精品解析：河南省驻马店市泌阳县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度上期期末素质测试题 九年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A 1 B. C. 2 D. 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A. 0.400 B. 0.410 C. 0.413 D. 0.423 4. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 5. 计算：（ ） A. B. C. D. 6. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（ ） A B. C. D. 9. 某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（ ） A 80cm B. 70cm C. 60cm D. 50cm 10. 如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 12. 若关于x的方程没有实数根，则c的值可以是________（写出一个即可）． 13. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为______． 14. 如图，在2×2正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么tan∠ACD的值为________． 15. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，则的面积为________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘，，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）． （1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果． （2）若将转盘停止后指针所指的数字记为，转盘停止后指针所指的数字记为．求，是方程的解的概率． 18. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．泌阳县某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器（），测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：，，． 19. 已知中，，点为的中点． （1）在线段上求作一点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下求线段的长． 20. 云南某商店以35元/件的进价购进批纪念品，当售价为55元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求日销售量的平均增长率； （2）由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售3件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 21. 如图，四边形内接于，平分，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若经过圆心O，且，，求长． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 0 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为4，请直接写出的值． 23. 类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请求出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接． 请直接写出： ①若，则 ； ②延长交于点F，交于点G，则的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期期末素质测试题 九年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程中根与系数的关系，直接利用一元二次方程中根与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：D． 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0410 A. 0.400 B. 0.410 C. 0.413 D. 0.423 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 根据表中数据显示，随着抽测学生数增加，近视学生数与n的比值在0.410附近波动，且多数值接近0.410，因此最合理的估计是0.410． 【详解】解;∵ 随着累计抽测学生数n增大，近视学生数与n的比值逐渐稳定在0.410附近， ∴ 该区初中生近视的概率的估计最合理的是0.410． 故选：B． 4. 如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可． 【详解】解：， ∴ 是公路的中点， ， ，两点间的距离为； 故选：B 5. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用平方差公式直接计算． 【详解】解： ． 故选：A． 6. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 7. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的函数值计算方法是解题的关键． 先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过计算各点的函数值来比较大小． 【详解】解：∵ 二次函数， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ， 故选：A． 8. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质及解直角三角形，解题的关键是判断出是直角三角形．根据三角形的外角性质求出，然后判断出是直角三角形，利用解直角三角形即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 开挖点离点的距离：， 故选：C． 9. 某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（ ） A. 80cm B. 70cm C. 60cm D. 50cm 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的半径为x，构造垂径定理的结构图，运用勾股定理计算即可． 【详解】如图，设圆的半径为x，作于点C，根据题意，得 ，， 所以， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确构造垂径定理的结构图是解题的关键． 10. 如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A. 7米 B. 6米 C. 5米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的顶点坐标为，根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 若关于x的方程没有实数根，则c的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据所给方程没有实数根，可得出，进而求出的取值范围即可解决问题． 【详解】解：因为关于的一元二次方程没有实数根， 所以， 解得． 所以的值可以为3， 故答案为：3（答案不唯一）． 13. 如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用； 根据共有5个出口，北面有两个出口，直接利用概率公式得出答案． 【详解】解：∵共有5个出口，其中北面有B和C两个出口， ∴恰好从北面的出口出来的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么tan∠ACD的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据圆周角定理得，利用网格，根据正切三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，利用网格求锐角三角函数，熟练掌握锐三角函数的定义：是解题的关键． 15. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，则的面积为________． 【答案】48或24##24或48 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 根据题意，过点C作于F，，交的延长线于E，设，由全等三角形的判定和性质得出，，然后分两种情况讨论，当时，当，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点C作于F，，交的延长线于E， 设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∵， ∴， 过点B作于点G，则：， ∵， ∴， ∴ ， 设，则， ∴， ∴， ∴； 当时， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的面积为48或24， 故答案为：48或24． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算、特殊角的三角函数、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ∴或， ∴，． 17. 如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘，，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）． （1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果． （2）若将转盘停止后指针所指的数字记为，转盘停止后指针所指的数字记为．求，是方程的解的概率． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率，因式分解求一元二次方程的解，掌握列表法或画树状图求随机事件的概率的方法是解题的关键． （1）列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来即可； （2）运用因式分解求一元二次方程解，再根据概率公式的计算方法计算即可． 【小问1详解】 解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来如下， 2 3 4 1 2 3 【小问2详解】 解：， 因式分解得，， ∴， ∴可能得值为或，共2种， 由（1）可得，转盘可能出现结果共有9种， ∴，是方程的解的概率为． 18. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．泌阳县某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器（），测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：，，． 【答案】7.7米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 延长交于点，设米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 则米，米，， 设米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， 解得， 经检验是原方程的根， 米， （米）． 答：电池板离地面的高度约为7.7米． 19. 已知中，，点为中点． （1）在线段上求作一点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查作图-相似变换，相似三角形的判定与性质． （1）由可得，，根据作一个角等于已知角的作图方法作，交于点N，则点N即为所求． （2）由相似三角形的性质可得，由中点的定义可得，则，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 如图，作，交于点N，则点N即为所求． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ， ． 20. 云南某商店以35元/件的进价购进批纪念品，当售价为55元/件时，第一天销售了25件．该纪念品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求日销售量的平均增长率； （2）由于新款纪念品的推出，原来旧款纪念品的销量受到影响，为了尽快减少库存，该网店打算将旧款纪念品降价销售．经调查发现，每降价1元，每天可在第三天销售量的基础上多销售3件，那么将旧款纪念品的售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）日销售量的平均增长率为 （2）将旧款纪念品的售价定为每件51元时，每天可获得最大利润，最大利润是768元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题． （1）设日销售量的平均增长率为a，根据增长率问题列方程解应用题； （2）设旧款纪念品降价x元，每天可获得的利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【小问1详解】 解：设日销售量的平均增长率为a， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：日销售量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设旧款纪念品降价x元，每天可获得的利润为W元， 由题意得：， 这个二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， 则当时，W取得最大值，最大值为768，此时售价为（元）， 答：将旧款纪念品的售价定为每件51元时，每天可获得最大利润，最大利润是768元． 21. 如图，四边形内接于，平分，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若经过圆心O，且，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理和相似三角形的判定即可证明； （2）求出，过点作于E，结合勾股定理求出和，进而求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ， ， ， ， ∽， ， ； 【小问2详解】 解：∵为直径， ， ∵平分， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ∴， 解得， ， 过点作于E， 在中，，， ∴， 解得， ， 在中，，， ， ． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 0 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为4，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，见解析 （3）的值为2或3 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，二次函数图象的平移，二次函数最值的计算方法是关键． （1）把表格中的自变量和函数值代入，运用待定系数法即可求解； （2）把一般式化为顶点式即可得到顶点坐标，描点、连线即可作图； （3）根据二次函数图象的平移得到平移后的函数解析式，则顶点坐标为，结合定义域，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：当时，，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：， ∴顶点坐标为， 如图所示，根据表格中点坐标及定点坐标进行描点，连线即可得到二次函数解析式， 【小问3详解】 解：将二次函数的图象向右平移个单位长度后的解析式为：， ∴此时的对称轴直线为，顶点坐标为， 定义域中， 当时，即，函数的最小值为，最大值为， 此时函数最大值与最小值的差为， 解得，，故不符合题意； 当时，即，函数的最小值为，最大值为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，即，函数的最小值为，最大值为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为2或3． 23. 类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．求证：． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请求出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接． 请直接写出： ①若，则 ； ②延长交于点F，交于点G，则的值为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①10；② 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，继而可得答案； （2）利用等腰直角三角形性质证明，继而利用相似性质得； （3）①先证明，继而得到，再得到；②利用得，继而得，再得本题结论． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10； ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形性质，全等三角形判定及性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定及性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $