精品解析：辽宁省重点中学协作校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度上学期期末考试高一试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.） 1. 已知区间，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】， 故选：B 2. 某科研院所共有科研人员人，其中具有高级职称的人，具有中级职称的人，具有初级职称的人，无职称的人．欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定用分层抽样的方法抽取名科研人员进行调查，无职称的科研人员抽取人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出分层抽样的抽样比，再利用已知无职称的科研人员数量乘以抽样比求解． 【详解】科研院所科研人员总计人，抽取人， 抽样比为：， 无职称的科研人员有人， 无职称的科研人员抽取人数为：人，故A正确． 故选：A． 3. 若，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为， 对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，正确 故选：D 4. 已知事件相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出关于和的方程组，求解即可. 【详解】∵ 事件相互独立， ， ∵事件与也相互独立， ， 两式相除可得， 解得 故选：B 5. 已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 6. 已知幂函数（）的图象与轴，轴都没有交点，且图象关于轴对称，设，则在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】幂函数（）的图象与x轴，y轴都没有交点，根据幂函数的性质可知结合求出的值，将代入，求出，根据偶函数关于轴对称从而得到，求出及其单调性，根据选项分别求出，，与的大小，根据零点存在性定理结合单调性得解. 【详解】幂函数（）的图象与轴，轴都没有交点， ，，，或， 当时，，， 则为偶函数，关于轴对称，满足题意； 当时，，， 则为奇函数，关于原点对称，不满足题意； 综上可知，，， ，， 在上是单调递减函数， ， ， ， 在上是单调递减函数， 在上有零点. 故选：C. 7. 若定义在上的奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性性质分，两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上是减函数， 所以函数在也是减函数且， 当时，要使，则， 则或，解得或， 当时，要使，则， 则或，解得或，所以， 综上不等式的解集为. 故选：D 8. 已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合有四个零点的条件，确定之间的关系以及的取值范围，最后代入，求其取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图， 因为有四个零点，所以. 因为，，所以， 即，所以. 所以. 因为是方程的根， 即的根， 所以. 又，所以， 令，则， 令，则， 所以， 所以. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（ ） 性别 M 14 20 18 F 17 21 10 A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据频数，结合古典概型公式依次求概率即可. 【详解】对于A，，故错误； 对于B，因为从这100名学生中随机选一名学生，不是男生就是女生，故事件与互为对立事件，故，正确； 对于C，，故正确； 对于D，由题， 所以，故错误 故选：BC 10. 设，，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目所给函数 ，直接利用指数运算进行推导，可判断ABC；换元，利用二次函数值域的求法可求解D. 【详解】选项 A： ， ， 所以 ，故 A 错； 选项 B： = ，故 B 正确； 选项 C：， 而  ， 所以 ，故 C 正确； 选项 D：令 ， 则 再令 ，得 为开口向上的二次函数，对称轴为， 所以在区间内单调递增， 最大值在 （即 ）处取得，为 ，故 D 正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 值域为 D. 的单调减区间为和 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性的判定方法可判断AB；求出时的值域可判断C；利用复合函数单调性法则以及奇偶性可判断D. 【详解】已知函数，定义域为，定义域关于原点对称； 计算，因此是奇函数， A 正确，B 错误； 考虑内层函数， 当时，，， 可以取遍所有正实数，从而  值域为 ， C 正确； 由A知是奇函数，可只研究的情况. 当时，由得单调递减， 而单调递增，所以单调递减； 当时，由得：单调递增， 而单调递增，所以单调递增； 由A可知是奇函数，所以在单调递减，在上单调递增； 因此的单调减区间为和，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（） 【答案】100 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 13. 在了解高一年级学生每月在校图书馆平均借阅了多少本文学书籍时，甲同学在物理组合班抽取了一个容量为的样本并算得样本的平均数为5，方差为8．乙同学在历史组合班抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为8，方差为．已知甲乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为的样本，那么合在一起后的样本平均数为__________，样本方差为__________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】运用合并平均数公式和合并方差公式计算求解． 【详解】设甲同学的样本量为，平均数为，方差为，乙同学的样本量为，平均数为，方差为， 则， 合并后样本量为：， 合并后样本平均数为：， 甲同学的样本平方和为：， 乙同学的样本平方和为：， 合并后总平方和：， 合并后样本方差为：． 故答案为：． 14. 已知定义域为函数，满足，且当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，得，结合得到，进而得到，代入求出，令，求得，即可求出答案. 【详解】令，有，即， 因为当时，， 所以， 又， 所以， 即，所以， 所以， 令，得，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为有助于形成节能减排社会共识，促进资源节约型，环境友好型社会的建设，某市拟建立“多用者多付费”的阶梯电价机制，要求约75%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在第二阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内.假设从该市抽取了200户居民的用电量（单位：）进行整理，并由此作出如图所示的频率分布直方图.根据用样本估计总体的思想确定阶梯电价的临界点a，b，并且每户的用电单价与每户用电量的关系如下表所示.记户月用电量为时应缴纳的电费为元. 分档 户用电量 （单位：） 用电单价 （单位：元） 第一阶梯 0~a（含a） 0.5 第二阶梯 a~b（含b） 0.55 第三阶梯 0.8 （1）求a，b的值； （2）写出的解析式； （3）小明家本月缴纳电费195元，他家本月用电量是多少？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求解百分位数即可得解， （2）（3）根据阶梯电费，即可根据分段函数的性质求解. 【小问1详解】 由题a，b分别为这组数据的75%分位数、95%分位数. ，解得， ，解得； 【小问2详解】 是一个分段函数，而且：当时，有； 当时，有； 当时，有； . 【小问3详解】 若，； 若，， 因为，所以，解得. 答：小明家本月用电量是. 16. 已知函数，.集合，. （1）求集合A； （2）若，求.（参考数据：，） 【答案】（1）当时， ；当时， . （2）= 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的取值范围，再分类讨论求解集合A即可； （2）分别求解集合A和集合B，再利用并集的定义即可求出. 【小问1详解】 由题易知且， ， 当时，，所以， 当时，，所以 【小问2详解】 若，有=， ， 在上是增函数 所以 又因为 所以=. 17. 在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）设，然后用表示，根据三点共线求出的值； （2）根据，用表示，再将条件与代入，根据三点共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以 ① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线， 所以，解得，所以. 【小问2详解】 由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 18. 已知函数是上的奇函数. （1）求实数a； （2）判断函数的单调性并证明； （3）对于，，求证：. 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义的推论求出的值； （2）先判断函数单调性，再用定义法证明单调性即可； （3）先利用函数单调性求出函数在区间上的最大值为1，问题转化为证明恒成立，设，利用函数单调性和奇偶性证明对成立即可. 【小问1详解】 因为函数是上的奇函数， 所以， 所以，即， 因，则有，又，所以； 【小问2详解】 函数是上的减函数，理由如下： 因是上的奇函数，则，故只需证在上单调递减. 证明：设，则， 因，则，且， 则，故，所以， 即，即. 所以在单调递减，所以函数是上的减函数. 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 所以①， 设， 因为，则是上的偶函数， 易知当时，是增函数，又为偶函数,故在时是减函数， 所以，②， 综合①②，可得， 即. 19. 设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个元素，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么称为从到的一个联动. 例如：，，，，不是从到的一个联动； ，，，，是从到的一个联动. （1）若，，，，是从A到B的一个联动，求的取值范围； （2）已知n为常数，且，若，，，，是从到的一个联动，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象由定义列不等式组即可求出答案； （2）分为，，和四种情况，结合函数图象求解即可. 【小问1详解】 由题设，， 因为，；，， ，解得 所以，或，则的取值范围为. 【小问2详解】 ，，， 当时，由题意或，解得或或（舍去） 当时， ①若时，即时，由题意，解得或（舍去）， ②若时，即时，不符合题意， ③当时，即时，由题意，解得， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末考试高一试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.） 1. 已知区间，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某科研院所共有科研人员人，其中具有高级职称的人，具有中级职称的人，具有初级职称的人，无职称的人．欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定用分层抽样的方法抽取名科研人员进行调查，无职称的科研人员抽取人数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（ ） A B. C. D. 6. 已知幂函数（）图象与轴，轴都没有交点，且图象关于轴对称，设，则在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A B. C. D. 7. 若定义在上的奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（ ） 性别 M 14 20 18 F 17 21 10 A. B. C. D. 10. 设，，则（ ） A. B. C. D 当时， 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 值域为 D. 的单调减区间为和 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（） 13. 在了解高一年级学生每月在校图书馆平均借阅了多少本文学书籍时，甲同学在物理组合班抽取了一个容量为的样本并算得样本的平均数为5，方差为8．乙同学在历史组合班抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为8，方差为．已知甲乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为的样本，那么合在一起后的样本平均数为__________，样本方差为__________． 14. 已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型，环境友好型社会的建设，某市拟建立“多用者多付费”的阶梯电价机制，要求约75%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在第二阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内.假设从该市抽取了200户居民的用电量（单位：）进行整理，并由此作出如图所示的频率分布直方图.根据用样本估计总体的思想确定阶梯电价的临界点a，b，并且每户的用电单价与每户用电量的关系如下表所示.记户月用电量为时应缴纳的电费为元. 分档 户用电量 （单位：） 用电单价 （单位：元） 第一阶梯 0~a（含a） 0.5 第二阶梯 a~b（含b） 0.55 第三阶梯 0.8 （1）求a，b的值； （2）写出的解析式； （3）小明家本月缴纳电费195元，他家本月用电量是多少？ 16. 已知函数，.集合，. （1）求集合A； （2）若，求.（参考数据：，） 17. 在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. （1）若，求值； （2）若，，求的最小值. 18. 已知函数是上的奇函数. （1）求实数a； （2）判断函数的单调性并证明； （3）对于，，求证：. 19. 设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个元素，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么称为从到的一个联动. 例如：，，，，不是从到的一个联动； ，，，，是从到的一个联动. （1）若，，，，是从A到B的一个联动，求的取值范围； （2）已知n为常数，且，若，，，，是从到的一个联动，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $