精品解析：陕西省神·榆·靖区域联考2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

“神・榆・靖”区域联考2025～2026学年度第一学期 高一年级试卷数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“存在大于2的偶数，不能表示为两个质数之和”的否定为（ ） A. 任意大于2的偶数，都不能表示为两个质数之和 B. 任意大于2的偶数，都能表示为两个质数之和 C. 存在大于2的奇数，不能表示为两个质数之和 D. 存在大于2的偶数，可以表示为两个质数之和 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题， 则命题“存在大于2的偶数，不能表示为两个质数之和”的否定如下， 为“任意大于2的偶数，都能表示为两个质数之和”. 故选：B. 2. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解计算即可. 【详解】，， ，， . 故选：C. 3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除B、C选项，再根据当时，函数值的正负排除D选项，进而得到答案即可. 【详解】已知函数的定义域为， 由于，可知为奇函数， 即得函数也为奇函数，因此图像应关于原点对称，故排除B、C选项； 又因当时，，得：，故排除D选项. 综上可得：A为正确选项. 故选：A 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，必要性满足，但时，仍然有，充分性不成立． 应为必要不充分条件． 故选：B． 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理求解判断即可. 【详解】函数与图象的交点在第一象限，A错误. 易知函数在上单调递增， 又，， 函数在内存在零点. 故选：C. 6. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据甲、乙两人写错的常数，结合一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系，求出正确的常数，进而求解原不等式. 【详解】因为甲写错了常数，得到的解集为，根据根与系数的关系，所以. 因为乙写错了常数，得到的解集为，根据根与系数的关系，所以，即. 所以原不等式为，解得. 故选：D. 7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过0.1%，已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为：（为正的常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 5小时 B. 10小时 C. 12.5小时 D. 15小时 【答案】B 【解析】 【分析】先根据前5个小时消除了90%的污染物这一条件求出值，进而令可求出. 【详解】由题意，前5个小时消除了90%的污染物， ，， ，即，. 由题意得， 即，得，解得. 要能够按规定排放废气，至少还需要过滤小时. 故选：B. 8. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果. 【详解】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数运算公式和指数幂运算公式计算判断各个选项. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，因为，所以，从而， 即，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选:ABD. 10. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据条件求得点的坐标，代入函数中，再根据运算公式计算判断各个选项. 【详解】，点，， ，，将两点坐标分别代入，，得，， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：ABC. 11. 若实数，，满足，则，，的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，用表示出，然后在同一坐标系下画出关于的函数表达式的图像，结合图像进行判断. 【详解】令， 得，，， 在同一坐标系内作出函数，，的图象， 则，，分别是函数，，， 的图象与直线（）交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此A，B，C都可能，D不可能. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式恒成立列不等式求解 【详解】由题意得，解得 故答案为： 13. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【解析】 【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、非空子集个数公式进行求解即可. 详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 14. 取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，.则函数的零点个数为______. 【答案】8 【解析】 【分析】将问题等价于函数与图像的交点个数，然后求出的值域和周期，然后根据对数函数的性质求解即可. 【详解】令，则， 所求问题等价于函数与图像的交点个数. 因为，等式两边同时减去，可得； 因为，两边同时减去，可得，所以. 由于， 所以是周期为1的函数. 根据对数函数的性质可知，过定点，单调递增. 令，则，解得， 所以函数与图像交点个数为8， 即函数的零点个数为8. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先解不等式得集合A和集合B，然后根据集合运算可得； （2）先得到集合A和集合B的关系，再分类分析即可. 【小问1详解】 当时，， 又， ，. 【小问2详解】 由，得. 当时，符合，此时，解得； 当时，要使， 则解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 已知函数（，且）. （1）当时，求方程的实数根； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）或 （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质和二次方程求解计算即可. （2）先将不等式变形，然后根据指数函数的单调性求解即可. 小问1详解】 当时，， 方程等价于， ，解得或，即或. 方程的实数根为或. 【小问2详解】 由，可得， 当时，，解得； 当时，，解得. 综上， 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 17 已知函数，. （1）讨论关于的不等式的解集； （2）当，时，有，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）含参一元二次不等式，首先分解因式，然后讨论根的大小； （2）化简已知方程可得，然后常数代换，转化为均值不等式求解. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立； 当时，由，得或； 当时，由，得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【小问2详解】 ，，得， 又，， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为. 18. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若方程有3个实数根，求实数的取值范围； （3）若时，函数的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性解得函数解析式； （2）根据函数的图象与直线的交点个数，求解参数的取值范围； （3）根据给定函数的值域，反求满足条件定义域区间长度的取值范围； 【小问1详解】 函数是定义域为的奇函数，. 当时，， 当时，，此时， 又， 当时，. . 【小问2详解】 函数的图象开口向上，对称轴为直线， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 同理可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 又，，当时， 结合奇函数图象关于原点对称，可知当或时，符合题意， 实数的取值范围为. 【小问3详解】 令，解得或. ，从而. 对于，解得， 结合（2）的分析易知， 的最大值为，最小值为. 的取值范围为. 19. 已知函数. （1）设， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当时，求函数的值域. （2）对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ） （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值； （ⅱ）利用复合函数法可求得函数的值域； （2）令，可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题转化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 易知函数的定义域为， （ⅰ）令，，则， 当，即时，取得最小值，最小值为0. （ⅱ）当时，， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，函数的值域为. 【小问2详解】 当时，易知， 可化为， 记函数在上的最大值为，最小值为， 则对任意，，恒成立，等价于， 函数的图象开口向上且对称轴为直线， 当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 结合二次函数图象的对称性易知，当时，， 由，可得，即， 解得，此时，符合题意； 当时，， 由，可得， 解得，此时，符合题意； 当时，在上单调递减， 可得，， 由，可得，解得，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “神・榆・靖”区域联考2025～2026学年度第一学期 高一年级试卷数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“存在大于2的偶数，不能表示为两个质数之和”的否定为（ ） A. 任意大于2的偶数，都不能表示为两个质数之和 B. 任意大于2的偶数，都能表示为两个质数之和 C. 存在大于2的奇数，不能表示为两个质数之和 D. 存在大于2偶数，可以表示为两个质数之和 2. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ） A B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过0.1%，已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为：（为正的常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 5小时 B. 10小时 C. 12.5小时 D. 15小时 8. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（ ） A. B. C. D. 11. 若实数，，满足，则，，的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题是真命题，则实数a的取值范围是__________． 13. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 14. 取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，.则函数的零点个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16 已知函数（，且）. （1）当时，求方程的实数根； （2）求关于的不等式的解集. 17. 已知函数，. （1）讨论关于的不等式的解集； （2）当，时，有，求的最小值. 18. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若方程有3个实数根，求实数取值范围； （3）若时，函数的值域为，求的取值范围. 19 已知函数. （1）设， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当时，求函数的值域. （2）对任意，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $