精品解析：福建省厦门集美中学2025-2026学年高一上学期数学周测试题（12）

集美中学106组数学周测（12） 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知角的大小为，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的定义进行求解即可. 【详解】已知角的大小为，所以， 故角为第二象限角. 故选：B. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可求得，根据同角三角函数的基本关系，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 因为，所以，. 所以，. 故选：C. 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可得正确的选项. 【详解】, 而，故，故， 故选：C 4. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6. 若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上无零点及周期情况列式求解. 【详解】函数，当时，， 由函数在没有零点，得，解得， 由，得是函数的周期，则， 解得，所以当时，取得最大值4. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数正弦的两角差，辅助角公式及余弦的二倍角公式进行计算. 【详解】依题意，， 所以． 故选：B． 8. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论． 【详解】解：依题意，设． 则． ，． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为． 则， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若的终边经过点，则（ ） A. 是第四象限角 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据终边上点的位置确定角终边所在象限判断A，由三角函数的定义求三角函数值判断BCD. 【详解】因为的终边经过点，故的终边在第四象限，是第四象限角，故A正确； 由三角函数的定义可知，，，， 故B正确，CD错误. 故选：AB 10. 设函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上的最小值为0 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C选项，求出，由数形结合验证单调性，D选项，求出，结合求出最小值. 【详解】当时，，所以的图象关于点对称，A正确； 当时，，所以的图象关于直线对称，B正确； 当时，，在上单调递减，故C正确； 当时，，在上的最小值为，D错误. 故选：ABC 11. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点Q距离水平地面的高度与时间的函数为 B. 点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为 C. 经过10分钟点Q距离地面35米 D. 摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 【答案】CD 【解析】 【分析】由题可知，摩天轮转一圈用30分钟，则OQ在分钟转过的角为，即可得OQ为终边的角，进而判断A选项；对称中心的横坐标满足，即可判断B选项；将代入点Q距离水平地面的高度与时间的函数中，即可判断C选项；令，求解即可判断D选项. 【详解】由题意知，OQ在分钟转过的角为， 所以以OQ为终边的角为， 所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误； 由，得，所以不是对称中心，故B错误； 经过10分钟，，故C正确； 由，得，得，解得，共20分钟，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若 ，，则___ 【答案】2 【解析】 【分析】由两角和的正切公式求解即可. 【详解】若 ，，则. 故答案为：2. 13. 如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用弧长公式得圆的半径，再结合条件，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设圆的半径为，由题有，解得， 又，所以，又点在圆上，，则 所以矩形的面积为， 又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为， 故答案为：. 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）函数的单调递增区间和对称轴方程． （3）求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为； 对称轴方程为 （3）最大值是，最小值是﹣1 【解析】 【分析】（1）展开利用辅助角公式化简即可求最小正周期 （2）根据复合函数整体法即可求单调递增区间和对称轴方程 （3）根据复合函数整体法即可最大值和最小值 【小问1详解】 函数的最小正周期 【小问2详解】 令 解得 所以函数的单调递增区间为 令,解得 所以对称轴方程为 【小问3详解】 当时, 所以 所以函数在区间上的最大值是,最小值是 16. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式； （2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域； （3）根据可求出，由此求出，进而得到的值. 【小问1详解】 由图知，，则. 由图可得，在处最大值， 又因为图象经过，且该点位于单调递增区间，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过，故，得. 所以函数的表达式为． 【小问2详解】 由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为， 所以，即， 又因为，所以， 由，所以. 所以， 所以. 17. 定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期. （1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）； （2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数； （3）若为线周期函数，求的值. 【答案】（1） （2）证明如下： 若为线周期函数，其线周期为， 则存在非零常数对任意，都有恒成立， 因为， 所以， 所以为周期函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐一判断即可； （2）根据新定义证明即可； （3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有 ，可得，解得的值再检验即可. 【小问1详解】 对于，，所以不是线周期函数， 对于，，所以不是线周期函数， 对于，，所以是线周期函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为线周期函数， 则存在非零常数，对任意， 都有， 所以， 令，得， 令，得， 所以，因为，所以， 检验：当时，， 存在非零常数，对任意， ， 所以为线周期函数， 所以：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学106组数学周测（12） 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知角的大小为，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若的终边经过点，则（ ） A. 是第四象限角 B. C. D. 10. 设函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上的最小值为0 11. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点Q距离水平地面的高度与时间的函数为 B. 点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为 C. 经过10分钟点Q距离地面35米 D. 摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若 ，，则___ 13. 如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为_________． 14. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）函数的单调递增区间和对称轴方程． （3）求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 16. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 17. 定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期. （1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）； （2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数； （3）若为线周期函数，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $