精品解析：河南省驻马店市泌阳县2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

河南省驻马店市泌阳县2024-2025学年九年级上学期期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”是泌阳县四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“白云山”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “清明时节雨纷纷”是_______事件．(填“必然”“不可能”或“随机”) 12. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________． 13. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为______． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得拋物线与轴有两个公共点P、Q，则______． 15. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 17. 如图，在中，，，，是边上的一点，． （1）在边上求作一点M，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求的长． 18. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 19. 在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 20. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 21. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 23. 问题背景： 如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点． 实验探究： （1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸： 在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店市泌阳县2024-2025学年九年级上学期期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即， 故选：D． 3. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 4. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增加性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线； ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，，， ∴； 故选B． 5. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 7. “铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”是泌阳县四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“白云山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“白云山”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A ------ B ------ C ------ D ------ 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“白云山”的结果数有6种， ∴这两个景点中有“白云山”的概率为， 故选D． 8. 如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键． 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 10. 如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图， 则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “清明时节雨纷纷”是_______事件．(填“必然”“不可能”或“随机”) 【答案】随机 【解析】 【详解】“清明时节雨纷纷”这一事件可能发生，也可能不发生，因此这个事件是随机事件， 故答案为随机. 12. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解：连接AC， ∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角， ∴AC是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键． 13. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，准确找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键； 设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴长为． 故答案为：5． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得拋物线与轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”是解题关键．先求出二次函数图象平移所得到的抛物线的解析式，再求出其与轴的两个交点坐标，由此即可得． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的解析式为，即为， 当时，，解得或， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为和， ∵抛物线与轴有两个公共点、， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点，点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与相交于点．若为直角三角形，则的长__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】先根据矩形的性质、折叠的性质可得，，设，从而可得，再根据直角三角形的定义分和两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形，， 由折叠的性质可知， 设，则 由题意，分以下两种情况： （1）如图1，当时，为直角三角形 在和中， ，即 解得 ， 在中，，即 解得 即 （2）如图2，当时，为直角三角形 ， ，即 在和中， ，即 解得 ，即 解得 即 综上，DP的长为或1 故答案为：或1． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，依据题意，正确画出图形，并分两种情况讨论是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1），；（2）0 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算法则和一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 17. 如图，在中，，，，是边上的一点，． （1）在边上求作一点M，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、勾股定理、作图—基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由相似三角形的性质可得，再过点作的垂线交于点，则点即为所求； （2）由勾股定理可得，再由相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：若，则， 如图，过点作的垂线交于点，则点即为所求， 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 19. 在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 【答案】如意雕塑的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 延长交于，延长交于， 根据矩形的性质得到米，米，，米， 解直角三角形即可得到结论. 【详解】延长交于，延长交于， 则米，米，， ∴米， 设米， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴(米)， ∴(米)， 答：如意雕塑的高度约为米. 20. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 21. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 22. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】（1） （2）不会 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【小问1详解】 解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； 【小问2详解】 解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 23. 问题背景： 如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点． 实验探究： （1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸： 在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______． 【答案】（1），30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：或 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出，的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，，，， ， 如图2，设与交于点，与交于点， 绕点按逆时针方向旋转， ， ， ，， 又， ， 直线与所夹锐角的度数为， 故答案为：，； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图3，设与交于点，与交于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 又， ， ，， 又， ， 直线与所夹锐角的度数为． 拓展延伸：如图4，当点在的上方时，过点作于， ，，点是边的中点，， ，，， ，， ， 、、三点共线， ， ， ， ， 由（2）可得：， ， ， 的面积； 如图5，当点在的下方时，过点作，交的延长线于， 同理可求：的面积； 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $