精品解析：黑龙江省实验中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

黑龙江省实验中学2025-2026学年度高二学年上学期期末考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是等差数列，，，则的前10项和为（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 2. 已知直线，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由，可知， 解得， 故选：C 3. 已知4×100m混合泳比赛四名队员的四种泳姿顺序依次为蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳．若某次比赛中，运动员甲擅长蝶泳和自由泳，运动员乙擅长仰泳和蛙泳，另外两名运动员四种泳姿均可，则不同的安排方案共有（ ） A. 4种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排甲和乙，再安排剩余的两人，利用分步乘法可得结果. 【详解】先安排甲，有种不同的安排方案；再安排乙，有种不同的安排方案； 最后安排剩余的两人，有种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理， 不同的安排方案共有种． 故选：B. 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得到，利用累乘法求出即可得解. 【详解】，， . 故答案为：B. 5. 设O为坐标原点，已知圆，双曲线的焦距为4，C的一条渐近线与圆E交于O，A两点，另一条渐近线与圆E交于O，B两点，若，则正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. C的方程为 C. 直线AB经过C的右顶点 D. C的离心率为4 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性可得，结合圆的半径，得到为等边三角形，进而可求得渐近线方程判断A；利用求得离心率判断D；根据焦距和离心率求出，进而可求得双曲线方程判断B；求得直线的方程可判断C. 【详解】A选项，由双曲线的性质与圆的对称性得，， 又，故， 由圆得圆心为，半径为， 故，故为等边三角形， 故双曲线C的渐近线的倾斜角为，则， 因此双曲线C的渐近线方程为，故A错误； D选项，双曲线C的离心率，故D错误； B选项，由，解得，所以， 所以双曲线C的方程为，故B错误； C选项，将代入，解得或0（舍去）， 将代入得， 将代入，解得或0（舍去）， 将代入得，结合图像，不妨取，， 则直线的方程为，又双曲线C的右顶点为， 所以直线经过双曲线C的右顶点，故C正确. 故选：C. 6. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】   过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 7. 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，a2＝﹣1，且an+2﹣an＝（﹣1）n+1，则S1+S2+S3+…+S397＝（ ） A. 19701 B. 19900 C. 19850 D. 19800 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推关系找到数列的规律，从而可通过并项求和得到S2n＝0，S2n﹣1＝n，再通过等差数列求和公式进行计算即可. 【详解】由a1＝1，a2＝﹣1，且an+2﹣an＝（﹣1）n+1， 可得数列{an}：1，﹣1，2，﹣2，3，﹣3，...，n，﹣n，...， 则S2n＝0，S2n﹣1＝n， 所以S1+S2+S3+…+S397＝1+2+3+...+199 199×（1+199）＝19900. 故选：B. 8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线性质得到，再结合余弦定理及椭圆定义即可求解. 【详解】 由可得：， 由角平分线的性质可得：， 所以，设， 由题意，因为，所以， 由余弦定理可得：， 解得：， 又， 所以， 得：， 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件{第一次摸到红球}，事件{第二次摸到红球}，事件{两个球颜色相同}.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 事件与事件相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据古典概型概率的计算、事件的并集概率与交集概率及事件独立性的判断，准确运用相应的概率公式进行计算即可. 【详解】选项A：根据古典概型概率公式可知，，故A正确； 选项B：事件表示“第一次摸到红球或第二次摸到红球”，其对立事件为“两次都摸到黄球”. 两次都摸到黄球的概率：， 所以，故B正确. 选项C：事件表示“第一次摸到红球且两个球颜色相同”，即两次都摸到红球. 概率为：，故C正确. 选项D：第二次摸到红球分两种情况：第一次红第二次红、第一次黄第二次红. 两次都摸到红球的概率：. 若事件与事件相互独立，则需满足， ，故事件与事件不独立，故D错误. 故选：ABC. 10. 数列的前项和为，则下列命题正确的是（　　） A. B. C. 数列的最小项为 D. 数列为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用与的关系，将条件转化为的等差数列，求得；逐一验证各选项：分析的表达式、判断数列最小项、验证新数列的等比性. 【详解】当时，由，得， 两边除以（），得. 由此可知是首项为、公差为4的等差数列， 故，即， 也符合上式，所以，选项A正确. 选项B：时，， 但时，不满足此式，故B错误. 选项C：数列的项为：，，，，……， 时，的绝对值随增大而减小， 故是最小项，选项C正确. 选项D：，， 故， 该数列为常数列（每一项均为）， 常数列（非零）是公比为1的等比数列，选项D正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 内切圆的半径为 C. △的外接圆方程为 D. △与△内切圆半径之和的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件直接求得得离心率判断A，得椭圆标准方程，解方程组求出交点坐标得直角的边长后可求得其内切圆半径判断B，同样由三点坐标求出外接圆方程判断C（可用点的坐标代入判断），利用面积的两种不同计算方法可求得内切圆半径与点坐标的关系，结合韦达定理可求出两内切圆半径和的最大值，判断D． 【详解】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，， 离心率为，A正确； B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为， 由，解得或，∴， ，，而， 则，即为直角三角形， ∴△内切圆的半径为，B正确； C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得， 即圆心坐标为，半径为， 圆方程为，C错； D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图， 一方面，， 另一方面，记的内切圆半径为，， 所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而， 则的内切圆半径为，内切圆半径为， △与△内切圆半径之和为， 设直线方程为， 由得， ， ， 所以当，即时，取得最大值，D正确， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：设是椭圆上的点，是椭圆焦点，与不共线，的内切圆圆心为，半径为，椭圆离心率为， 则，，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线关于y轴对称的直线m和圆相切，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对称求得直线m的方程，由直线m与圆相切可求得半径. 【详解】直线关于y轴对称的直线m的方程为， 由圆可得圆心，半径为， 又因为直线m与圆相切， 所以. 故答案为：. 13. 用0、1、2、3、4可组成________个无重复数字的三位奇数. 【答案】18 【解析】 【分析】第一步确定个位数，第二步确定百位数，第三步确定十位数，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】第一步：确定个位数，从两个奇数中任选一个放在个位有种不同的选法； 第二步：确定百位数，百位数不能是，也不能是已经用在个位上的数，故有三个数可选， 任选一个放在百位有种不同的选法； 第三步：确定十位数，从剩下的三个数（包含0）中任选一个放在十位有种不同的选法； 根据分步乘法计数原理，可组成无重复数字的三位奇数共个. 故答案为：. 14. 已知数列的通项为，数列的前项积，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为______． 【答案】22 【解析】 【分析】分别求出数列、数列的通项公式，分析出数列的构成，根据求出的最小值. 【详解】由数列的前项积为，即， 当时，可得； 当时，可得， 其中满足上式，所以数列的通项公式为. 数列前几项：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 数列前几项：2，4，8，16，32， 将数列和中的项按从小到大排列，得到新数列， 可得数列的前几项为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，17，19，21，23，25，27，29，31，32，33，35，37，… 其中数列的项在数列中，分别为第2，4，7，12，21，…项， 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； …… 当时，，，不满足； 当时，，，此时满足，符合题意， 所以使得成立的n的最小值为22． 故答案为：22． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前n项和为，，，是等差数列，且，. （1）求，的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列首项和前两项和求公比，得出通项，再根据等差数列与等比数列特定项相等，列方程组求首项和公差，得出通项公式. （2）将数列通项裂项相消求前n项和，代入不等式分离参数，通过分析最值确定取值范围. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，，解得， 所以的通项公式为：， 又因为，， 所以设等差数列的首项为，公差为， 由已知条件可得： ，解得， 所以的通项公式为：. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 所以， 所以， 又因为不等式对任意正整数n恒成立， 所以，， 又因为，所以， 记，易知随增大而增大，且当时，， 要使对任意正整数n恒成立，只需， 但无最大值，其上确界为，且当时，， 当增大时，， 因此，只需， 当时，对任意正整数n恒成立， 所以的取值范围为. 16. 为庆祝中华人民共和国成立76周年，某中学举办“赓续中华文脉·厚植文化自信”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关中华优秀传统文化知识的问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两位同学都回答错误的概率是，乙、丙两位同学都回答正确的概率是.若各位同学回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两位同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中不少于2位同学回答正确这道题的概率 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）记“甲同学答对这道题”、“乙同学答对这道题”、“丙同学答对这道题”分别为事件，，，由题意得，可解出，． （2）先得出和，由对立事件概率公式可得结果． 【小问1详解】 记“甲同学答对这道题”，“乙同学答对这道题”，“丙同学答对这道题”，分别为事件，，， 则，且有，即 ， 则解得，． 【小问2详解】 由题意得有个同学回答正确的概率如下， 为， 有个同学回答正确的概率如下， 为 ， 故这道题不少于个同学回答正确的概率为. 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且的离心率为. （1）求的方程； （2）若轴上方的点都在上，，直线的斜率为正数，且直线，之间的距离为，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意求出的值，即得椭圆的方程； （2）依题意设直线，的方程，由直线之间的距离为确定两直线方程，将的方程与椭圆的方程联立，求得两交点的坐标，将分别延长交椭圆于另外两点，从而将求四边形的面积转化为求平行四边形的面积即可. 【小问1详解】 设，则，由可得， 则 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设直线的方程为， 则直线的方程为. 因为直线之间的距离为，所以，解得， 所以直线的方程为，代入并化简，得， 解得. 设直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为， 则， 由及的对称性知 18. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断并证明数列是否具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）具有，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出； （2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质； （3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析. 【小问1详解】 由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 【小问2详解】 数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 【小问3详解】 因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 19. 已知抛物线的焦点为为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明：法一：由题意知直线的斜率存在，. 设直线的方程为， 联立）得， 则， ， ， 所以， 解得或. 当时，直线的方程为，过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，恒过点. 综上，直线BD过定点. 法二：由题意知，设， 则， 同理可得. 由，得， 整理得①. 直线BD的方程为， ， 两式相加得， 即， 即. 由①得，故直线BD过点. （ii） 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上及焦半径公式列出等式求解即可； （2）（i）法一：设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理，结合，求得或即可；法二：设，由，结合直线BD的方程为，代入化简得到即可求证；（ii）设，设直线的方程为，直线的方程为，结合弦长公式及三角形面积公式，进而可求解； 【小问1详解】 解：因为点在C上， 所以. 因为，所以， 则，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：设，易知直线和的斜率均存在且不为0，设直线的方程为，直线的方程为， 此时， 则. 由，得. 联立得， 由，得， 同理，所以， 则， 同理可得， 所以， ， 由题意得 . 因为在和上均单调递增， 所以， 又， 即16， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2025-2026学年度高二学年上学期期末考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是等差数列，，，则的前10项和为（ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 120 2. 已知直线，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知4×100m混合泳比赛四名队员的四种泳姿顺序依次为蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳．若某次比赛中，运动员甲擅长蝶泳和自由泳，运动员乙擅长仰泳和蛙泳，另外两名运动员四种泳姿均可，则不同的安排方案共有（ ） A. 4种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设O为坐标原点，已知圆，双曲线的焦距为4，C的一条渐近线与圆E交于O，A两点，另一条渐近线与圆E交于O，B两点，若，则正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. C的方程为 C. 直线AB经过C的右顶点 D. C的离心率为4 6. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 7. 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，a2＝﹣1，且an+2﹣an＝（﹣1）n+1，则S1+S2+S3+…+S397＝（ ） A. 19701 B. 19900 C. 19850 D. 19800 8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件{第一次摸到红球}，事件{第二次摸到红球}，事件{两个球颜色相同}.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 事件与事件相互独立 10. 数列的前项和为，则下列命题正确的是（　　） A. B. C. 数列的最小项为 D. 数列为等比数列 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 内切圆的半径为 C. △的外接圆方程为 D. △与△内切圆半径之和的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线关于y轴对称的直线m和圆相切，则________. 13. 用0、1、2、3、4可组成________个无重复数字的三位奇数. 14. 已知数列的通项为，数列的前项积，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前n项和为，，，是等差数列，且，. （1）求，的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，求的取值范围. 16. 为庆祝中华人民共和国成立76周年，某中学举办“赓续中华文脉·厚植文化自信”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关中华优秀传统文化知识的问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两位同学都回答错误的概率是，乙、丙两位同学都回答正确的概率是.若各位同学回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两位同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中不少于2位同学回答正确这道题的概率 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且的离心率为. （1）求的方程； （2）若轴上方的点都在上，，直线的斜率为正数，且直线，之间的距离为，求四边形的面积. 18. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断并证明数列是否具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 19. 已知抛物线的焦点为为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $