精品解析：辽宁省葫芦岛市2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

葫芦岛市普通高中2025—2026学年上学期期末考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据10，8，11，11，13，17，19，21的75%分位数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 14 4. 若“”是“”的充要条件，则实数的值为（ ）. A. B. 0 C. D. 1 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件与为互斥事件，则与也是互斥事件 B. 若对于任意的事件与事件，则 C. 已知，，与相互独立，则 D. 已知，，与相互独立，则 6. 已知定义在上偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为的中点，过点作直线分别与边，交于、两点，且，，则的最小值为（ ）. A. B. 2 C. D. 4 8. 已知函数，，函数有四个不同零点，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 在分层随机抽样中，已知总体分为两层，抽取的样本量分别为和，第一层的样本数据为，，…，，第二层的样本数据为，，…，，第一层的样本平均数，方差为，第二层的样本平均数，方差为，记样本总平均数为，总的样本方差为，则下列说法正确的是（ ） A B. C D. 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在日常生活中，我们常见的下垂电线，自然悬挂的项链，其形状并非抛物线，而是“悬链线”，其核心数学模型可表示为函数（其中为自然对数的底数，，为常数），下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 当时， B. 函数为偶函数 C. 对任意的实数，，都有 D. 若成立，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 命题“，”的否定是______. 13. 已知，，则的值为______. 14. 已知函数，若不等式只有一个正整数解，则的范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知命题：“任意的，不等式恒成立”是真命题，记的取值范围为集合. （1）求集合； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. 兴城首山国家森林公园管理处为了解游客满意度，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值，并估计100名游客对景区进行满意度评分的平均分； （2）若采用分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 17. 如图，在边长为2的正方形中，是的中点，，交于点. （1）用和表示； （2）设，求实数的值. 18. 已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值，并判断函数的单调性（无需证明）； （2）若对任意，都有成立，求的取值范围； （3）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断与是否具有性质，请说明理由； （2）已知函数（为常数）具有性质，求的最大值； （3）已知函数（）具有性质，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市普通高中2025—2026学年上学期期末考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据10，8，11，11，13，17，19，21的75%分位数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】将数据从小到大排序为：. 因， 所以样本数据的75%分位数为第6个数据与第7个数据的平均数，为. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由交运算求集合. 【详解】由，， 所以. 故选：B 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求出的值，即可得解. 【详解】已知，， 由平行性质得：. 即，得. 故选：C. 4. 若“”是“”的充要条件，则实数的值为（ ）. A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的定义和不等式的性质计算即可. 【详解】因为不等式，所以， 解得. 因为“”是“”的充要条件， 所以有，解得. 故选：C. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件与为互斥事件，则与也是互斥事件 B. 若对于任意的事件与事件，则 C. 已知，，与相互独立，则 D. 已知，，与相互独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与独立事件的概率公式，逐一验证各选项，即可得出结果. 【详解】对于选项A：若事件是互斥事件，如掷一枚骰子出现点记为事件， 出现点记为事件，则为出现点， 与不互斥，A错误. 对于选项B：仅当互斥时，，一般情况下，，B错误. 对于选项C：当与相互独立时，，C错误. 对于选项D：当与相互独立时，，D正确. 故选：D. 6. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，分类讨论求解即可. 【详解】因为在上的偶函数在上单调递增，且， 所以在上单调递减，且， 所以当或时，，当时，， 由可得或， 即或或，解得， 故选：A 7. 如图，在中，，为的中点，过点作直线分别与边，交于、两点，且，，则的最小值为（ ）. A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】用基底表示向量，再结合共线的性质，即可用基本不等式求最小值. 【详解】因为， 所以， 又因为为中点，故. 由，可知，，， 所以， 因为共线，所以. ， 当且仅当时取等号，即时取等号，即的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数，，函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数有四个不同的零点可转化为即有四个不同的根，分析分段函数的图像与值域，结合零点个数求的范围，再计算目标函数即可求得结果. 【详解】函数有四个不同的零点可转化为即有四个不同的根， 已知函数， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以 在 递增、 递减，且. 当时， 在 单调递减，在 单调递增，且 . 要使 有四个不同的解，则. 时， 有两个解 ； 时， 有两个解 时，对应，即，故； 时，方程 即 ，解得：，， 故， 令 ，. ，当且仅当时取等号， 即时，但，所以，且在 单调递增， 所以. 即 . 所以的取值范围为. 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 在分层随机抽样中，已知总体分为两层，抽取的样本量分别为和，第一层的样本数据为，，…，，第二层的样本数据为，，…，，第一层的样本平均数，方差为，第二层的样本平均数，方差为，记样本总平均数为，总的样本方差为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数、方差的概念求解即可. 【详解】根据平均数定义知，，故A错误，B正确； 由方差的定义知，， 故C错误，D正确. 故选：BD 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式基本性质、特殊值法、作差法逐一验证各选项即可. 【详解】对于选项A：，，则，故，A正确. 对于选项B：取特殊值如，，B错误. 对于选项C、D：作差，故，C正确，D错误. 故选：AC. 11. 在日常生活中，我们常见的下垂电线，自然悬挂的项链，其形状并非抛物线，而是“悬链线”，其核心数学模型可表示为函数（其中为自然对数的底数，，为常数），下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 当时， B. 函数为偶函数 C. 对任意的实数，，都有 D. 若成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式计算判断 A，根据偶函数定义判断B，利用基本不等式判断C，根据函数奇偶性单调性转化后解不等式判断D. 【详解】当时，，故A正确； 因为的定义域为，且，所以为偶函数，故B正确； 因为 ，当且仅当时等号成立，故C错误； 令，当时，，所以由对勾函数知单调递增， 又单调递增，所以由复合函数的单调性知在上单调递增， 由B知函数为偶函数，所以由可得， 根据单调性可得，即，解得，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 命题“，”的否定是______. 【答案】， 【解析】 【分析】由全称命题的否定方法求解即可. 【详解】由全称命题的否定可知， ，的否定是，. 故答案为：， 13. 已知，，则值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数的运算法则即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 14. 已知函数，若不等式只有一个正整数解，则的范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为有唯一整数解，分类讨论，作出函数图象，数形结合求解即可. 详解】由不等式可得， 当时， 当时，，，故无解； 当时，显然不成立； 当时，因为 ，所以， 又，所以，即无解， 综上，当时，不等式无解 当时， 在同一平面直角坐标系中，作出的图象， 由图象可知，若不等式只有一个正整数解， 则此解为，故需满足，解得， 综上，的范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知命题：“任意的，不等式恒成立”是真命题，记的取值范围为集合. （1）求集合； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求区间的最小值，即可求集合； （2）由交集的结果列不等式求参数范围. 小问1详解】 由题知，等价于在上恒成立， 令，，则， 所以，所以集合； 【小问2详解】 集合，， ， 或，解得或， 综上，所求实数的取值范围是. 16. 兴城首山国家森林公园管理处为了解游客满意度，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值，并估计100名游客对景区进行满意度评分的平均分； （2）若采用分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】（1），84 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求，由平均数的定义和求法，结合直方图求解即可； （2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由图可知：， 解得，，故的值为0.03； 平均数为： 【小问2详解】 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件 因为评分在，的频率分别为0.1，0.15， 在中抽取人，设为，， 在中抽取人，设为，，； 从这5人中随机抽取2人则有，，，，，，，，，共有10个基本事件， 选取的2人评分分别在和内各1人 有，，，，，，有6个基本事件， 所以. 即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为. 17. 如图，在边长为2的正方形中，是的中点，，交于点. （1）用和表示； （2）设，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1建立平面直角坐标系利用向量的坐标表示联立方程组解得，法2由向量的线性运算求解； （2）法1建立平面直角坐标系利用向量法求解，法2由向量共线求参数即可. 【小问1详解】 法1：以点为坐标原点，分别以，方向为，轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 于是，， 由 可得：， 所以，解得，因此； 法2：由三角形法则得 所以， 因为 所以 【小问2详解】 以点为坐标原点，分别以，方向为，轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，，设 由题意知，，三点共线，，即 所以，又因为，，三点共线， 所以，即 所以解得 又因为，即，所以 法2：由得： 所以解得 所以的值为 18. 已知函数是上的奇函数，函数. （1）求实数的值，并判断函数的单调性（无需证明）； （2）若对任意的，都有成立，求的取值范围； （3）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1，单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用求得的值，再利用指数函数的单调性即可判断的单调性； （2）因为，所以； 可化为，构造函数，可证得在单调递减，借助二次函数性质可求得结果； （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合二次函数的单调性，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 为奇函数，， 此时，所以满足题意. ∵与在上都是单调递增函数， ∴在上单调递增. 【小问2详解】 因为，所以， 所以不等式可化为， 即 ，令， 所以， 由，得，所以在单调递减， 的对称轴， 所以. 【小问3详解】 根据题意可得： ，且. 的对称轴为， ①当时，在上递增， 与矛盾舍去. ②当时，在处取得最小值， 或 ， ③当时，在上递减， ， . 综上 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断与是否具有性质，请说明理由； （2）已知函数（为常数）具有性质，求的最大值； （3）已知函数（）具有性质，求的取值范围. 【答案】（1）具有性质，不具有性质，理由见解析 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由性质的定义，代入计算，即可判断； （2）根据题意，由性质的定义， 列出不等式，绝对值不等式性质，计算即可求的值； （3）根据题意，由性质的定义，列出不等式，结合对数函数的单调性以及运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ∵，则， ∴具有性质. ∵，， ∴不恒成立， ∴不具有性质. 【小问2详解】 ∵（为常数）具有性质， ∴， 根据绝对值不等式可知， ，即的最大值是1. 【小问3详解】 由题知，则. ， 令（），则式子变为. ，即. ， 随着的增加而减小， 当时，当时，. . 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $