专题26.1 寒假反比例函数基础精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练）- 2025-2026学年人教版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 26.1 中考寒假反比例函数基础精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练） 目录 一.知识梳理与题型精析 2 【知识点一】反比例函数的定义 2 【★题型 1】反比例函数定义识别 2 【★题型 2】利用反比例函数定义求参数 3 【知识点二】反比例函数的解析式 5 【★题型 3】待定系数法求反比例函数解析式 5 【知识点三】反比例函数的图象与性质 6 【★题型 4】反比例函数图象的位置 7 【★题型 5】反比例函数的性质 9 【★题型 6】反比例函数与一次函数、二次函数综合 11 【知识点四】反比例函数的几何意义 15 【★题型 7】已知反比例函数解析式求面积 16 【★题型 8】已知面积求反比例函数的解析式 19 【知识点五】利用反比例函数解决实际问题 23 【★题型 9】反比例函在生产生活中的应用 23 【★题型10】反比例函数在其他学科中的应用 25 二.点对点专项训练 28 【考点1】反比例函数定义 28 【考点2】反比例函数图象与性质 32 【考点3】反比例函数几何意义 42 【考点4】反比例函数与实际应用 52 三.易错点小结与解题方法反思 58 （一）易错点小结： 58 （二）解题方法反思： 58 （三）改进方向： 58 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【★题型 1】反比例函数定义识别 【例题1】（25-26九年级上·山东临沂·月考）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解析式形如的函数叫做关于的反比例函数．根据反比例函数的定义即可得出答案． 【详解】解：A、不是反比例函数，该选项不符合题意； B、是反比例函数，该选项符合题意； C、不是反比例函数，该选项不符合题意； D、不是反比例函数，该选项不符合题意， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·月考）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查反比例函数：根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积均等于比例系数k，由此建立等式并求解． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 【★题型 2】利用反比例函数定义求参数 【例题2】（24-25九年级上·全国·期末）已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据反比例函数的定义求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的正比例函数； （2）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的反比例函数． 【变式1】（25-26九年级上·北京顺义·期中）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为(    ) A． B．1 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质．由点在反比例函数图象上，可得，代入代数式计算即可． 【详解】点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）反比例函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征(即反比例函数的图象上，任意一点的横、纵坐标之积等于常数)． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积等于， 对选项A：点，，∴该点不在图象上， 对选项B：点，，∴该点在图象上， 对选项C：点，，∴该点不在图象上， 对选项D：点，，∴该点不在图象上， 故选：B． 【知识点二】反比例函数的解析式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 【★题型 3】待定系数法求反比例函数解析式 【例题3】（25-26九年级上·广东揭阳·月考）若点，在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数定义，设解析式为，代入两点坐标得到方程，解出即可． 【详解】解：设反比例函数点 解析式为， 则，， ， 解得， ， 反比例函数的解析式为， 故选：C． 【变式1】（2025·河南信阳·三模）若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，设反比例函数的解析式为，把代入求出k值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，因为函数经过点， ∴， 则它的解析式是． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的平移，熟练掌握反比例函数图象的平移是解题的关键；根据图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为； 故答案为． 【知识点三】反比例函数的图象与性质 y＝ () 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【★题型 4】反比例函数图象的位置 【例题4】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若，则反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，算术平方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算k的值，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数 的图象在第一、三象限． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）点在反比例函数的图象上，那么 ，该函数的图像位于第 象限． 【答案】 二、四/四、二 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，k等于点的横坐标与纵坐标的乘积；再根据k的符号判断反比例函数图象所在的象限． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 所以． 由于， 所以反比例函数的图象位于第二、四象限． 故答案为：，二、四． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据反比例函数的性质，比较点A和点B的纵坐标大小关系，通过解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵点和在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【变式3】（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 【★题型 5】反比例函数的性质 【例题5】（25-26九年级上·福建漳州·月考）反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 反比例函数的性质：当比例系数大于0时，图象在每个象限内y随x的增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而减小， ∴比例系数， ∴． 故选A． 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，且y随x的增大而增大，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，关键是利用解析式求得的值；根据函数解析式分别求出，，的值，再比较大小． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∵， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）关于x的方程（k为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过、、三点，则m、n、t之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，根据根的判别式求出是解题的关键．由一元二次方程有两个相等实数根，得判别式为零，求出；再代入反比例函数解析式，求出各点纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象经过、、三点， ∴，，， ∵， ∴， ． 故选：C． 【★题型 6】反比例函数与一次函数、二次函数综合 【例题6】（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数解析式为； (2)点的坐标为或 【分析】本题考查的知识点是反比例与几何综合，待定系数法求函数解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出对应的函数解析式． （1）把点坐标代入反比例函数解析式中可求出的值，把点和点代入一次函数解析式中可求出和的值即可得到一次函数解析式； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据求出点的纵坐标即可得解． 【详解】（1）解：把点代入得， 反比例函数解析式为， 把点，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：对于，当时，， ， ， ， ， ， ， ， 为反比例函数图象上一点， 点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象特征，函数图象在上面的y值总比函数图象在下面的y值大；反之，函数图象在下面的y值就越小；据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，两点，且， ∴以和2为大小的分界点， 当，时，函数图象都在函数图象的上方， 即时，或． 故选：A． 【变式3】（23-24九年级下·山东青岛·单元测试）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象直接可得结论． 【详解】解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 【变式4】（25-26九年级上·山东菏泽·月考）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 【知识点四】反比例函数的几何意义 如图：过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 【★题型 7】已知反比例函数解析式求面积 【例题7】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C．5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．①在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．②在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知：的面积为，的面积为，的面积为， ， 的面积为． 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的图像的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，由，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 【答案】 【分析】题目主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 作于，于，根据题意得出，确定，，结合图形求解即可． 【详解】解：作于，于， 双曲线，，且轴于点A，轴于点B，分别交双曲线于D、C两点， 矩形的面积为：， ， ， ， ， ， ， ． 【★题型 8】已知面积求反比例函数的解析式 【例题8】（24-25九年级上·陕西榆林·月考）反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再利用得到，然后解关于k的绝对值方程即可． 【详解】解：根据题意得：轴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵反比例函数在第一象限的图象， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是6， ， ， 又图像在第二象限， ． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·月考）反比例函数在第一象限内的图象如下图所示，垂直x轴于点A，如果的面积为4，那么k的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．设，则，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数第一象限内的图象上， ∴设， ∵垂直x轴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广西·期中）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，是该图象上的两点，比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． （1）设点A的坐标为，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论； （2）首先由，得到在每个象限内，y随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， 设反比例函数的解析式为． ∵长方形面积为12，                                      ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 【知识点五】利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下： （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【★题型 9】反比例函在生产生活中的应用 【例题9】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．      (1)当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． (2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 【答案】(1)； (2)11小时 【分析】本题实际问题与反比例函数，正确地求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）求出时的两个自变量的值，作差即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，直线经过点 ∴， 解得： ∴解析式为； 当时，设与之间的函数关系式为， 由图象可知，反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为； （2）解：令，解得：， 令，解得：， ∴（小时）， ∴一次服药后的有效时间有11小时． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款4000元，后期每个月分期付相等数额，则每个月的付款额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 由题意，后期分期付款总额为售价减前期付款，即元，每月付款额y与月数x满足反比例关系，即可解答． 【详解】解：∵电脑售价为12000元，前期付款4000元， ∴后期分期付款总额为元． ∵后期每月付款额相等，分x个月付清， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（北京市石景山区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题）近视眼镜的度数（单位：度）与镜片焦距（单位：）满足反比例函数关系，200度近视眼镜的镜片焦距为．若近视眼镜不超过100度，则此眼镜的镜片焦距可能为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 设，把相关数据代入即可求得函数的解析式． 【详解】解：设， 度近视眼镜镜片的焦距是， ， ， 假设近视眼镜度数，可得，即此眼镜的镜片焦距可能为． 故答案为：（答案不唯一）． 【★题型10】反比例函数在其他学科中的应用 【例题10】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【答案】(1) (2) 电阻 的值为 4 Ω 【分析】本题考查反比例函数的应用．熟练掌握电路中电流、电压、电阻的关系，是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将代入函数关系式解出即可． 【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，且，当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得， 答：电阻R的值为． 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．容器内气体的质量（质量）是5kg B．当时， C．当容器的体积为时，气体的密度为 D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值， 先求出m的值判断A；再根据反比例函数值随着x的增大而减小解答B，D；然后求出当时的函数值解答C． 【详解】解：∵， ∴容器内气体的质量为， 所以A不正确； 当时，， 所以当时，， 所以B不正确； 当时，， 所以当容器的体积，气体的密度是， 可知C正确； 当时，气体的密度随着容器体积的增大而减小， 则D不正确． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·北京石景山·期末）在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出P关于S的反比例函数关系式，再把代入关系式中求出对应的P的值即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴当时，该物体所受到的压强为， 故答案为：． 二.点对点专项训练 【考点1】反比例函数定义 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）下列函数中，是的反比例函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，判断各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A、 ，是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，是反比例函数，故此选项符合题意； C、，是一次函数，故此选项不符合题意； D、，是二次函数，故此选项不符合题意． 故选： B． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·山西运城·月考）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数， ∴，， 由得， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为， 故选：A． 4．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）反比例函数的图象不经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握：函数图象上的点表示该点的横纵坐标适合该函数的解析式，反过来也成立．据此逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为 ， A、当，，满足方程，则该点在图象上； B、当，，不满足方程，则该点不在图象上； C、当，，满足方程，则该点在图象上； D、当，，满足方程，则该点在图象上． 故选：B． 5．（24-25九年级上·山东日照·月考）若反比例函数的图象经过点，则m的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征； 把点代入反比例函数解析式中，即可得到m的值． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，读懂题意，准确列举符合题意的点是解决问题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上需满足，从中任选两个数记作和，考虑所有有序对，计算满足的概率即可得到答案． 【详解】解：从中任选两个数记作和，所有可能的有序对共有种，列举如下： 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 满足的有序对有、、、，共四种， 点在反比例函数图象上的概率为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）反比例函数的比例系数 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，将函数化为标准形式是解题的关键． 将反比例函数化为标准形式，即可找出比例系数的值． 【详解】解：函数可化为， ∴比例系数， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）反比例函数在第一象限的图象如图所示，已知点A的坐标为，点B的坐标为，则k的值可以是 ．（写一个即可） 【答案】3（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 将代入，根据此时反比例函数值作答即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴当时，反比例函数值， 即， ∴， 则k的值可以是3． 故答案为：3（答案不唯一，即可）． 9．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 【考点2】反比例函数图象与性质 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象关于直线轴对称 D．的值随值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象关于原点对称，位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，据此逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、当时，，即图象经过点，原说法正确，不符合题意； B、反比例函数图象关于原点中心对称，原说法正确，不符合题意； C、若满足，则交换得满足，即，与原方程一致，即图象关于直线轴对称，原说法正确，不符合题意； D、因为，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，原说法错误，符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，关于原点对称，且在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴A：当时，，∴图象经过点，正确； B：∵，∴图象位于第二、四象限，正确； C：反比例函数图象关于原点对称，正确； D：∵，∴当时，在第二象限，y随x的增大而增大，∴说法错误； 故选D． 4．（25-26九年级上·重庆·月考）已知反比例函数中，随增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数的符号与函数在象限内增减性的关系是解题关键． 当时，在的范围内，随增大而增大，由此建立不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数在时，随增大而增大， ∴系数， ∴，即． 故选：C． 5．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，已知点是双曲线上一点，过点作轴于点，且，则该双曲线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数比例系数的几何意义，利用反比例函数图象上点的坐标特征结合三角形面积公式是解题关键．设出点的坐标，结合图象确定线段、的长度，再根据三角形面积公式建立关于的等式，进而求出反比例函数的表达式． 【详解】解：设， 由图象可得，，， 则， ， 该双曲线的表达式为． 故选：． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象、一次函数图象和反比例函数的图象综合判断，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二、三象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 8．（23-24九年级上·安徽安庆·月考）若反比例函数的图象有一支位于第一象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象性质得到，解出不等式即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第一象限， ∴， 解得． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山西运城·月考）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象位于第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，要特别注意，反比例函数图象的增减性要考虑在每一个象限的情况． 设反比例函数解析式为，将点代入求出，再根据的符号判断图象所在的象限 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵图象经过点， ∴，解得：， ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限． 故答案为：一、三 10．（25-26九年级上·广东广州·月考）反比例函数（）上三个点、、，则、、按从小到大排列为 . 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：根据反比例函数（）可知， 当时，；当时，． 点的横坐标， ； 点和的横坐标均小于零， ，， 因此最小． ， 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， 又， ， ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可以看出当或时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 12．（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． （1）根据函数图象在第二、四象限，可得，求出k的取值范围即可； （2）根据图象经过点，求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ； （2）解：图象经过点， ， ， ， 当时，， 而当时随的增大而增大， 的取值范围是：． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，主要考查：函数图象上点的坐标特征，求反比例函数的解析式和平行于轴的线段长度的计算方法． （1）利用一次函数求点的坐标，然后利用点求反比例函数的； （2）利用反比例函数求点的坐标，再利用一次函数求点的坐标，最后计算的长． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入，得：，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得：，解得，即． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， 将代入，得：，解得，即． ∴． 15．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； (2)点C的坐标为：，的面积为6； (3)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【详解】（1）解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【考点3】反比例函数几何意义 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 2．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，为反比例函数的图象上一点，连接，过点作的垂线，与反比例函数的图象交于点，作轴于点，轴于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握系数k的意义是解题关键； 根据反比例函数系数k的意义可知，，，进而可知两个三角形的面积比． 【详解】解：∵为反比例函数的图象上一点， ∴， 又∵为反比例函数的图象上一点， ∴， 故， 故选：D． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在的图象上，有三点A，B，C，过这三点分别向y轴引垂线，垂足分别为，连接，的面积分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数 k 的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．过图象上任意一点向 轴作垂线，该点、垂足及原点 O 构成的直角三角形面积恒为，与点的具体位置无关． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴设， 同理可得 ∴． 故选：D． 4．（2025九年级上·河南安阳·专题练习）如图，的直角边在轴上，，反比例函数的图象经过另一条直角边的中点，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了中线与三角形面积，反比例函数的k的几何意义，先理解直角边的中点是，，得，又因为反比例函数经过另一条直角边的中点，轴，即． 【详解】解：∵直角边的中点是，， ， 反比例函数经过另一条直角边的中点，轴， ， 故选B． 5．（25-26九年级上·山东济南·月考）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过该点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的系数的几何意义得到，由，得，然后计算． 【详解】解：根据题意得， 而， ∴， ∴． 故答案为：6． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键． 先分别求得，，从而可求得，，进而求得，再求得，然后利用求出结果． 【详解】解：在反比例函数中， 当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ． 故答案为：． 9．（2026九年级·全国·专题练习）如图，矩形顶点，在y轴上，顶点在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为．若反比例函数的图象经过点，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键． 由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案． 【详解】解：设点， ∵轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6， ， ， 故答案为3． 10．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，正比例函数与反比例函数 交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义．根据反比例函数的性质可得点A，B关于坐标原点对称，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数 交于A、B两点， ∴点A，B关于坐标原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 故答案为： 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且，求矩形的面积． 【答案】12 【分析】本题主要考查矩形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握矩形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键；过点E作于点F，由题意易得四边形是矩形，然后由反比例函数k的几何意义可知：，进而根据可进行求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， 由反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 【考点4】反比例函数与实际应用 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，当时，求出对应的电流值即可． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴当时，， 故选：A． 2．（25-26九年级上·吉林·月考）已知干电池两端电压为定值，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（   ）    A．函数表达式为 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质，求得函数表达式是解题的关键．先根据图象经过点，求得函数表达式，然后根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知， 将代入，得，所以函数表达式为，故A选项正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 由图象可知，当时，，故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·江西抚州·月考）数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（   ） A．当时，是的一次函数 B．当时，是的反比例函数 C． D．该冰箱每天耗电至少超过1度 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C；根据“冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”可判断D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ，故C选项正确，不符合题意； 每天的耗电量度度， 该冰箱每天耗电低于1度，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 4．（2026·辽宁抚顺·三模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，图像如图所示．当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据图像求出值是解题的关键． 先根据反比例关系设出函数解析式，再结合图像中给出的米、度的条件求出，确定具体的函数表达式，最后将代入解析式，计算得出镜片焦距米即可． 【详解】解：设反比例函数为， 由图像中得：米、度，即图像过点， 代入得， ， 当时，，解得． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）在不同的介质中光的传播速度v（亿米／秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 … v（亿米／秒） 3 …     若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为 亿米／秒． 【答案】2 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根据反比例函数关系，设，利用表格数据求出常数k，再代入计算v． 【详解】解：∵在不同的介质中光的传播速度v（亿米／秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．且结合表格数据， ∴设， 把代入，得， ∴， 即， 依题意，把代入，得， 故答案为：2． 6．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到时，此物体在力的方向上移动的距离是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键．设反比例函数关系为，代入求出的值，得到，再代入求出对应的值即可求解． 【详解】解：设反比例函数关系为， 代入，得， ∴反比例函数关系为， 当时，， 解得， 故答案为：1． 三、解答题 7．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）现准备用一批大小相同的纸装订页码相同的练习本，纸张的总数量一定，则可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间成反比例函数关系，已知当每本练习本的页数为15页时，可以装订的本数为24． (1)求可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若现在需要用这批纸装订10本页码相同的练习本，则每本练习本有多少页？ 【答案】(1) (2)36页 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据装订的练习本本数y与每本的页数x之间成反比例函数关系，得到为定值，结合每本练习本的页数为15页时，可以装订的本数为24，进行求解即可； （2）求出时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间的函数表达式为， 由题意：， ∴可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间的函数表达式为． （2）将代入，得，解得， 答：每本练习本有36页． 8．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图所示（）．求当液体的密度时，浸在液体中的高度h的值． 【答案】浸在液体中的高度h的值为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好待定系数法求反比例函数的解析式是解题关键． 设h与之间的函数关系式为（k为常数，且），根据图象求出系数，再将代入解析式，求出h的值． 【详解】解：设h与之间的函数关系式为（k为常数，且）， 将坐标代入上式，得，解得， ∴h与之间的函数关系式为． 当时，． 答：浸在液体中的高度h的值为． 三.易错点小结与解题方法反思 （一）易错点小结： （1）定义混淆：容易将反比例函数与一次函数、二次函数混淆，判定时要严格紧扣y=xk​的形式，注意分母只能是x的一次单项式。 （2）增减性误区：忽略 “在每个象限内” 的前提条件，直接说y随x的增大而增大或减小，导致结论错误。 （3）几何意义易错点：计算面积时忘记加绝对值符号，忽略k的正负对图象象限的影响。 （4）待定系数法失误：代入点的坐标时计算错误，或设解析式时遗漏k=0的条件。 （二）解题方法反思： 图象法：解决函数综合题时，要善于结合图象分析，利用图象的位置、对称性和交点来快速解题。 数形结合：处理反比例函数与一次函数、二次函数的综合题时，数形结合思想是关键，通过图象的上下位置关系确定不等式的解集。 模型思想：解决实际问题时，要准确判断变量之间的反比例关系，建立正确的函数模型，同时注意自变量的实际取值范围。 （三）改进方向： 加强基础概念的辨析，通过对比一次函数、二次函数的定义和性质，明确反比例函数的独特特征。 多做错题整理，针对易错点进行专项训练，尤其是增减性的前提条件和几何意义的应用。 注重实际问题的分析训练，提高从实际情境中抽象出反比例函数模型的能力。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.1 中考寒假反比例函数基础精讲精练（知识梳理+题型精析+专项训练） 目录 一.知识梳理与题型精析 2 【知识点一】反比例函数的定义 2 【★题型 1】反比例函数定义识别 2 【★题型 2】利用反比例函数定义求参数 2 【知识点二】反比例函数的解析式 2 【★题型 3】待定系数法求反比例函数解析式 3 【知识点三】反比例函数的图象与性质 3 【★题型 4】反比例函数图象的位置 4 【★题型 5】反比例函数的性质 4 【★题型 6】反比例函数与一次函数、二次函数综合 5 【知识点四】反比例函数的几何意义 6 【★题型 7】已知反比例函数解析式求面积 7 【★题型 8】已知面积求反比例函数的解析式 8 【知识点五】利用反比例函数解决实际问题 9 【★题型 9】反比例函在生产生活中的应用 10 【★题型10】反比例函数在其他学科中的应用 10 二.点对点专项训练 11 【考点1】反比例函数定义 11 【考点2】反比例函数图象与性质 12 【考点3】反比例函数几何意义 16 【考点4】反比例函数与实际应用 19 三.易错点小结与解题方法反思 21 （一）易错点小结： 21 （二）解题方法反思： 22 （三）改进方向： 22 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 【★题型 1】反比例函数定义识别 【例题1】（25-26九年级上·山东临沂·月考）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是 （填入序号）． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·月考）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ． 【★题型 2】利用反比例函数定义求参数 【例题2】（24-25九年级上·全国·期末）已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 【变式1】（25-26九年级上·北京顺义·期中）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为(    ) A． B．1 C．9 D．6 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）反比例函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【知识点二】反比例函数的解析式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 【★题型 3】待定系数法求反比例函数解析式 【例题3】（25-26九年级上·广东揭阳·月考）若点，在同一个反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南信阳·三模）若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是 ． 【变式2】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 ． 【知识点三】反比例函数的图象与性质 y＝ () 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【★题型 4】反比例函数图象的位置 【例题4】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若，则反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）点在反比例函数的图象上，那么 ，该函数的图像位于第 象限． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【★题型 5】反比例函数的性质 【例题5】（25-26九年级上·福建漳州·月考）反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B．3 C．3 D．3 【变式1】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是： ． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是 ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）关于x的方程（k为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过、、三点，则m、n、t之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【★题型 6】反比例函数与一次函数、二次函数综合 【例题6】（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式3】（23-24九年级下·山东青岛·单元测试）抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【变式4】（25-26九年级上·山东菏泽·月考）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【知识点四】反比例函数的几何意义 如图：过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 【★题型 7】已知反比例函数解析式求面积 【例题7】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C．5 D． 【变式2】（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ． 故答案为：6． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 【★题型 8】已知面积求反比例函数的解析式 【例题8】（24-25九年级上·陕西榆林·月考）反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（    ） A． B． C．3 D． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·月考）反比例函数在第一象限内的图象如下图所示，垂直x轴于点A，如果的面积为4，那么k的值是 ． 【变式3】（24-25九年级上·广西·期中）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，是该图象上的两点，比较m，n的大小． 【知识点五】利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下： （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 3.反比例函数在其他学科中的应用 （1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； （2）当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； （3）在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； （4）电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【★题型 9】反比例函在生产生活中的应用 【例题9】（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第小时起开始起效，第2小时达到最高微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，每毫升血液中含药量（微克）与时间（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．      (1)当时，与之间的函数表达式为 ；当时，与之间的函数表达式为 ． (2)如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间有多少小时． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款4000元，后期每个月分期付相等数额，则每个月的付款额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（北京市石景山区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题）近视眼镜的度数（单位：度）与镜片焦距（单位：）满足反比例函数关系，200度近视眼镜的镜片焦距为．若近视眼镜不超过100度，则此眼镜的镜片焦距可能为 （写出一个即可）． 【★题型10】反比例函数在其他学科中的应用 【例题10】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．容器内气体的质量（质量）是5kg B．当时， C．当容器的体积为时，气体的密度为 D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【变式2】（24-25九年级上·北京石景山·期末）在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为 ． 二.点对点专项训练 【考点1】反比例函数定义 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）下列函数中，是的反比例函数的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西运城·月考）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 4．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）反比例函数的图象不经过的点是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东日照·月考）若反比例函数的图象经过点，则m的值是（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是 ． 7．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）反比例函数的比例系数 ． 8．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）反比例函数在第一象限的图象如图所示，已知点A的坐标为，点B的坐标为，则k的值可以是 ．（写一个即可） 9．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【考点2】反比例函数图象与性质 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）关于反比例函数的图象和性质，下列说法错误的是（   ） A．图象经过点 B．图象关于原点中心对称 C．图象关于直线轴对称 D．的值随值的增大而增大 3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而减小 4．（25-26九年级上·重庆·月考）已知反比例函数中，随增大而增大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，已知点是双曲线上一点，过点作轴于点，且，则该双曲线的表达式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为 ． 8．（23-24九年级上·安徽安庆·月考）若反比例函数的图象有一支位于第一象限，则k的取值范围是 ． 9．（25-26九年级上·山西运城·月考）已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象位于第 象限． 10．（25-26九年级上·广东广州·月考）反比例函数（）上三个点、、，则、、按从小到大排列为 . 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 12．（2025·陕西西安·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 三、解答题 13．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知反比例函数的图像位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若图像经过点，当时，求的取值范围． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 15．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【考点3】反比例函数几何意义 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（25-26九年级上·四川达州·月考）如图，为反比例函数的图象上一点，连接，过点作的垂线，与反比例函数的图象交于点，作轴于点，轴于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，在的图象上，有三点A，B，C，过这三点分别向y轴引垂线，垂足分别为，连接，的面积分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·河南安阳·专题练习）如图，的直角边在轴上，，反比例函数的图象经过另一条直角边的中点，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（25-26九年级上·山东济南·月考）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为 ． 7．（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为 ． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中．反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，连接，，，则的面积为 ． 9．（2026九年级·全国·专题练习）如图，矩形顶点，在y轴上，顶点在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为．若反比例函数的图象经过点，则k的值为 ． 10．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，正比例函数与反比例函数 交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，双曲线与矩形的边交于点，且，求矩形的面积． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【考点4】反比例函数与实际应用 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林·月考）已知干电池两端电压为定值，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（   ）    A．函数表达式为 B．当时， C．当时， D．当时， 3．（25-26九年级上·江西抚州·月考）数学实践小组在网上查到某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示：通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环．则以下结论不正确的是（   ） A．当时，是的一次函数 B．当时，是的反比例函数 C． D．该冰箱每天耗电至少超过1度 二、填空题 4．（2026·辽宁抚顺·三模）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，图像如图所示．当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是 米． 5．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）在不同的介质中光的传播速度v（亿米／秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 … v（亿米／秒） 3 …     若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为 亿米／秒． 6．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到时，此物体在力的方向上移动的距离是 ． 三、解答题 7．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）现准备用一批大小相同的纸装订页码相同的练习本，纸张的总数量一定，则可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间成反比例函数关系，已知当每本练习本的页数为15页时，可以装订的本数为24． (1)求可以装订的练习本本数y与每本的页数x之间的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若现在需要用这批纸装订10本页码相同的练习本，则每本练习本有多少页？ 8．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，其图象如图所示（）．求当液体的密度时，浸在液体中的高度h的值． 三.易错点小结与解题方法反思 （一）易错点小结： （1）定义混淆：容易将反比例函数与一次函数、二次函数混淆，判定时要严格紧扣y=xk​的形式，注意分母只能是x的一次单项式。 （2）增减性误区：忽略 “在每个象限内” 的前提条件，直接说y随x的增大而增大或减小，导致结论错误。 （3）几何意义易错点：计算面积时忘记加绝对值符号，忽略k的正负对图象象限的影响。 （4）待定系数法失误：代入点的坐标时计算错误，或设解析式时遗漏k=0的条件。 （二）解题方法反思： 图象法：解决函数综合题时，要善于结合图象分析，利用图象的位置、对称性和交点来快速解题。 数形结合：处理反比例函数与一次函数、二次函数的综合题时，数形结合思想是关键，通过图象的上下位置关系确定不等式的解集。 模型思想：解决实际问题时，要准确判断变量之间的反比例关系，建立正确的函数模型，同时注意自变量的实际取值范围。 （三）改进方向： 加强基础概念的辨析，通过对比一次函数、二次函数的定义和性质，明确反比例函数的独特特征。 多做错题整理，针对易错点进行专项训练，尤其是增减性的前提条件和几何意义的应用。 注重实际问题的分析训练，提高从实际情境中抽象出反比例函数模型的能力。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $