26.1.2 培优专题4：双反比例函数图象与面积问题&培优专题5：一次函数与反比例函数的综合应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（人教版）

同行学案学练测 12.C[解析]由“左加右减”的原则可知y=上的图象 参芳答案及解析 向右平移1个单位长度所得函数解析式是y= 数学九年级下RJ 马一由“上加下减”的原则可知函数)=的图 1 象向上平移1个单位长度所得函数解析式是y= 第二十六章反比例函数 26.1反比例函数 1 13.A14.015.1或2 26.1.1反比例函数 第2课时反比例函数的图象和性质的应用 1.C2.C3.m≠24.1(2)25.A6日 1.(1)C(2)D2.(1)A(2)A3.C 7.C8.A9.D10.B11.A 4.(1)D 12.C13.D14.D15.D (2)D[解析]设A(m,系)，则B(,系)， 16.(1)y=12(2)1.2≤≤3(3)1.6 x D,品)c(←梁，品)s=5=2,s 17.解：1)设y=车，因为当x=-2时y=-3,所 急：s:+s,+s,=号2+者+2= 2,解得 以-2中一3，解得及-3因此y ，(2)把 3=2 3 2=名代入=年1得= 5.(1)D(2)-226.C7.(3,2) 2+1 8.解：(1)把A(-1,m),B(n,-1)两点代入y=-5 18.1)2-3-22(2-3 得m=5,n=5,∴.A(-1,5),B(5,-1).把A(-1, 26.1.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 5),B(5,-1)两点代人y=r+6,得仁6+6=5 5k+b=-11 1.C2.C3.A4.B5.D6.B 解得 7.1(答案不唯一)8.C9.D 6=4,…一次函数的解析式为y=一x十4. (k=一1 10.1)A(2)D11.A12.y= (2)由一次函数知，x=0时，y=4,.OD=4, 13.1[解析]点A(a,a)先向右平移2个单位长度，再 △A0B的面积-SMm+SaD-号X4X1+号× 向上平移2个单位长度，所得点B的坐标为(a十2， 4×5=12. Q十2).“点A,B都在反比例函数y=冬的图象上， 9.B10.211.412.-20 .k=a2=(a+2)2,解得a=-1,.k=(-1)2=1. 13.(2,1)14.-3 14.解：(1)x≠2(2)3(3)略(4)①该函数图象是 轴对称图形.②该函数图象不经过原点，（合理即可） 15.解：1)：直线=1x+6与双曲线-经相交于 培优专题1：求解反比例函数 A(-2,3),B(m,-2)两点，3=2，解得： 图象问题的六种技巧 1.B2.D3.B4.A5.C -6,双曲线的解析式为=一把B(m,一2) 6.B[解析]先根据点A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线 代人=-，得-2=元，解得m=3,B(3, y=一兰上的点，可知x31=-2,的=一2，再根 -2).把A(-2,3),B(3,-2)两点代入y1=1x+ 据反比例函数图象与正比例函数图象均关于原点对 b,得 称可知x1=一x2,y1=一y2.故可知x1y2=一x1y1, 6,+6=一2解得低三一1 -2k1+b=3 得6=1，心直线的解析式 x2y1=一x2y2,最后代人所求式子求解即可. 为y1=一x十1.(2)如图，过点A作AD⊥BP,交 7.D8.C9.A10.C11.C BP的延长线于点D.:BP∥x轴，AD⊥x轴， BP⊥y轴.A(-2,3),B(3,-2),.BP=3,AD 3.多（答案不唯一）4.A =8-(-2)=5,S=2BP·AD=3×3X5 5.2≤k≤9[解析]当反比例函数的图象过点C时，把 2.(3)-2<x<0或x>3. 点C的坐标代入，得=2×1=2.把y=一x+6代入 y=冬得-x十6=会整理得x-6z十=0,4= (一6)2一4k=36-4k.:反比例函数y=的图象与 △ABC有公共点，∴.36一4k≥0，解得k≤9，，k的取 值范围是2≤k≤9， 6.-1<b<1 16,解：(1)：一次函数y=bx十b与反比例函数y= x 7.解：1)：双曲线y=受过点A(-8,1),m=-8× (x>0)的图象交于点A(1,6),B(,2),.=6, 1=-8.又直线y=x十b过点A(-8,1),B(2,-4), 1 1 (-8k+b=1 m=6,反比例函数的解析式为y=.把B(m, 2k+6=-4解 k一2 (2)由(1)可得反比例 b=一3 2)代人y=是得2=月，解得m=3,B(3,2).把 函数的解析式为y=,直线AB的解析式为y=一2 x A(1,6),B(3,2)两点代人y=x+b,得 .1 +6二6，解得=。2，。 3+b=2 6=8,一次函数的解析式为 -3.当y=0时，-2x-3=0,解得x=-6,即C(-6, 0),∴.OC=6.由点E(1,0)可得OE=1,∴.EC=OE+OC y=一2x+8.(2)如图，作点A关于y轴的对称点 =1+6=7,∴5E=SAMm+Sam=号×7X1+号X7 1 E,连接EB交y轴于点P,此时△PAB的周长最 小.点A(1,6),.E(-1,6).设直线BE的解析 大4=35 · (3)当x=0时y=-x-3=-3,点 式为y=mx十c,. 、2m+c=2,解得一1 c=5 D(O,一3).设直线DE的解析式为y=x十q,将D(0, ∴.直线BE的解析式为y=-x十5.当x=0时，y= -3),E(1,0)两点代人，得q=-3,p十q=0,.p=3,q= 一3，直线DE的解析式为y=3x一3.设DE平移后的解 5,.点P的坐标为(0,5). V+ 析武为y=3x一3+n,由于平移后与y=有唯一公共 点，即方程3x一3十刀=有唯一解，也就是关于x的方 程3x2+(n一3)x十8=0有两个相等的实数根，.△=(n -3)2-4×3×8=0,解得n=3+4√6或n=3-46(舍 培优专题2：巧用根的判别式 去)，.n=3+4√6. 解图象的公共点问题 培优专题3：求解反比例函数 1.D 面积问题的常见模型 2.C[解析]反比例函数y= 兰的图象与反比例函 1.D2.A3.44.85.86.47.98.C9.140 培优专题4：双反比例函数图象与面积问题 数y=兰的图象关于y轴对称，联立方程组 母题探究1：A[解析]：点P在y=上，x,Xy, y 2 ,得x2-mx十2=0.：y=2的图象与 x =k=1,∴设点P的坐标为(a,）(a>0.:PALx轴， y=一x十m 一次函数y=一x十m有两个不同的交点，∴.方程x “点A的横坐标是a“点A在y=一是上，“点A的坐标 mx十2=0有两个不同的实数根，∴.△=m2-8>0, ,.m>2√2或m<一2W2. 是(Q,一召）：PBLy轴点B的纵坐标是合：点B 同行学案学练测·13· 在)一上代入得日-是解得x=-30,点B 一次函数解析式，得2a十3=4，解得a=号，所以一次函数 的坐标是(-a,)PA=日-（2)=合，PB=- 的解析式为y=2x十3，将点A的坐标代入反比例函数解 1a-(-3a)|=4a.:PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴， 析式，得及一2X4一8，所以反比例函数的解析式为y :.PALPB.:.Sar-PAXPB-zx4Xia-8 (2)将y=2代人y=号x+3,得2x+3=2,解得x= 变式训练 1.A[解析]设点A的坐标为(m,1).,AB∥x轴，AC∥ -2,所以点C的坠标为(-2,2》.将y=2代人y=受，得 y轴，∴.点B的纵坐标为1，点C的横坐标为m.将y=1代 x=4,所以点D的坐标为(4,2)，所以CD=4-(一2)=6， 入y=空得x=n,B(n,1),心AB=m一m将x=m代 1 所以S△m=2X6X(4-2)=6. 人y=是得y=升C(m,)AC=1-S 2.解：(1)分别将点A(-2,m)和点B(n,-1)代入y2= -至得一-2m-一8，一1-一8，解得m-4,n-8点A 2 的坐标为（一2,4），点B的坐标为(8，一1).把点A,B的坐 -=3vm.选项A中，号-(9)≠3√日，∴选项 -2k+b=4, 标代人y1=kx十b, 8k+6=一1”解得 2,. A符合题意. =3 2.7[解析]如图，连接OC,设AC交y轴于点E,则S△4oE 3 1 次函数的解析式为1=一名x+3.(②)z<-2或0< =2,S△r=2,S△c=2·A,B两点关于原点对 称，∴.OA=OB,∴.S△ABC=2S△4c=7. <8、(3):-次函数y=子x十3的图象与y轴交于点 C,点C的坐标为0,3以把y=3代入=兰，得x -号点D的坐标为(-号，3)CD=号，∴Sm 3×号×4-3)=台 26.2实际问题与反比例函数 母题探究2：①②③④[解析]0Sams=Saac1=2k,故① 1.D[解桥]设反比例函数的解析式为y=冬，把1,180)代 正确.②S四边形0CPD=k1,S四边形PAO8=S四边形0CPD一S△ODB 人，得k=180y=180.当工=4时，y=454月份的利 x S△cA=k1一k2,故②正确.③设P(m,n),则mn=k1.,A, 润为45万元，故A正确；技术改造完成后，从4月份到 B两底在双线)上，A(),a(售路 5月份，利润从45万元增加到75万元，故每月利润比前一 m”=1-冬，PAn- 个月增加30万元，故B正确；当y=135时，令135=180， k'PC n 严-1是路-路故正 4 解得x=子.设一次函数的解析式为y=虹十b,则 确.④：SAOBA=S四边形AB0c一S△A0C,S四边形ACEB=S网边形A0C S△0E,而S△A0c=S△OE,∴.S△OaA=S四边形ACEB,故④正确。 变式训练 6+6=75解得=0 14k+b=45 b=-75 .y=30x-75.令135=30x 75,解得x=7,则2月、3月、4月、5月、6月共5个月的 3A4号 利润低于135万元，故C正确；当x=9时，y=30×9-75 培优专题5：一次函数与反比例 =195,即9月份该企业利润为195万元，故D错误. 2.D3.A4.180 函数的综合应用 5.解：(1)因为电流I(A)是电阻R(2)的反比例函数，所以设 1.解：(1)因为函数y=ax+b的图象由函数y=ax的图象向 上平移3个单位长度得到，所以b=3.将点A的坐标代入 1-是≠0》把，9)代人，得=4X9=36,所以1-股。 ·14·同行学案学练测 (2)方法一：当R=102时，I=3.6A≠4A,故电流不可能9.解：任务1：G=500×10=5000(N).,压强(P)= 是4A.方法二：10×4=40≠36，故当R=102时，电流 受力面积(S),极地机器人在冰面上的压力与重力相等， 压力(F) 不可能是4A. 6.解：任务1：设反比例函数的解析式为y= P=5000 任务2：当P=1X10Pa时，S=X号 x ,(4,-20)在 函数图象上，∴.k=一80，y关于x的函数解析式为y= 0.5(m2)=5000(cm2).是四轮长航程极地机器人，.每 80(4<x≤).任务2：由任务1可知反比例函数的解 条履带的接触面积为50-1250(cm2),极地机器人应 4 析武为y=一职当)=一4时4一20该冷柜-个循环 更换C型号的履带方可安全通过该冰面。任务3：丢弃不 重要的装备.（答案不唯一）. 耗时20分钟.一个循环运行4分钟，一小时运行12分钟， 培优专题6：确定反比例函数 一天运行24×12=28（分钟），288分钟-号小时，该冷 解析式的六种方法 柜-天的耗电量为0.15×号-072（千瓦时）.答：该冷柜 1.y= 一天的耗电量为0.72千瓦时. 2.y=1或y=3或y=5 7.解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y= k 至将C(20,45代入，得5-易解得友-90，反比例 3.解：1)设1=x十%=k2x.·当x=1时，y=2;当 函数的解析式为y-8”当x=5时，y-赠-20， 十k2=2, x=0时，y=2,2 k1=2 得 k21'y 2 x .D(45,20),∴.A(0,20),即点A对应的指标值为20. k1=2 x+1+ (2)能.理由：设当0≤x<10时，直线AB的解析式为y= x2. （2油①)知，当x=2时y=号+4-4 3 n=20 mx+n,将A(0,20),B(10,45)代入，得 4.解：(1)由图可知点A的坐标为（一3,2）.，反比例函数图 (10m+n=45 解 5 m-立，直线AB的解析式为y=号x十20，当≥36 象过点A,设反比例函数解析式为y=冬，k=一6，反 得 n=20 比例函数解析式为y=一6.(2)易知直线OA的解析式 32 时，2x+20>36,解得x≥5·由(1)得反比例函数的解析 为y=一 2 工.由图象可知，直线OA向上平移3个单位长 式为y-2,当≥36时，20>≥36，解得x≤25号< 2 度得到直线BC的解析式为y=一 x十3，联立方程组 <25时，注意力指标都不低于36，而25-职-9>17， 2 y- 3x+3 3 2 x=6 ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲 ，解得 舍去)， 6 y=-1 解时，注意力指标都不低于36. y=1 8.解：(1)当0≤x≤10时，设水温y(℃)与开机时间 c(- x(min)的函数解析式为y=kx十b.依据题意，得 (b=20 (k=8 5.解：1)：反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(3, 10十6=100解得b=20故此函数解析式为y=8x+ 20.(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间 2》,代人得2=专=6∴反比例两数的解析式为y= x(mn的函数解析式为y一受，依据题意，得100=0，即 6 (2)图略. 8号 n=10,放y=10当y=20时，20=100，解得1= 6.解：(1)(0,1)(2)：双曲线y=经过点D(2,1), x 50.(3):57-50=7≤10，.当x=7时，y=8×7+20= ∴.k=2×1=2,.双曲线的解析式为y= 76.答：小明散步57min回到家时，饮水机内水的温度约 2.D(2,1), 为76℃. AD∥x轴，.AD=2.设BC与y轴交于点E.SDARD=第二十六章反比例函数 数 培优专题4：双反比例函数图象与面积问题 素 养 恩题探究1如图，函数y=和y=一的图 母题探究2如图，两个反比例函数y=: 和 象分别是l1和l2.设点P在L1上，PC⊥x轴， y-(其中，>6，>0)在第一象限内的图象依 垂足为点C,交12于点A,PD⊥y轴，垂足为点 次是C1和C2.设点P在C1上，PC⊥x轴于点 D,交L2于点B,则△PAB的面积为() C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点 B,BE⊥x轴于点E,则下列结论中正确的是 (填序号) ①△ODB与△OCA的面积 y↑C2C 视频讲解 相等； B A.8 B.9 C.10 D.11 ②四边形PAOB的面积等 变式训练 于k1一k2； OE C (m> 1.如图，点A是第一象限内双曲线y=” 哪-隐， ④△OBA的面积等于四边形ACEB的面积. 0)上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y= 变式训练 2a<0于点B,作AC轴，交双曲线y 3如图，点A在反比例函数-：(，是非零 ”(n<0)于点C,连接BC.若△ABC的面积 常数，x>0)的图象上，过点A分别作x轴和 y轴的平行线与反比例函数y,=(,是非 为？，则m,m的值不可能是( ) 零常数，x>O)的图象交于点B和点C,连接 A.m=1 10 b OB,OC.若四边形OBAC的面积为4，则 g,n= 9 B.m= =- k1-k2=() C.m=1,n=-2 D.m=4,n=-2 A.4 B.-4 C.2 D.-2 第3题图 第4题图 第1题图 第2题图 4.如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数 2.如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx与 6与y=2在第一象限内的图象分别为 y=3的图象交于A,B两点，过点A作y轴 曲线11，l2,点P为曲线11上的任意一点，过 的垂线，交函数y=一4的图象于点C,连接 点P作y轴的垂线交L2于点A,交y轴于点 M,作x轴的垂线交l2于点B,则△AOB的 BC,则△ABC的面积为 面积是 做神龙题得好成绩 19 了同行学案学练测 数学九年级下RJ 学素养 培优专题5：一次函数与反比例函数的综合应用 1.(甘肃中考)如图，在平面直角坐标系中，将函 2.(泰安中考)一次函数y1=kx十b(k≠0)与反 数y=ax的图象向上平移3个单位长度，得 比例函数y2=一 的图象相交于点A(一2， 到一次函数y=ax十b的图象，与反比例函数 抽象能力 y整(2>0)的图象交于点A(2,40.过点 m),B(n,-1),与y轴交于点C. (1)求一次函数的解析式。 运算能力 B(0,2)作x轴的平行线分别交y=ax十b与 (2)若y1>y2,请直接写出满足条件的x的取 y冬（x>0)的图象于CD两点 值范围. (3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的 (1)求一次函数和反比例函数的解析式. 图象于点D,求△ACD的面积. (2)连接AD,求△ACD的面积. 空间观念 B 推理能力·数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 20做神龙题得好成绩