精品解析：辽宁省丹东市2026届高三上学期期末教学质量监测数学试题

丹东市2025～2026学年度（上）期末教学质量监测 高三数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东 郭欣 张健 周宝喜 葛冰 审核：杨晓东 戚量 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 函数的最小正周期是 A B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. 4i B. C. 4 D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，且乙和丙相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若线段的中点为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是奇函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 在正四棱柱中，点分别是棱的中点，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 10. 已知直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，与的准线交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 以为直径圆与相交 D. 11. 已知的三条中线，，交于点，，，当的面积取最大值时，下列结论正确的是（ ） A B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 底面直径与母线长均为2的圆锥，其侧面积为____． 13. 若指数函数满足，则不等式的解集为____． 14. 已知有两个极值点，，则____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 记为等差数列的前n项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）证明：． 16. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图． （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）估计该地区一位这种疾病患者年龄位于区间的概率； （3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率）． 17. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求在上的最大值； （3）若在上单调递增，求实数的取值范围． 18. 在等腰梯形中，，（如图1），将沿翻折至（如图2），其中为动点． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角的大小为时．求三棱锥的体积； （3）当二面角的正弦值取得最大值时，求的长． 19. 记椭圆的焦距为，且过点，点为下顶点． （1）求的方程； （2）已知点不在轴上，点在射线上，． （ⅰ）设，用，表示点坐标； （ⅱ）设为坐标原点，直线的斜率为直线的斜率的2倍，，是上的点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东市2025～2026学年度（上）期末教学质量监测 高三数学 总分150分 时间120分钟 命题：杨晓东 郭欣 张健 周宝喜 葛冰 审核：杨晓东 戚量 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 函数的最小正周期是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正切型函数的周期公式可求出该函数的最小正周期. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期是. 故选：B. 【点睛】本题考查正切型函数周期的计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合为自然数集，逐项判断即可. 【详解】，，，，， 则ABD错误，C正确， 故选：C 3. （ ） A. 4i B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的乘方运算化简求值. 【详解】. 故选：D 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示和向量模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：C 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分母为，利用平方关系式把代换，分子分母同时除以，并进行计算即可. 【详解】由， 又故正确. 故选：. 6. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，且乙和丙相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】第一步捆绑乙、丙，第二步排甲、第三步排剩余元素，由分步乘法计数原理求解. 【详解】第一步：捆绑乙、丙（处理相邻条件）由于乙和丙需要相邻，将乙、丙看作一个整体， 这两人的内部顺序有种排列方式； 第二步：捆绑乙、丙后，原本的5名同学等价于4个“元素”（乙丙整体、甲、剩余2名同学）． 需满足“甲不站两端”：4个位置中，两端位置不能选，因此甲有中间2个位置可选，选法为种； 第三步：排列剩余元素确定甲位置后，剩余3个元素（乙丙整体、剩余2名同学）在剩下的3个位置上全排列， 排列方式为种； 根据分步乘法计数原理，不同的排列方式共有种． 故选：B 7. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若线段的中点为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据中点坐标公式及点差法求直线斜率，再由点斜式写出直线方程. 【详解】设，，则， 因此直线的方程可表示为， 已知双曲线的渐近线方程为， 因此点满足，将两式作差，整理得， 所以，因此直线的方程可表示为，即为. 故选：D 8. 设函数是奇函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数性质及函数关系式，先求出的值，再求的值即可. 【详解】由，令得，即． 又令得，即， 因为是奇函数，所以，所以，因此． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 在正四棱柱中，点分别是棱的中点，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由为等腰三角形可判断，对于B，由平面，可判断，对于C，由可判断，对于D，由平面平面，可判断. 【详解】 对于A，因为点分别是棱的中点， 所以, 即为平行四边形，所以, 所以即为异面直线所成的角， 在正四棱柱中，由点分别是棱的中点， 可得,则, 即三角形为等腰三角形，不可能为直角，即A错误； 对于B，由平面,平面, 所以，又, 且,平面, 所以平面，又平面， 所以，B正确， 对于C，因为，所以为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，C正确， 对于D，由点分别是棱的中点， 可得，又平面，平面， 所以平面， 又,又平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 又平面，平面， 所以平面，D正确， 故选：BCD 10. 已知直线过抛物线焦点，且与交于，两点，与的准线交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相交 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由焦点坐标可求解判断；对B，由焦点弦公式求解判断；对C，由中点到准线的距离判断；对D，分别求出判断. 【详解】对于A：由过的焦点，得，A正确； 对于B：由得，设，，则 所以，故，B正确； 对于C：因为中点到准线距离等于，所以以为直径的圆与相切，C错误； 对于D：由，，得．， 同理，所以， ，D错误． 故选：AB. 11. 已知的三条中线，，交于点，，，当的面积取最大值时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量数乘、加法的几何意义得判断A，由三角形中线的性质求相关线段的长度，结合且取最大得，进而依次判断B、C、D. 【详解】由，，得，A对， 由，，易得， 当且仅当时等号成立，故取得最大值时，则，B错， 由B项可得，，所以，故，C对． 因，由B项可得，，故，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 底面直径与母线长均为2的圆锥，其侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算求解. 【详解】由题意可知底面半径，母线长， 所以其侧面积为， 故答案为：. 13. 若指数函数满足，则不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】设由已知条件结合指对互化可得，根据其单调性求解不等式. 【详解】设，则，即，可得， 由指对互化及对数运算性质可得，即，解得． 所以. 不等式即，解得，即不等式解集为， 故答案为：. 14. 已知有两个极值点，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】由得，是关于的方程的两个根，根据韦达定理求解. 【详解】，由题意是方程的两个根， 所以，是关于的方程的两个根， 所以故 因此． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 记为等差数列的前n项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列的通项公式及已知列方程求基本量，进而写出通项公式； （2）由（1）得，应用裂项相消法求和，即可证. 【小问1详解】 设首项为，公差为， 由题意，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，故， 所以， 而，于是. 16. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图． （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）估计该地区一位这种疾病患者年龄位于区间的概率； （3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率）． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图求平均值即可； （2）根据频率直方图，应用频率估计概率即可； （3）用频率估计概率，结合条件概率公式、贝叶斯公式求概率. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，该地区这种疾病患者年龄的样本平均数为 ， 故该地区这种疾病患者平均年龄的估计值为； 【小问2详解】 根据频率分布直方图，该地区这种疾病患者的年龄位于区间的频率为， 故该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率估计值为； 【小问3详解】 从该地区中任选一人，设表示“选到的人年龄位于区间”，表示“选到的人患这种疾病”，则，， 根据频率分布直方图得，故所求概率为. 17. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求在上的最大值； （3）若在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，根据导函数的区间符号确定单调性，进而求区间的最大值； （3）问题化为恒成立，讨论、，结合基本不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，，则在处的切线方程为； 【小问2详解】 当时，． 若，则；若，则， 故在单调递增，在单调递减， 所以时，取最大值； 【小问3详解】 由题意，，即， 当时，不等式成立， 当时，不等式等价于， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 综上，实数的取值范围为. 18. 在等腰梯形中，，（如图1），将沿翻折至（如图2），其中为动点． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角的大小为时．求三棱锥的体积； （3）当二面角的正弦值取得最大值时，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及余弦定理列方程求得、，进而得到，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）法一：构建合适的空间直角坐标系，设，其中，根据已知确定相关向量坐标，结合二面角的大小列方程求参数，进而求三棱锥的体积； 法二：分别取的中点，，连接，，，由二面角的定义、线面、面面垂直的判定和性质求出相关线段长度，再由三棱锥的体积公式求体积； （3）法一：，设平面的法向量为，应用向量法求二面角正弦值最大值，确定对应参数值，进而求线段长； 法二：由二面角的定义，应用几何法找到对应平面角，进而得到点到平面距离的范围，根据取最大值的条件有，进而求线段长. 【小问1详解】 由题意且， 设且为锐角，则， 所以，即， 所以，则，故， 所以，故，所以， 因为，，平面，所以平面， 由平面，所以平面平面； 【小问2详解】 法一：以为原点，为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，取的中点，连接，则， 设，其中，且，， 设平面法向量为，则， 取，则， 由平面法向量为，则， 所以，故，而， 所以三棱锥的体积； 法二：分别取的中点，，连接，，， 由，，得， 因为，故是二面角的平面角，即， 由、，，平面， 所以平面，平面，则平面平面， 平面内过作于，平面平面，所以平面， 由，得， 因此三棱锥的体积； 【小问3详解】 法一：，设平面法向量为， 所以， 取，则， 因为， 所以时取最大值， 因此二面角正弦值的最大值为，此时， 所以； 法二：因为，平面平面，平面， 所以二面角等于直线与平面所成角， 平面内，过点作面于，则， 设点到平面的距离为，由（1）知， 当且仅当平面平面时取等号， 而，平面，平面平面， 所以平面，平面，则， 故直线与面所成角的正弦值， 因此二面角正弦值的最大值为，此时. 19. 记椭圆的焦距为，且过点，点为下顶点． （1）求的方程； （2）已知点不在轴上，点在射线上，． （ⅰ）设，用，表示点的坐标； （ⅱ）设为坐标原点，直线的斜率为直线的斜率的2倍，，是上的点，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）法一：由已知及椭圆的定义、两点距离公式求椭圆的参数值，即可得方程；法二：由点在椭圆上及椭圆参数的关系列方程求参数值，即可得方程； （2）（i）法一：应用向量数量积、共线的坐标表示列方程有，即可求；法二：利用弦长公式及共线关系有，，，即可求；（ii）由题意在以为圆心，为半径的圆上（不含），且，设到距离为，从而有的面积，法一：设，则，，应用两点距离公式及二次函数的性质求的范围，进而可得面积的最大值；法二：设，应用两点距离公式及三角函数的性质求的范围，进而可得面积的最大值； 【小问1详解】 法一：由题意，的焦点坐标分别为，， 根据椭圆的定义，得， 又，代入，得，故椭圆的方程为； 法二：由题意，解得，故椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）法一：由（1）得，因为与同向，所以， 因为，， 所以，解得， 因此； 法二：由（1）得，故，， 由题意与同号，所以， 由，得， 因此． （ii）由（ⅰ）知直线的斜率为， 由题意得，故， 因此在以为圆心，为半径的圆上（不含），知， 设到距离为，则，的面积，当且仅当时取等号． 法一：设，则，， 因为， 当且仅当时取等号，此时， 因此取等号时，且， 此时点坐标不是，则面积的最大值为． 法二：设，则， 当且仅当时取等号，此时， 因此取等号时，且， 此时点坐标不是，则面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $