精品解析：重庆市万州第三中学2025-2026学年上学期八年级数学第三次月考试卷

万州三中初2024级八（上）第三次定时作业 数学 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在和中，，，下列条件中利用“”的办法判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 2，3，4 C. D. 3，4，5 5. 已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6 6. 如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 7. 木星的质量约为，地球的质量约为，则木星质量约为地球质量的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 8. 下列命题：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③等边对等角；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中逆命题为真命题的个数有（ ） A. 4 B. 3 C. 3 D. 1 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 10. 在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 立方根为的数是__________，的平方根是__________． 12. 已知二次三项式分解后有一个因式为，则______． 13. 如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为______． 14. 用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 15. 如图，中，，，，在射线上有一个动点从点出发，以的速度运动，设运动的时间是秒，当是等腰三角形时，的值是：______． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“取经数”，此时，规定．例如，2475中，，2475是“取经数”，；又如2375中，，2375不是“取经数”， （1）___________________； （2）对于一个“取经数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是9的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“取经数”中最大值为_________． 三、解答题（17、18题各8分，其余每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）分解因式：； （2）若，，求． 19. 在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小德通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： （1）如图，在中，，D为底边的中点，于点E．利用尺规作图，过点D作于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明： ____________① ， D为底边的中点 ____________② 在和中 （____________④） （____________⑤）（理由） 20. 如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． （1）实数的值是 ； （2）求的值； （3）数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 21. 已知的展开式中不含项和项． （1）求的值； （2）先化简，再求值: ． 22. 如图，在中，，，于D，于E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； （2）已知，，求下列各式的值： ①； ②； （3）如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 24. 【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． （1）【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是          ．（填字母） （2）【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． （3）【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 25. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①求的度数； ②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万州三中初2024级八（上）第三次定时作业 数学 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，立方根等知识，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式，根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵无理数是指不能表示为两个整数之比的实数； A．3.14159是有限小数，可化为分数，是有理数； B．，是整数，是有理数； C．，是无理数（5不是完全平方数），故也是无理数； D．是分数，是有理数． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、积的乘方、完全平方公式和同底数幂的除法，需熟练掌握基本运算法则． 通过直接计算每个选项，利用整式的加法、幂的运算和完全平方公式等初中知识进行判断即可． 【详解】解：选项A：，错误，不符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：，错误，不符合题意； 选项D：，， ∴ ，与右边相等，正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，在和中，，，下列条件中利用“”的办法判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；根据题意，找出对应边的夹角，即可求解． 【详解】解：在与中， ， ∴． 故选：C． 4. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 2，3，4 C. D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数的定义，勾股数必须是正整数且满足，逐项判断即可． 【详解】解：勾股数需为正整数，且满足， A．0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数； B．，，，不是勾股数； C．和不是正整数，不是勾股数； D．3，4，5均为正整数，且，是勾股数． 故选：D． 5. 已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 6. 如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键。 过点D作于点G，由作图可知是的角平分线，得到，则，即可解答． 【详解】解：过点D作于点G，如图 由作图可知是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 故选C． 7. 木星的质量约为，地球的质量约为，则木星质量约为地球质量的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数除法的应用，科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键．用木星的质量除以地球的质量求解即可． 【详解】解：， 即木星质量约为地球质量的倍， 故选：A 8. 下列命题：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③等边对等角；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中逆命题为真命题的个数有（ ） A. 4 B. 3 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】找到题设与结论互换后正确的选项即可． 【详解】①逆命题是：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，不一定正确，需要加上“在角的内部”，是假命题； ②逆命题是：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，正确，符合题意； ③逆命题是：等角对等边，正确，符合题意； ④逆命题是：三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形的是直角三角形，正确，符合题意； 综上，②③④三个是真命题． 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 10. 在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确； 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共4种结果，故③错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 立方根为的数是__________，的平方根是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了立方根及平方根，利用立方根和平方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以立方根为的数是， ，9平方根是， 故答案为：，． 12. 已知二次三项式分解后有一个因式为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】设另一个因式为（x+n），根据多项式乘多项式运算法则可得二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设另一个因式为（x+n）， 得x2-5x+m=（x-2）（x+n）， 则x2-5x+m=x2+（n-2）x-2n． ∴， 解得． ∴m的值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键． 13. 如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： 14. 用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键． 根据反证法的步骤，即第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设， 故答案为：． 15. 如图，中，，，，在射线上有一个动点从点出发，以的速度运动，设运动的时间是秒，当是等腰三角形时，的值是：______． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据勾股定理先求出，再由为等腰三角形，只要求出的长即可，分三种情况①当时，则；②当；③当时，如图：设，则，在中，由勾股定理列出方程可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 为等腰三角形，分三种情况： ①当时，则， 从点出发，以的速度运动，设运动的时间是秒， ； ②当时， 从点出发，以的速度运动，设运动的时间是秒， ； ③当时，如图所示： 设，则，， 在中，由勾股定理得， ，解得， 综上所述：的值为16或10或， 故答案为：16或10或． 【点睛】本题考查了勾股定理、以及等腰三角形的性质，运用分类思想是正确解题的关键． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“取经数”，此时，规定．例如，2475中，，2475是“取经数”，；又如2375中，，2375不是“取经数”， （1）___________________； （2）对于一个“取经数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是9的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“取经数”中最大值为_________． 【答案】 ①. 59 ②. 8514 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“取经数”、整式运算等知识，理解题目中“取经数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设N千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，，根据“取经数”的定义可得，结合为9的倍数，且a、b均不为0，找到符合条件的a、b的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）5841中，，5841是“取经数”， ； 故答案为：59； （2）设N千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，， ， 为9的倍数，且a、b均不为0， 又，a、b在到中选择， 则当时，满足条件，此时为3168； 当时，满足条件，此时为7623； 当时，满足条件，此时为8514， 又∵取最大值， ∴为8514． 故答案为：8514． 三、解答题（17、18题各8分，其余每题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）根据多项式乘以多项式以及完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）分解因式：； （2）若，，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，求代数式的值，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，再提取公因式即可得出结果； （2）由得出，再结合同底数幂相乘的运算法则得出，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小德通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： （1）如图，在中，，D为底边的中点，于点E．利用尺规作图，过点D作于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明： ____________① ， D为底边的中点 ____________② 在和中 （____________④） （____________⑤）（理由） 【答案】（1） （2）①，②，③，④，全等三角形，对应边相等⑤ 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线．熟练掌握基本尺规作图，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 作法： 在直线的另一侧取点N，以点D为圆心，以长为半径画弧，交于G，H两点， 分别以点G，H为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点M， 作射线交于点F． 【小问2详解】 略 20. 如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． （1）实数的值是 ； （2）求的值； （3）数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 21. 已知的展开式中不含项和项． （1）求的值； （2）先化简，再求值: ． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可； （2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 原式 ， 展开式中不含项和项， ， 解得； 即； 【小问2详解】 原式 ， ． 22. 如图，在中，，，于D，于E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． ，又， ． 在和中， ， ． ，． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ． ， ， 23. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； （2）已知，，求下列各式的值： ①； ②； （3）如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【答案】（1） （2）28，20 （3）11 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可． 【小问1详解】 阴影部分是边长为的正方形，面积为． 阴影部分的面积也可表示为大正方形面积四个小长方形面积， 即， ∴等量关系为； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴①， ②； 【小问3详解】 解：一个长方形的周长为，面积为8， ，， ， ． 故答案为：11． 24. 【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． （1）【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是          ．（填字母） （2）【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． （3）【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】（1）A （2）所需金属丝的最短长度为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：∵两点之间线段最短， 故选：A； 【小问2详解】 解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； 【小问3详解】 解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 25. （1）如图1，已知：和是等边三角形，点、、在同一直线上，连接，和边交于点，连接，和交于点．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点顺时针旋转一定的角度，连接． ①求的度数； ②猜想线段、和的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明） （3）如图3，在中，，过外一点，作，和边交于，连接，过点作于，若，，，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； （2）①， ②，理由为： 过点作，于点，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 在上截取，连接， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）①证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题即可；②过点C作，于点M，N，根据角平分线的性质得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）在上找一点，使得，连接，证明，即可得到，然后利用勾股定理得到长，再根据解题即可． 【详解】（1）略 （2）①同理可证， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）如图，在上找一点，使得，连接， ∵，，， ， ，即， ， ， ， 又， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $