专题01 三角函数与解三角形大题（4维精讲+3维精练）（7维体系35题）讲义-【新高考风向标】2026高考数学考前百日冲刺（二轮复习模考真题演练之会一题通一类系列）（新高考通用）

专题01 三角函数与解三角形大题 （4维精讲+3维精练） 考前百日冲刺目录 引领风向--最新模考新颖题（5题） 1 最新热点热搜题（5题） 2 最新高频经典题（5题） 4 最新高考真题回顾（5题） 4 最新模考基础练（5题） 5 最新模考能力练（5题） 6 最新模考压轴练（5题） 7 引领风向--最新模考新颖题（5题） 【典例】1．（2025·全国·模拟预测）已知为内一点，成等差数列． (1)若，求周长的最大值； (2)若，求． 【典例】2．（2025·四川眉山·一模）在中，，上存在一点，使得，为的中点. (1)若，求的面积； (2)若在上的投影向量为，求的大小. 【典例】3．（2025·浙江温州·一模）△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为. (1)写出的解析式； (2)求的最小值. 【典例】4．（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.    (1)求证：； (2)已知. ①求四边形的面积； ②若与面积相等，求证：. 【典例】5．（2025·江西新余·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，其中. (1)若，求的值； (2)当取到最大值时，求的值； (3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围. 最新热点热搜题（5题） 【典例】6．（2025·江苏·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 【典例】7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【典例】8．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【典例】9．（2025·山东潍坊·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． (1)求； (2)若的面积为，是上的点，且，求的长． 【典例】10．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 最新高频经典题（5题） 【典例】11．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 【典例】12．（2025·湖南·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 【典例】13．（24-25高三下·河南焦作·月考）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 【典例】14．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【典例】15．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 最新高考真题回顾（5题） 【典例】16．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【典例】17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【典例】18．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【典例】19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【典例】20．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 最新模考基础练（5题） 21．（2025·四川南充·模拟预测）在中，内角所对的边分别其中，，且. (1)求的值； (2)求的值； 22．（2025·吉林松原·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且，． (1)求； (2)求的面积． 23．（2025·广东·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长. 24．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 的最小正周期为，其中 . (1)求，并求曲线的对称中心； (2)若，求. 25．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的最小正周期为． (1)求的值及的对称中心； (2)若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间． 最新模考能力练（5题） 26．（2026·四川巴中·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，且，． (1)求的值； (2)若的面积为，求的长． 27．（2025·江苏苏州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 28．（2026·重庆·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别是，满足. (1)求角的大小； (2)求面积的最大值. 29．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 30．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 最新模考压轴练（5题） 31．（2026·陕西渭南·一模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 32．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 33．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 34．（2025·陕西汉中·一模）已知的内角的对边分别为． (1)若，求角B的大小． (2)设为外接圆上的点，外接圆的半径为2，且平分． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）证明：． 35．（2025·浙江·一模）已知的角的对边是且. (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数与解三角形大题 （4维精讲+3维精练） 考前百日冲刺目录 引领风向--最新模考新颖题（5题） 1 最新热点热搜题（5题） 7 最新高频经典题（5题） 13 最新高考真题回顾（5题） 19 最新模考基础练（5题） 25 最新模考能力练（5题） 29 最新模考压轴练（5题） 34 引领风向--最新模考新颖题（5题） 【典例】1．（2025·全国·模拟预测）已知为内一点，成等差数列． (1)若，求周长的最大值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，设，进而根据外接圆的性质、三角恒等变换公式可得周长，即可利用余弦函数的性质求解， （2）设，根据正弦定理及题设可得，，即可由正切的和差角公式求解. 【详解】（1）由题意可知：， 结合成等差数列，可得， 所以， 不妨设最小，且， 由于，故为的外接圆圆心， 则， 故的周长 ， 故当时，此时周长最大，且最大值为， （2）设，由，， 则，， 在直角三角形中，， 在中，由正弦定理可得， 则，整理得， 所以， 解得，所以. 【典例】2．（2025·四川眉山·一模）在中，，上存在一点，使得，为的中点. (1)若，求的面积； (2)若在上的投影向量为，求的大小. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据余弦定理，求得，得到，结合，即可求解； （2）过作，得到，设，得到，再在中，由正弦定理求得，联立方程组，得到，即可求解. 【详解】（1）解：在中，， 由余弦定理得，解得：， 又因为且为上的一点，则，可得， 所以. （2）解：因为为的中点，且在上的投影向量为， 过作，垂足为， 则为等腰三角形，所以， 设，可得，① 在中，由正弦定理得：，即，② 联立①②，可得， 因为，可得或， 解得或.    【典例】3．（2025·浙江温州·一模）△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为. (1)写出的解析式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，利用，，求得两边，进而可求得面积； （2）利用三角恒等变换可求得的最小值. 【详解】（1）因为在矩形CDEF中，，，所以， 因为△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，所以， 由，可得，由，得， 所以，； （2）由（1）知， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以时，. 【典例】4．（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.    (1)求证：； (2)已知. ①求四边形的面积； ②若与面积相等，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明； （2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积； ②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可 【详解】（1）由余弦定理得 在中，① 在中，② 在中，③ 在中，④ 由③+④-①-②得： . 故 （2）①由（1）得， 又 可求得. 又四边形的面积为 . ②由若与面积相等，因为为公共底边， 故两个三角形上的高相等，即，所以. 设. 在中得：，即 在中得：.两式相加得：，两式相减得：， 所以，故. 故，所以. 又，所以， 由勾股定理得：. 【典例】5．（2025·江西新余·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，其中. (1)若，求的值； (2)当取到最大值时，求的值； (3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由诱导公式化简得，进而利用正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解， （2）利用余弦定理求解的最小值，根据面积公式求解， （3）利用的定义，得，，，即可利用完全平方式求解. 【详解】（1）由可得，，   在中，由正弦定理，，    则， 又由正弦定理，得，因 ， 由余弦定理，得； （2） 由（1）得：，则，   当取到最大值时，角必为锐角，此时取到最小值； 由余弦定理，， 当且仅当，即时取最小值，此时，   则； （3）设，则，，， 故，， 因为，，且，   故，故；   又当，时，，即， 故实数的取值范围为. 最新热点热搜题（5题） 【典例】6．（2025·江苏·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角. （2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求. 法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值. 法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值. 【详解】（1）法一：因为，由余弦定理：， 得：，则，因为，所以． 法二：因为，由正弦定理得： ，， ，， 因为，所以，因为，所以． （2）在中，由余弦定理得：， 得：， 法一：， 在中，由余弦定理得：，得：． 法二：因为，所以， 所以， 所以，解得：． 法三：因为，所以， ，所以． 【典例】7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 【典例】8．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得. （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长. 【详解】（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 【典例】9．（2025·山东潍坊·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，． (1)求； (2)若的面积为，是上的点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【详解】（1）因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. （2）因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 【典例】10．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解； （2）利用面积方法和三角形的面积公式计算. 【详解】（1）由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. （2）因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. 最新高频经典题（5题） 【典例】11．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式结合二倍角的正弦定理可得出，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出所证结论成立； （2）解法1：利用两角和的正切公式可求出的值，过作，过作，、分别为垂足，设，在中，应用勾股定理求出的值，然后在，利用勾股定理可求出的值； 解法2：利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后利用正弦定理可求出的值. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，所以． 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以，即， 所以． （2）因为，所以，由（1）知． 法1：因为， 所以为锐角三角形． 过作，过作，、分别为垂足， 由，设， 因为，所以，， 所以在中，，，，所以，解得， 所以在中，，即．    法2：因为，又因为，解得，． 因为，所以，所以，． 由，得，解得． 由正弦定理，得，解得． 【典例】12．（2025·湖南·二模）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； 解法二：直接由余弦定理化简求解即可； （2）解法一：先由三角形的面积公式得到，再结合可得，进而求解即可； 解法二：由，结合三角形的面积公式得到，进而求解即可. 【详解】（1）由，得， 解法一：由正弦定理得， 又中，，所以， 所以， 于是， 又，所以， 又，所以. 解法二：由余弦定理得， 化简得， 由余弦定理得， 又，所以. （2）由是的平分线，得， 解法一：， 又， 所以 . 解法二：由得 . 即， 解得， 所以. 【典例】13．（24-25高三下·河南焦作·月考）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简为的形式，再根据正弦函数的单调性可求出的取值范围， （2）利用小问1的结论，代入计算，根据的范围求出，利用余弦定理，结合基本不等式可以得到的最大值. 【详解】（1）． 当时，，因为在上单调递增， 所以，所以， 可得c的取值范围为． （2），，，， 是三角形内角，，所以，得， 由余弦定理：； 即 ，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值． 【典例】14．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积. （2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理得. 所以， 因为，所以. 在中，， 由余弦定理， 得，解得. 所以. 即的面积S为. （2）因为为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 【典例】15．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，利用正弦定理，可得，由余弦定理求出，从而得到的值. （2）由正弦定理得的值，将进行边化角，得到，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到的范围，从而得到△ABC周长的取值范围. 【详解】（1）∵， 由正弦定理，可得，即. 由余弦定理，可得，又∵，∴. （2）由正弦定理，可得， ， ∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得， ∴，∴，∴， 即，△ABC周长的取值范围为. 最新高考真题回顾（5题） 【典例】16．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 【典例】17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 【典例】18．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 【典例】19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 【典例】20．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 最新模考基础练（5题） 21．（2025·四川南充·模拟预测）在中，内角所对的边分别其中，，且. (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解； （2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 又，， 所以，解得； （2）由（1）可得，，， 所以， 可得， 所以 22．（2025·吉林松原·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且，． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理角化边，进而代值计算即可； （2）根据题意结合同角三角关系求得，进而可用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为，可得，解得. （2）因为，且，则， 所以的面积. 23．（2025·广东·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据正弦定理角化边得，再利用余弦定理求解； （2）结合余弦定理可得，则可得的值，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得， 所以， 因为，所以. （2）因为，又， 所以， 故，解得， 故的周长为. 24．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 的最小正周期为，其中 . (1)求，并求曲线的对称中心； (2)若，求. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合函数的最小正周期，求出，再结合正弦函数的对称中心，即可求得答案； （2）由可求出，利用三角函数诱导公式以及两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期为，，所以，则有， 所以； 由，可得，， 所以函数的对称中心为； （2）由于，所以， 则有，即， 所以． 25．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的最小正周期为． (1)求的值及的对称中心； (2)若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间． 【答案】(1)，对称中心为； (2) 【分析】（1）利用辅助角公式变形，根据最小正周期得到，整体法求出函数的对称中心； （2）由平移和伸缩变换得到，整体法求出函数的单调递增区间. 【详解】（1）， 最小正周期为，，故， 所以，令，解得， 故的对称中心为； （2）将的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到， 令，解得， 故的单调递增区间为. 最新模考能力练（5题） 26．（2026·四川巴中·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，且，． (1)求的值； (2)若的面积为，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解； （2）由（1）求出，再根据正弦定理可得出的关系，再根据三角形的面积公式求出边长，即可得解. 【详解】（1）由， 结合正弦定理得，， 化简得，因为，，且，不同时为钝角， 则， 所以，又，所以， 因此； （2）由（1）知，， 则， 由正弦定理得，， 令（），则，， 则， 解得， 故. 27．（2025·江苏苏州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦的和角公式及正弦定理、辅助角公式等进行求解即可； （2）在中利用正弦定理求出的关系，从而可得c和b的方程，利用可再得一个关于b、c的方程，联立求出b、c，再利用余弦定理即可求出a． 【详解】（1）由及正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，即， 又∵，， ∴，∴； （2）由题可知，， 在中由正弦定理得①，②， ①÷②得，即． 又，∴， ∴，∴，∴， ∴， ∴． 28．（2026·重庆·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别是，满足. (1)求角的大小； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式结合边角互化转化题干条件，得到进而得解； （2）列出余弦定理表达式，然后利用基本不等式求解. 【详解】（1）对于， 由正弦定理和二倍角公式，， 则， 即， 即， 由题知，则， 得到，由于，则， 于是，解得 （2）由余弦定理，， 由，，得到， 由基本不等式，，则（取等号）， ， 即时，的最大值是. 29．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． 30．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 最新模考压轴练（5题） 31．（2026·陕西渭南·一模）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，. (2) 【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间. （2）先求出角，再用余弦定理求出边长，最后用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】（1）， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. （2）已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为. 32．（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 【答案】(1) (2) (3)详细见解析 【分析】（1）先根据向量数量积公式求出的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到的表达式，然后结合给定区间求出的值域；（3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程. 【详解】（1）根据题意知 ， 根据正弦函数的周期公式， 所以最小正周期为. （2）根据“左加右减”的原则，可得， 已知，则， 当时，取最大值，最大值为， 当时，取最小值，最小值为， 所以当时，函数的值域为 （3）把的图象上所有点向右平移个单位得到的图象； 再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象， 再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到. 33．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解； （2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置． 【详解】（1），， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． （2）在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则，   ，解得， ，位于外接圆的内部． 34．（2025·陕西汉中·一模）已知的内角的对边分别为． (1)若，求角B的大小． (2)设为外接圆上的点，外接圆的半径为2，且平分． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理可得，再由余弦定理得的值，从而得角B的大小； （2）（ⅰ）设外接圆的圆心为，则为的中点，连接，根据圆的性质与余弦定理可得，，从而根据一元二次方程的根得的值；（ⅱ）过点作，交于点，结合圆的圆周角定理与正弦定理可证得结论. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）（ⅰ）当时，为外接圆的一条直径，所以，则， 设外接圆的圆心为，则为的中点， 连接，如图所示： 因为，所以， 则， 在中，根据余弦定理可得：， 则， 同理，在中，， 所以即为方程的两个实根，所以； （ⅱ）证明：如图，过点作，交于点， 设，则，， 则， 在中，根据正弦定理可得，即， 所以. 35．（2025·浙江·一模）已知的角的对边是且. (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，进而求得，可求结论；法二：利用余弦定理可得，结合已知可得，可得结论； （2）不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用角平分线定理可求得，可求结论.法二：不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用面积法求得，可得结论. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，又， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 因为，，所以, 所以或（舍去），所以. 又因为，所以， 因为，， ， 故. 法二：由余弦定理得，所以， 与联立得，，解得，故. （2）不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，为的角平分线，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 法二：不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，得， 所以，所以，得， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $