精品解析：黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年度2026级A班高一期末考试数学试题

哈师大青冈实验中学2025—2026学年度期末试题 2026级A班数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则是的（　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列关于集合相等的说法正确的有（ ） ①； ②； ③； ④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，那么不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 的充要条件是 C. D. ，是的充分不必要条件 11. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则_________. 13. 已知在上是减函数，则的取值范围是______． 14. 下列结论错误的是______.（填序号） ①不存在实数a使得关于x的不等式的解集为 ②不等式在R上恒成立的必要条件是且 ③若函数对应的方程没有实根，则不等式的解集为R ④不等式的解为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1），，求证：； （2）已知，求的取值范围. 16. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 回答下列问题 （1）若，求的最小值 （2）已知，且，若恒成立，求的取值范围 18. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2），使得成立，求的取值范围. 19. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025—2026学年度期末试题 2026级A班数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则是的（　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可化简命题，然后可得答案. 【详解】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 故选：B 2. 下列关于集合相等的说法正确的有（ ） ①； ②； ③； ④ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 3. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 4. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判断BCD的真假. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：因为，两边同除以，可得，故B正确； 对C：因为，所以，故C错误； 对D：因为，两边同乘以，得：，故D错误. 故选：B 5. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 7. 已知函数，那么不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式可以判断出该函数的单调性，再结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为对于任意两个实数且，不等式恒成立， 所以有，或， 即，或， 所以当时，函数单调递增， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以当时，函数单调递增， 由，或， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由， 由， 由， 所以不等式的解集为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，或，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 的充要条件是 C. D. ，是的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定形式并判断其真假即可判断A；由充分、必要条件的定义即可判断B，D；根据全称量词命题的真假的判断方法判断C. 【详解】对于A，命题“”的否定是：，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义，故B错误； 对于C,,故C错误. 对于D，当时，有成立，而，但不成立， 即由不能得到，所以是的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD 11. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据幂函数的概念求的值，再根据求的值，可得的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以. 又，所以. 故. 故答案为： 13. 已知在上是减函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即，解得． 故答案为：． 14. 下列结论错误的是______.（填序号） ①不存在实数a使得关于x的不等式的解集为 ②不等式在R上恒成立的必要条件是且 ③若函数对应的方程没有实根，则不等式的解集为R ④不等式的解为 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由一元二次不等式，分式不等式的解法对结论逐一判断， 【详解】对于①，若的解集为，则，得无解，故①正确， 对于②，若在R上恒成立，则或 故“且”是“在R上恒成立”的充分不必要条件，故②错误， 对于③，当时，若对应的方程没有实根，则不等式的解集为，故③错误， 对于④，不等式的解为，故④错误， 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1），，求证：； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）证明：， 因为，所以， 又，所以， 即. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用作差法结合已知条件证明即可； （2）令，整理后求出，然后利用不等式的性质可求得结果. 【详解】（1）略； （2）令， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 又，所以， 故的取值范围为. 16. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 17. 回答下列问题 （1）若，求的最小值 （2）已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【小问1详解】 因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. 【小问2详解】 令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 18. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2），使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【小问1详解】 设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 19. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $