精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高二期末考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列前n项和公式和通项公式基本量的运算求得，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，， 所以有，故， 所以，，则，故. 故选：B 2. 若直线的倾斜角的大小为，则实数=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，再根据直线方程求出的值. 【详解】因为已知直线的倾斜角为， 所以根据直线倾斜角与斜率的关系，可得直线的斜率. 对直线方程进行变形得. 因为直线的斜率，且直线斜率为， 所以，即. 所以实数的值为. 故选：C. 3. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 4. 如图，在四面体中，，点满足，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，运用空间向量线性运算将向量用表示即可. 【详解】因为 所以， 故选：C. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程化成标准方程，求出两圆的圆心和半径；然后根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，由此可判断圆心的轨迹为椭圆；求出长半轴长和短半轴长即可得到动圆圆心的轨迹方程. 【详解】依题意，，圆心为，半径为，，圆心为，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以； 所以圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，所以椭圆的短半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用同角关系化简可得，由条件，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可. 【详解】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 7. 已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为6，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式，椭圆的定义，椭圆离心率的公式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得，所以，当且仅当时等号成立. 由题可知，椭圆的半焦距，所以离心率. 故选：B 8. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设音速，并整理公式为 ，燃料质量为 a、马赫数为 6，代入公式得到含和 的方程(2);燃料质量为、马赫数为10，再利用对数运算法则拆分 ，得到含和的方程(3)，最后联立方程(2)(3)求解，计算音速. 【详解】我们已知飞行器最大速度 v、燃料质量 m、飞行器自身质量 M 满足关系式： ， 化简为， (1) 设环境音速为 c(单位:)， 当燃料质量为 a 时，马赫数为 6， 所以 又因为 ， 所以, 化简得， , (2) 当燃料质量为 时，马赫数为 10， 令并代入(1)式子中， 化简， (3) 将式子(2)代入公式(3)中 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A；根据互斥事件的概念及加法概率公式判断B；根据对立事件的概念判断C；根据独立事件的概念判断D. 【详解】选项A：设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中， 设 “至少有一次正面向上”， “两次都是正面”， 显然，但与不是对立事件，故A错误； 选项B：因为，是互斥事件，所以，，故B正确； 选项C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果： 一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球； 故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误； 选项D：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立， 因为，，，满足， 因此事件，相互独立，故D正确. 故选： BD 10. 已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 数列单调递增 D. 数列是周期数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推公式分奇偶项讨论，计算数列的前几项或分析通项公式，进而判断选项的正确性. 【详解】已知，根据递推公式，分为奇数和偶数讨论：  当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即；  当（偶数）时：，即； 当（奇数）时：，即； 选项A：计算前项和：，因此选项A正确； 选项B：观察奇数项规律：，发现奇数项以为周期循环， 因为是奇数，，对应周期中的第项，即，因此选项B错误； 选项C：分析偶数项，当为奇数时，；当为偶数时，， 由于恒为正数，所以数列单调递增，C正确； 选项D：奇数项：，周期为，即是周期为的周期数列，因此选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（ ） A. 若，则 B. 若的倾斜角为，点在第一象限，则 C. 若，则的斜率为1 D. 若点在抛物线上，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据通径为焦点弦最短弦列式求得，利用焦点弦的性质，判断A；联立直线与抛物线，利用韦达定理，结合焦半径公式判断B；根据焦半径公式列式求解判断C；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式求解判断D. 【详解】由题意得抛物线的焦点，准线方程为， 因为长的最小值为4，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 对于A：由焦点弦的性质，将代入， 解得，故A错误； 对于B： 设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，， 所以， ， 由抛物线的定义可得，， ，若的倾斜角为，则， 所以，，所以，，所以，， 所以，，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以， 所以，所以，所以， 解得，所以直线的斜率为1或，故C错误； 对于D：设，， 由，得为的重心， 所以，， 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【解析】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 13. 已知两个向量，，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算求得，可求得的值. 【详解】因为，显然，所以，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率______. 【答案】3 【解析】 【分析】先求出抛物线方程为，设点的坐标为，求出，及，在中，，即可求解． 【详解】如图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 则，得，得抛物线方程为， 设抛物线与双曲线在第一象限交于点的坐标为， 过点作准线，交准线于点，则， 由，得，得， 再由及，解得， 由，得， 在中，， 整理得，得， 即，得. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 16. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，为数列的前n项和，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过等式左右两侧取倒数，结合等差数列的定义可证明结论. （2）根据（1）可得数列的通项公式，由此可得结果. （3）利用裂项相消法可求得，分析性质可证明结论. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∴是以为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得，， ∴. 【小问3详解】 由（2）得，， ∴， ∵，∴，且随着的增大而减小， ∴，当时，， ∴. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出平面，由平面进而得出面面垂直； （2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值. 【小问1详解】 证明：在平面内，过做垂直于交于点， 由为等腰梯形，且，则 又，所以， 连接，由，可知且， 所以在三角形中，， 从而， 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 所以， 由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18. 已知圆与直线相切于点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆相交于两点，是坐标原点.求的面积最大值，并求取得最大值时直线的方程. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据圆心在直线上可设圆心为，结合圆与直线相切于点可得，再利用圆心到直线的距离等于半径，求解方程组即可；（2）根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合得到的弦长，然后得到的面积有关式子，配方后利用二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 依题意，设圆心为，半径为， 因为圆与直线相切于点，所以， 解得，所以圆心为； 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 方法1： 因为直线，即，所以圆心到直线的距离为， 所以； 所以的面积为； 易知，即，解得且； 设，则，即，所以； 所以当，即时，的面积取得最大值； 此时，直线，即或. 方法2： 依题意，的面积为，当， 即时等号成立； 此时，为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为；所以，解得， 所以直线，即或； 综上，的面积的最大值为，取得最大值时直线的方程为或. 19. 已知动点满足关系式. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【小问1详解】 设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 ①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②因为，所以直线的方程为， 即，联立，消去得， 由题意知方程有两个不等的负根. 所以， 解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高二期末考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（ ） A. 81 B. 243 C. 27 D. 729 2. 若直线的倾斜角的大小为，则实数=（ ） A. B. C. D. 3. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，，点满足，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为6，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 10. 已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 数列单调递增 D. 数列是周期数列 11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（ ） A. 若，则 B. 若的倾斜角为，点在第一象限，则 C. 若，则的斜率为1 D. 若点在抛物线上，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 13. 已知两个向量，，且，则的值为______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 16. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，为数列的前n项和，证明：. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 18. 已知圆与直线相切于点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆相交于两点，是坐标原点.求的面积最大值，并求取得最大值时直线的方程. 19. 已知动点满足关系式. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $