△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF，点A，B，C分别旋转到了点D，E，F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE是一组对应线段，∠BAC与∠EDF是一组对应角.在这一旋转过程中，点O是旋转中心，∠AOD，∠BOE，∠COF都是旋转角. 2.图形旋转的三要素 （1） 旋转中心：图形绕着转动的固定点（可以在图形内、图形上或图形外）。 （2） 旋转方向：顺时针或逆时针（若无特殊说明，默认顺时针）。 （3） 旋转角度：图形转动的度数（旋转前后对应线段的夹角）。 探究二：旋转的性质 1.探究： 如图，两张透明纸上的四边形4BCD和四边形EFGH完全重合，在纸上选取旋转中心O，并将其固定.把其中一张纸片绕点O旋转一定角度. (1)观察右图的两个四边形，你能发现有哪些相等的线段和相等的角? (2)连接AO，BO，CO，DO，EO，FO,GO，HO，你又能发现有哪些相等的线段和相等的角? (3)在右图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么? 改变透明纸上所画图形的形状，再试一试，并与同伴交流. 2.图形旋转的核心性质 （1）图形全等性：旋转前后的图形是全等图形，对应线段相等，对应角相等。 （2）对应点到旋转中心的距离相等：任意一对对应点与旋转中心所连的线段长度相等。 （3）旋转角相等：对应点与旋转中心连线的夹角都相等，这个夹角就是旋转角。 （4）整体旋转一致性：图形上所有点都绕旋转中心按相同方向（顺时针或逆时针）旋转了相同的角度。 探究三：平面直角坐标系中点的旋转规律（以原点为旋转中心） 1.探究： △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.将△ABC绕点O顺时针旋转角α(0°<α<180°)得到△A1B1C1. (1)当α＝90°，画出△A1B1C1并写出A1的坐标； (2)若△A1B1C1上没有点在第一象限，写出α的取值范围. 2.平面直角坐标系中点的旋转规律（以原点为旋转中心） 已知点P(x,y)，探究其绕原点旋转后的坐标： （1）顺时针旋转90°：P'(y, -x)； （2）逆时针旋转90°：P'(-y, x)； （3）旋转180°：P'(-x, -y)。 五．课堂检测 （一）．选择题 1.杭州亚运会开幕式上，主舞台的旋转装置绕固定点顺时针旋转90°后呈现新造型，下列关于该旋转的说法正确的是（ ） A. 旋转中心可以是任意点 B. 旋转角一定是90° C. 旋转方向可以随意改变 D. 旋转后装置上各点运动轨迹都是直线 2.将一副三角板中的Rt△ABC绕点C旋转得到Rt△DEC，已知∠A=60°，∠B=30°，则旋转后∠BCE的度数不可能是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 180° 3.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若AB=3 cm,则BE等于( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 4.如图,点A,B,C,D,O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为( ) A.30° B.45° C.90° D.135° 5.2025年某导航APP更新后，可显示车辆绕路口环岛旋转的轨迹，若车辆初始位置为点A(2,3)，绕环岛中心（原点）顺时针旋转90°后，其坐标变为（ ） A. (3,-2) B. (-3,2) C. (-2,-3) D. (2,-3) 6.学生在平面直角坐标系中绘制“旋转花朵”，将点P(-1,2)绕原点逆时针旋转90°得到点P'，则点P'的坐标是（ ） A. (2,1) B. (-2,-1) C. (2,-1) D. (-2,1) 7.2026年“数字敦煌”项目新增旋转观赏功能，将壁画上的点M(4,-1)绕原点旋转180°后，对应的点M'的坐标是（ ） A. (-4,1) B. (4,1) C. (-4,-1) D. (1,-4) 8．如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ） A．（0，4） B．（2，-2） C．（3，-2） D．（-1，4） 9．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 （二）．填空题 11. 2026年“远航天梦”航天科技体验中心的XR观影项目中，太空场景的旋转效果符合图形旋转三要素，其中旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和______。 12. 2025年中国金鸡百花电影节获奖影片《祖国疆域·深空》展现航天成就，若将太空中某卫星图案绕原点逆时针旋转90°，已知原图案上一点坐标为(2,3)，则旋转后对应点的坐标为______。 13. 传统剪纸艺术中，旋转对称图案的设计依据旋转性质，若图案绕旋转中心旋转60°后与自身重合，则该图案的最小旋转角为______°。 14.课堂上老师展示的旋转模型中，点A绕点O旋转得到对应点A'，若OA=5cm，则OA'的长度为______cm。 15.小红将坐标系中的笑脸图案绕原点顺时针旋转90°，已知图案上一点坐标为(4,1)，则旋转后对应点的坐标为______。 16．如图，将直角边长为5 cm的等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是______ cm2. 17.如图所示，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长为___ 18．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是_____________ 19.如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____． 20． 如图，边长为的等边，边在轴上，点在轴的正半轴上，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，，依此规律继续作等边，则A2027的纵坐标________． （三）．解答题 21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－6,1)，点B的坐标为(－3,1)，点C的坐标为(－3,3)． (1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形，并写出A1的坐标； (2)将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形． 22.在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1； （2）△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C2，那么B的对应点B2的坐标为 　　　　；（3）△A3B3C3是△ABC绕A点旋转180°得到，那么C的对应点C3的坐标为　　　　；（4）AC上找一点F，使BF平分△ABC的面积，利用网格在AC上标出点F． 23．如图，△ABC中，，，，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为的中点．   (1)指出能转中心，并求出旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 24．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF. (1)补充完成图形； (2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°. 25．如图Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边AB于点E，CC′的延长线交BB′于点F. (1)求证：∠ACE＝∠FBE； (2)设∠ABC＝α，∠CAC′＝β，若△ACE≌△FBE，试探索α，β满足什么数量关系． 26.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m． （1）问题发现 如图1，△CDE的形状是______三角形． （2）探究证明 如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.在平面内，将一个图形绕着一个____按某个方向转动一个____，这样的图形运动称为旋转。 2.旋转的三要素是：______、______、______。 3.旋转方向分为______和______两种。 4.旋转前后的图形是______，对应线段相等，对应角相等。 5.任意一对对应点与旋转中心所连的线段______。 6.对应点与旋转中心连线的夹角都______，这个夹角叫做______。 7.图形上的每一个点都绕旋转中心按相同方向转动了______的角度。 8.点 P(x,y) 绕原点顺时针旋转90°后的坐标为______。 9.点 P(x,y) 绕原点逆时针旋转90°后的坐标为______。 10.点 P(x,y) 绕原点旋转180°后的坐标为______。 （二）强化训练 一．选择题 1. 古诗词“转轴拨弦三两声，未成曲调先有情”中，琴弦绕转轴旋转调节音调，该旋转现象的旋转角是（ ） A. 琴弦两端点连线的夹角 B. 琴弦初始位置与旋转后位置的夹角 C. 转轴与琴弦中点的连线夹角 D. 以上都不对 2. 2026年新款折叠屏手机的折叠轴设计采用旋转原理，屏幕的一边AB绕折叠轴上的点O旋转后得到A'B'，下列结论错误的是（ ） A. AB=A'B' B. ∠AOA'=∠BOB' C. OA=OA' D. ∠OAB=∠OA'B' 3. 学生小组合作探究“旋转图形的性质”，将△DEF绕点O逆时针旋转60°得到△D'E'F'，下列操作能验证旋转性质的是（ ） A. 测量DE与D'E'的长度是否相等 B. 测量∠DOD'与∠EOF'的度数是否相等 C. 测量点O到D和D'的距离是否相等 D. 以上都是 3.如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是(    ) A. B. C. D. 5.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB'C',若点C,B,C'共线,则∠ACB的度数为( ) A.60° B.45° C.30° D.15° 6.下列图形绕某点旋转90°后,能与原来图形重合的是 ( ) 7.点Q(3,-2)绕点O(1,1)旋转180°后得到点Q'，则点Q'的坐标是（ ） A. (-1,4) B. (-2,3) C. (-3,2) D. (-1,-4) 8.某无人机在平面直角坐标系中执行任务，从点A(-2,3)绕原点顺时针旋转90°后到达点B，再绕原点逆时针旋转180°后到达点C，则点C的坐标是（ ） A. (3,2) B. (-3,-2) C. (3,-2) D. (-3,2) 9．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（ ） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能 10．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 二．填空题 11. 2026年航天科普行动中，某互动装置的旋转部件旋转前后全等，这体现了图形旋转的性质：旋转前后图形的______和大小保持不变。 12. 2025年科技展上的智能旋转机械臂，绕固定点旋转时，机械臂末端两点旋转前后的对应线段长度______。 13. 古诗“银盘转玉盘”描绘月亮运行，若将月亮图案绕某点顺时针旋转180°，原图案上一点(1,-2)旋转后的坐标为______。 14.数学作业中，将点P(-3,2)绕原点旋转180°得到点P'，则点P'到x轴的距离为______。 15.小组合作探究中，将矩形绕其对角线交点旋转，若旋转角为______°，则旋转后的矩形与原矩形完全重合（填最小角度）。 16．如图将等边三角形ABC绕顶点A按顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是________． 17.如图三个圆是同心圆，圆中阴影部分的面积是________． 18如图,在△ABC中,∠C=35°,将△ABC绕着点A旋转α(0°<α<180°),旋转后点B的对应点D落在BC上,点C的对应点为点E,且AD是∠BAC的平分线,则α=　　　　.  19.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM,若AE=1,则EF的长为　　　　.  20.如图,正方形ABCD中,将边BC绕点B旋转.当点C落在边AD的垂直平分线(直线MN)上的点E处时,∠DEC的度数为　　　　.  三．解答题 21．如图，点O和的三个顶点正好在正方形网格的格点上，按要求完成下列问题：（1）画出绕点O顺时针旋转后的（2）画出绕点O旋转后的． 22．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10． （1）在图中画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到的△BEA． （2）求∠APB的度数． 23．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：∠AEB＝∠ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数． 24．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF． （1）求证：DA∥BC； （2）猜想线段AD、AE的数量关系，并证明你的猜想． 25.问题提出: (1)如图1,在△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AQ,连接BQ,则线段BQ、BP、BC三者之间的数量关系是　　　　　　.  问题探究: (2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD=6,∠BCD=∠BAD=90°,AC=8.求BC+CD的值. (3)如图3,在△ABC中,AC=4,∠ACB=90°,∠ABC=30°,P是线段BC上的任意一点,连接AP,将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°,得到线段AQ.连接CQ,线段CQ是否存在最小值?若存在,请求出CQ的最小值;若不存在,请说明理由. 　　 26．定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如：在下图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”． (1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标； ②若点B的坐标为（2，1），直接写出点A的坐标； (2)E（-3，3），F（-2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′． ①求点E′的坐标； ②当点G运动时，求的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $