精品解析：河北省张家口市桥西区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末学情诊断测试九年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无城． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中的角是圆心角的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知二次函数的图象开口向下，则“□”可能是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象开口向下，则二次项系数小于零，即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数 的开口方向由 决定，当时开口向下， 又∵ 题目中二次项系数为“□”， ∴， 故选：A． 3. 如图， 是的弦，点 ， 都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式  的顶点坐标为  是解题关键． 根据二次函数的顶点式  的顶点坐标为 ，直接读取函数中的  和  值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式  对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 5. 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径逐一进行判断即可. 【详解】A、不是圆周角，故本选项不能判断； B、根据90°的圆周角所对的弦是直径，本选项符合； C、不是圆周角，故本选项不能判断； D、不是圆周角，故本选项不能判断， 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论， 90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆，也是检验半圆的方法，熟练掌握是解题的关键. 6. 设二次函数 （是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（ ） A. 5 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时， ， ∴当时， ， 故选：D． 7. 分别与相切于两点．点 在上，不与点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接， ，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接， ， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 8. 二次函数的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数最值，将二次函数化为顶点式，即可求解． 【详解】解： ， ， 当时，； 故选：C． 9. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处 位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点 之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出 的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧 的长为千米， 故选：C． 10. 将抛物线向右平移10单位，平移过程中此抛物线与 轴的交点 也会随着变化．关于 点位置的变化情况判断正确的是（ ） A. 持续向下 B. 持续向上 C. 先向下再向上 D. 先向上再向下 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，设向右平移距离为t，则新抛物线方程为，当时，，判断当t从0增加到7时，当t从7增加到10时，的变化情况，即可求解． 【详解】解：设向右平移距离为t，则新抛物线方程为， 当时，， ∵是t的二次函数，且二次项系数为负， ∴ 开口向下，顶点在处， ∴ 当t从0增加到7时，从增大到12； 当t从7增加到10时，从12减少到3， ∴ P点先向上再向下移动． 故选：D． 11. 如图， 是边长为2的等边三角形（面积记为），将边 不改变长度，变为，得到以为圆心， 为半径的扇形 （面积记为），则与的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．过点作于点 ，先根据等边三角形的性质和勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用扇形的面积公式可得，然后比较大小即可得． 【详解】解：如图，过点作于点 ， ∵ 是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴ 的面积， 由题意可知，扇形 的面积， ∵， ∴， 故选：A． 12. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路 向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点 运动到点 的位置，得到，当点 运动到点 的时候，最小为，，勾股定理求出 的值，判断A；当时，点 运动到点 ，根据三线合一，得到，进而求出 的值，判断B；连接 ，勾股定理求出的长，确定 的纵坐标，判断C，求出时，点 的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点 运动到点 的位置，则由题意和图象可知，当点 运动到点 的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点 运动到点 ，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点 在点时， ∴； ∴点 的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点 运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点 的位置，是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若抛物线与 轴交于点，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，当 时，，解方程即可求解． 【详解】解：当 时，， 解得 ，， ， 故答案为． 14. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 15. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则小球滑行至停止所用时间为____________秒． 【答案】6 【解析】 【分析】根据函数图象并结合s与t的关系求解即可． 【详解】解：由图可得，当时，滑行距离最大，即此时小球停止， 故答案为：6． 【点睛】本题考查二次函数的应用，利用数形结合思想进行分析是解题的关键． 16. 在数学活动课上，老师将一个圆均匀地分成了九部分，并在分割处标记了9个点，如图①所示，要求同学们用一笔画出一个图案．图②展示了琪琪的成果，并标明了所画的顺序，她将其形象地命名为“九角星”．已知圆的半径为2，那么该“九角星”的周长为______．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，解直角三角形等；由已知条件得，由垂径定理的推论得，由三角函数即可求解． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， 在中， ， ， 该“九角星”的周长：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）点在此抛物线上 （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 18. 如图， ， 是的直径，C是上的一点，且． 与 的大小有什么关系？为什么？ 【答案】 ，理由见解析 【解析】 【分析】根据对顶角相等得到，再根据圆心角、弧、弦的关系得，再结合，即可得到，再根据圆心角、弧、弦的关系得即可证得 ． 【详解】解： ，理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，熟练掌握了圆心角、弧、弦的关系是解决本题的关键． 19. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、 、C、 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为， 为半圆的直径． （1）求半圆的直径 的长． （2）求这个“果圆”被 轴截得的的长． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键． （1）令，求得 的值，即可求得的长； （2）令，求得，则，则，根据勾股定理可求的长，即可得 的长． 【小问1详解】 解：令 ，则， 解得，， ． 【小问2详解】 解：如图，连接 ， 为 的中点， ． ． ， 在中，由勾股定理得， 当时，， ． ． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点 内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出 ，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】（1） 如图，点 即为所求： （2） 如图，即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点 ，连接，根据得到； （2）取格点 ，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求 的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与 轴恰好只有一个交点，求 的值． 【答案】（1），二次函数的对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出 的值以及二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得出对称轴； （2）由平移的性质可得平移后的二次函数的解析式为，再由题意可得，计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线； 【小问2详解】 解；把该函数图象向上平移个单位长度后得到的二次函数的解析式为， ∵平移后的解析式与 轴恰好只有一个交点， ∴， 解得：． 22. 如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点， ，连接 ，作 的垂直平分线交 于点 ，交于点 ， （1）尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心 ； （2）若，，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查作图—垂直平分线，垂径定理，勾股定理，作出正确的图象是解决本题的关键． （1）连接 ，以点A和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接直线 交 的垂直平分线于点O，此时点O即为所求； （2）连接 ，根据垂直平分线的性质可得，进而可根据勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：如图，圆心 即为所求， 【小问2详解】 解：连接 ，如图， 垂直平分 ，， ， ，， ， ， ， ， 解得， 的长为． 23. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】（1）15米； （2）当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； 【小问2详解】 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 24. 如图， 中，，，， 为 上一点，以 点为圆心，为半径的优弧交 于 ， 为优弧上一点（ 不与、 重合），设． （1）连接、，求； （2）当点 有且只有一次落到上时，求 ； （3）当点 能落到上时，求优弧与所围成的封闭图形面积的最大值； （4）若点 在扇形内，设，直接写出的值． 【答案】（1）的度数为 ； （2）； （3）优弧与所围成的封闭图形面积的最大值为； （4）的值为． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行、垂直的定义、等腰三角形的性质及圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得答案； （2）根据圆的切线性质得垂直、根据“含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”及勾股定理可得答案； （3）根据题意及的取值范围确定 的取值，进而根据条件求出圆的半径及圆心角的度数，运用及扇形、三角形的面积公式代入计算即可； （4）由点 在扇形内，通过圆周角定理找特殊临界点确定的取值范围，进而求出的值． 【小问1详解】 解：∵四边形 是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵ ， ∴． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：如图1，当点 为有且只有一次落到上时，即优弧与相切，且 点为切点，连接，设优弧与 交于 ． ∵优弧与相切，且 点为切点， ∴． ∴． 由（1）知，， ∴． ∴． ∵，， ∴． 在 中，，， ∴． ∴． ∴； 【小问3详解】 解：如图2，过点 作于点 ，当点 能落到上，即优弧与有公共点时， 要使优弧与所围成的封闭图形的面积最大，则 的值尽可能的取最大， ∵， ∴． 由（2）知 ，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴优弧与所围成的封闭图形的面积的最大值为； 【小问4详解】 解：如图3，当点 在扇形的优弧上时，， ∴当点 在扇形内时，． 当点 在半径上移动时， ， ∵， ∴当点 无限接近或 且在扇形内时，． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形动点问题、圆的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、扇形的面积公式、勾股定理．掌握图形动点问题的运动轨迹及特点、圆的有关性质、扇形的面积公式等是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末学情诊断测试九年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟； 2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸． 3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚． 4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净． 5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写． 6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无城． 7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中的角是圆心角的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象开口向下，则“□”可能是（ ） A. B. 0 C. D. 2 3. 如图， 是的弦，点 ， 都在上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（　　） A. B. C. D. 6. 设二次函数 （是常数，），部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 当时，（ ） A. 5 B. C. D. 0 7. 分别与相切于两点．点 在上，不与点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 8. 二次函数的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，北京市某处 位于北纬 （即），东经，三沙市海域某处 位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点 和点 之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 10. 将抛物线向右平移10单位，平移过程中此抛物线与 轴的交点 也会随着变化．关于 点位置的变化情况判断正确的是（ ） A. 持续向下 B. 持续向上 C. 先向下再向上 D. 先向上再向下 11. 如图， 是边长为2的等边三角形（面积记为），将边 不改变长度，变为，得到以 为圆心， 为半径的扇形 （面积记为），则与的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 12. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路 向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若抛物线与 轴交于点，，则______． 14. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 15. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则小球滑行至停止所用时间为____________秒． 16. 在数学活动课上，老师将一个圆均匀地分成了九部分，并在分割处标记了9个点，如图①所示，要求同学们用一笔画出一个图案．图②展示了琪琪的成果，并标明了所画的顺序，她将其形象地命名为“九角星”．已知圆的半径为2，那么该“九角星”的周长为______．（结果取整数，参考数据：，，） 三、解答题（本大题共8个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 18. 如图， ， 是的直径，C是上的一点，且．与 的大小有什么关系？为什么？ 19. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点 、 、C、 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为， 为半圆的直径． （1）求半圆的直径 的长． （2）求这个“果圆”被 轴截得的 的长． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点 内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． （2）在图②中找一个格点E，画出，使． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求 的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与 轴恰好只有一个交点，求的值． 22. 如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点 ， ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交于点 ， （1）尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心 ； （2）若，，求 的长． 23. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 24. 如图， 中，，，， 为 上一点，以 点为圆心， 为半径的优弧交 于 ， 为优弧上一点（ 不与 、 重合），设． （1）连接、，求； （2）当点 有且只有一次落到 上时，求 ； （3）当点 能落到 上时，求优弧与 所围成的封闭图形面积的最大值； （4）若点 在扇形内，设，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $