精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2026届高三上学期期末数学试题（I卷）

哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度上学期期末考试 高三年级 数学试题（I卷） 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求出阴影部分所表示的集合，即可知其元素个数. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为. 所以阴影部分所表示的集合有3个元素. 故选：B. 2. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. z在复平面对应的点位于第三象限 B. C. z的虚部是 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得，结合复数的几何意义，复数的模、复数的概念及共轭复数的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，所以A错误； 又由，所以B正确； 由复数的基本概念，可得复数的虚部为，所以C错误； 由共轭复数的概念，可得，所以D错误. 故选：B. 3. 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 9 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】将这组数据从小到大排列后借助百分位数定义计算即可得. 【详解】将该组数据从小到大排列：2，3，5，7，9，10，16，18，20，21， 由，有，故该组数据的第60百分位数为. 故选：C. 4. 中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 72种 D. 114种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先从5人中选出三人，在把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务，结合排列数和组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，从5人中选出三人，共有中选法， 则把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务， 共有种不同的安排方案. 故选：B． 5. 如图，在梯形中， ，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 6. 已知函数同时满足： ①定义域内任意实数x，都有； ②对于定义域内任意，，当时，恒有； 若恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出函数是上的增函数，把转化为，即可求出实数a的取值范围. 【详解】由定义域内任意，，当时，，知：函数是上的增函数. 由题设：，可得， 根据，则，则， 故， ∵函数是上的增函数，有，化简得， 整理得，即， ∵，∴，则的取值范围是． 故选：A 7. 已知双曲线的离心率为，AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦，若点A，B到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线概念，以及点到直线距离公式，求出参数值，进而判断正确结果. 【详解】因为双曲线的离心率为，即，可得， 则， 则双曲线方程为，可知右焦点，渐近线方程为，即 则直线，可得， 则到渐近线的距离为， 到渐近线的距离为， 则距离之和为，解得 ， 则双曲线的方程为. 故选：D. 8. 已知且满足，则下列结论正确的有（   ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2e C. 的最大值为 D. 的最小值为2e 【答案】B 【解析】 【分析】观察等式的结构特征，构造函数，有，结合函数单调性可得，再逐一检验各选项即可得. 【详解】，， 构造函数， ， ∵，∴函数是上的增函数， ∴，即，故． 对于A选项，，令， 显然在上单调递增，故无最大值，所以A错误； 对于B选项，由，得， 当目仅当时，取等号，所以的最小值为2e，所以B正确； 对于C选项，，令，显然，在上单调递减，故无最大值，所以C错误； 对于D选项，，当且仅当时，取等号，则的最小值为，所以D错误. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且 ）的图像恒过定点 B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数的单调增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：根据指数函数恒过的定点，结合已知解析式，直接求解即可；对B：根据对称性的定义，转化后即可判断；对C：利用基本不等式，即可求得函数最小值：对D：根据复合函数的单调性，结合函数解析式和定义域，即可求得结果. 【详解】对A：令，解得，当时，，故恒过定点，A错误； 对B：因为，则，故的图象关于对称，B正确； 对C：因为，故， 当且仅当 时取得等号，故C错误； 对D：要使有意义，则，解得， 则的定义域为， 由复合函数的单调性可得在单调递增，在单调递减，又在上单调递减， 故在单调递减，在单调递增，故D正确. 故选：BD. 10. 已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点C，设抛物线在点A处的切线为l，且l与x轴的交点为D，则（ ） A. B. C. 四边形为梯形 D. 的面积是的面积的2倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线的方程为，进而联立方程即可证明，可得点坐标可判断A，B，C；求出直线的方程，由，可证为的中点，可判断D. 【详解】由抛物线 ，焦点为 ， 设直线的方程为， 联立得， 所以， B正确； 由于，直线方程为，则点，A错误； 由，所以，则轴，由， 所以四边形为梯形，C正确； 由于，所以直线的方程为， 则点，由上可得， 所以，为的中点， 设点到直线的距离，点到直线的距离，则, 所以，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】补形为长方体求出外接球的表面积判断A；利用勾股定理得并确定轨迹判断B；作出点关于平面的对称点计算判断C；建立空间直角坐标系，求出点的坐标满足的关系，再利用两点间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，由 两两垂直，得三棱锥与以 为棱的长方体有相同的外接球， 则该球的直径为，该球的表面积为，A正确； 对于B，由平面，得，则， 因此点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，其长度为，B错误； 对于C，延长到，使得，则点关于平面对称， 因此， 当且仅当为与平面的交点时取等号，C正确； 对于D，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，而平面的法向量， 由直线与平面所成的角为，得， 整理得，因此， 当且仅当时取等号，即的最小值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当 时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面角求法得出N的轨迹为正方形内一部分圆弧，求其圆心角计算弧长即可. 【详解】如图所示，取BC中点G，连接MG，NG，由正方体的特征可知MG⊥底面ABCD， 故MN与底面ABCD的夹角即， ∴，则， 故N点在以G为原点为半径的圆上，又N在底面正方形ABCD上， 即N的轨迹为图示中的圆弧， 易知， 所以长为. 故答案为：. 14. 已知函数，其中 为自然对数的底数，若存在实数满足，且 ，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数单调性知，记，得到，利用导数求出最值． 【详解】解：记， 由，知在和单调， 所以有， 时，，，所以， 所以，即，故， 设，， ，则，令，得， 当时，，单调递增， 当，时，，单调递减， ； 所以当时，取极大值也是最大值，即，所以最大值为． 故答案为： ，． 【点睛】本题考查分段函数的应用，结合导数知识，关键理清不同区间上表达式的形式，求出对应的最值，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上单调． （1）求的单调递增区间； （2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ，，求△ABC周长的最大值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可得，再根据在上单调，可得，从而可求得，再根据正弦函数的单调性即可得解； （2）先根据求出，再利用余弦定理结合基本不等式求得 的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为在上单调， 所以，解得， 因为， 所以，即， 令， 解得， 即的单调递增区间是； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 因为 ， 所以， 所以， 由余弦定理可得 ， 即，即， 因为，当且仅当 时，等号成立， 所以，解得， 则，即△ABC周长的最大值为9． 16. 已知四棱锥 ， 平面，，，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得 平面 ，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面 夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为 平面，平面，所以 ， 因为，，所以， 因为 ，所以， 且 为等腰直角三角形，，所以， 由余弦定理可得， 因为 ，，所以，所以 ， 因为， 、 平面 ，所以 平面 ， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为 平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面 的一个法向量为，， 则，取 ，则， . 因此平面与平面 夹角的余弦值为. 17. 苏州某网红奶茶品牌公司计划在周边城市开设加盟分店，为了确定在城市开设分店的个数，该公司对苏州市相城区的5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在相城区的5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和. （个） 2 3 4 5 6 （十万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程： （2）如果该公司最终决定在城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异? 不下单 下单 合计 分店一 分店二 合计 参考公式：，，， 【答案】（1） （2）表格见解析，两个分店下单率没有差异 【解析】 【分析】（1）计算，代入公式可求，再求，由此可得回归方程， （2）填写表格，再提出零假设，求，比较所求结果与临界值的大小，结合比较结果确定结论. 【小问1详解】 由题可得，，， ，， 设关于的线性回归方程为，则， ， 关于的线性回归方程为； 【小问2详解】 设零假设为：两个分店顾客下单率无差异， 由题意可知列联表如下所示： 不下单 下单 合计 分店一 25 5 30 分店二 60 20 80 合计 85 25 110 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以两个分店下单率没有差异. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为， 为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【小问1详解】 依题意知：，解得 ， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 ①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为 ，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. ②证明：由①知. 所以 . 19. 已知函数 ． （1）若 ，求曲线在处的切线方程； （2）若 对任意 恒成立，求a的取值范围； （3）证明： ． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）可知，当时， 在 单调递减， 且时， ，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由 分析需满足条件，得到 ，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【小问1详解】 当时， ， ，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即 ； 【小问2详解】 当 时，若单调递减，则 满足条件， 因此需 在 恒成立，即在 恒成立， 所以 设 ， 则当 时， 恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在 单调递增，所以 ， 所以 ，得 ； 当时， ， ， 所以存在， ， 则当时， ，单调递增，此时 ，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度上学期期末考试 高三年级 数学试题（I卷） 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. z在复平面对应的点位于第三象限 B. C. z的虚部是 D. 3. 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 9 B. 10 C. 13 D. 16 4. 中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 72种 D. 114种 5. 如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 已知函数同时满足： ①定义域内任意实数x，都有； ②对于定义域内任意，，当时，恒有； 若恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的离心率为，AB是过右焦点F且垂直于x轴的弦，若点A，B到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且满足，则下列结论正确的有（   ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2e C. 的最大值为 D. 的最小值为2e 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且 ）的图像恒过定点 B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数的单调增区间为 10. 已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点C，设抛物线在点A处的切线为l，且l与x轴的交点为D，则（ ） A. B. C. 四边形为梯形 D. 的面积是的面积的2倍 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前 项和 ，设为数列的前 项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 13. 已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为________． 14. 已知函数，其中 为自然对数的底数，若存在实数满足，且 ，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在上单调． （1）求的单调递增区间； （2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ，，求△ABC周长的最大值． 16. 已知四棱锥 ， 平面，，，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面 夹角的余弦值. 17. 苏州某网红奶茶品牌公司计划在周边城市开设加盟分店，为了确定在城市开设分店的个数，该公司对苏州市相城区的5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在相城区的5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和. （个） 2 3 4 5 6 （十万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程： （2）如果该公司最终决定在城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶.完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异? 不下单 下单 合计 分店一 分店二 合计 参考公式：，，， 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为， 为椭圆上异于的两点． （1）求椭圆的方程． （2）设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 19. 已知函数 ． （1）若 ，求曲线在处的切线方程； （2）若 对任意 恒成立，求a的取值范围； （3）证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $