8.2 特殊的平行四边形（2）----矩形（2）导学案 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“矩形的判定”，通过“四个角是直角的四边形是否为矩形”“对角线相等的平行四边形是否为矩形”等问题引导学生探究，衔接矩形性质，构建从性质到判定的知识支架，结合工人砌门等生活情境导入。 资料以问题链驱动探究，通过推理证明得出判定定理，例题与基础、拓展习题结合，培养学生推理意识。生活情境与数学问题结合，强化应用意识，助力学生用数学思维思考、用数学语言表达现实世界。

2025年秋八年级数学下册导学案(8-6) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：8.2 特殊的平行四边形（2）----矩形（2） 学习目标： 1、掌握四边形是矩形的条件，进一步获得判定矩形的方法，积累经验，形成解决问题的能力。 2、经历矩形的判定方法的探索过程，初步掌握说理的基本方法，发展有条理表达的能力。 3、通过设置问题情境，丰富学生的生活经验，激发学生学习数学应用数学的兴趣和意识。 学习重点：探索四边形是矩形的条件及矩形判定方法的应用。 学习难点：探索四边形是矩形的条件及矩形判定方法的应用。 自学要求：认真阅读教材P74-76，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、 情境引入： 矩形的四个角都是直角，对角线相等，反过来，一个四边形满足哪些条件就一定是矩形呢? 2、 探索新知： 问题：四个角都是直角的四边形是矩形吗? 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，可得∠A+∠B=180°, ∠B+∠C=180°， 于是AD//BC,AB//DC，而∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形。 小结： 矩形的判定定理1： 三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：如图，在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 问题：对角线相等的平行四边形一定是矩形吗? 观察下图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形。 如图，在□ABCD中，AC=DB，由AB=DC，BC=CB，,AC=DB, 可得△ABC≌△DCB，于是∠ABC=∠DCB. 又因为AB//CD,所以∠ABC+∠DCB=180°，所以∠ABC=90°。 所以□ABCD是矩形。 小结： 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 几何语言：如图，在□ABCD中，∵AC=BD, 那么四边形ABCD是矩形。 讨论： 如图，11//l2，A，D是l1上的任意两点， AB⊥l2，DC⊥l2，垂足分别为B，C。 线段AB，DC相等吗?为什么? 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离。 两条平行线间的距离处处相等。 试一试： 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求 （即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量 出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等的就可判断了。 （1）当AC BD（填“等于”或“不等于”）时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是 。 二、例题讲解 例1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC 的角平分线.，求证：四边形DECF是矩形。 例2、如图，已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，P是四边形外一点， 且∠APC＝∠BPD＝90°，求证：四边形ABCD是矩形。 三、基础强化： 1、下列说法正确的是（　 　） A、有一个角是直角的四边形是矩形 B、有一组对边平行，有一个内角是直角的四边形是矩形 C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形 2、对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D； ③∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D； ④∠A＝∠B＝∠C＝90°.其中能得到“四边形ABCD是矩形” 的条件有 （　 ） A、1组　　 B、2组　　 C、3组　 　D、4组 3、如图，AB与直线l平行.当点C在l上移动时， △ABC的面积是否为定值?为什么? 4、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.点E，F,G,H分别在OA,OB, OC，OD 上，AE=BF=CG=DH.连接EF,FG,GH,HE.求证：四边形EFGH是矩形。 4、 拓展提高： 如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F,G，H， 四边形EFGH是怎样的特殊四边形?证明你的结论. 五、总结反思： 1、矩形的判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形。 2、矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：在□ABCD中，∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形。 3、两条平行线间的距离处处相等。 六、达标检测： 1、要使□ABCD为矩形，需添加的条件是 （　　 ） A、AB＝BC　　B、AC⊥BD　　C、∠ABC＝90°　D、∠1＝∠2 2、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线， AN是ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂足为E. 求证：四边形ADCE是矩形. 答案： 试一试：（1）= （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 二、例题讲解 例1、证明：∵∠ACB=90°,D是AB的中点， ∴CD=AB=DA=DB.∵DF平分∠ADC，∴DF⊥AC, 即∠DFC=90°.同理可得DEC=90°. ∴四边形DECF是矩形(矩形的判定定理1). 例2、连接OP， ∵平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O， ∴OA=OC, OB=OD ∵∠APC＝∠BPD＝90°， ∴OP= AC, OP= BD. ∴AC=BD. ∴四边形ABCD是矩形。 三、基础强化： 1、 D 2、D 4、证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. ∴ OA=OC=,OB=OD=BD,且AC=BD, ∴ OA=OC=OB=OD， ∵点E，F,G,H分别在OA,OB,OC，OD 上，AE=BF=CG=DH. ∴ OA-AE=OC-CG=OB-BF=OD-DH，∴ OE=OG=OF=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形。∵OE+OF=OG+OH，∴EG=FH ∴四边形EFGH是矩形。 四、拓展提高： 解： 四边形EFGH是矩形。理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形。 ∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F,G，H， ∴∠ABC=2∠1，∠BCD＝2∠2，∴2∠1+2∠2＝180°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠BHC＝90°， 同理可知，∠AFD=∠AEB＝90°，∴∠FEH=∠AEB＝90°，∴四边形EFGH是矩形。 六、达标检测： 1、C 2、证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠1,∠ADC＝90°, ∵AN是ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂足为E. ∴∠MAC＝2∠2, ∠ADC＝90°, ∵∠BAC+∠MAC＝180°，∴2∠1+2∠2＝180°，∴∠1+∠2＝90°， ∴∠DAN＝90°，∴四边形ADCE是矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $