精品解析：湖北武汉市华中师范大学第一附属中学2026届高三下学期5月适应性考试数学试题

高三年级五月适应性考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得，所以， 由，解得，所以， 故． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故 ，解得，故选C． 3. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 故，当时，， 所以 ， 4. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律及投影向量求解即可. 【详解】因为 ，所以， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模为． 5. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得 ， ，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，所以，得， 由得，即，所以椭圆的短轴长为． 6. 已知一组样本数据，…，的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为6，根据方差列出关于的方程，进而求解得的值. 【详解】由已知得， 因为删除某个数据后，平均数没有变化，故删除掉的数据为6， 因为去掉数据6后方差变为30， 故，解得． 7. 已知中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又 ，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 8. 已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意即方程 有两个不相等的实根，然后通过研究单调性，图像可得答案. 【详解】由题意即方程 有两个不相等的实根，令，则， 因,则在R上单调递增，所以问题等价于 有两个不相等的实根， 即直线与图像有两个交点，， . 得在单调递增，在单调递减， ，，时，时， 据此可得大致图像如下，由图像得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，M为圆O：上一点，则（ ） A. 点B在圆O外 B. 的最大值为6 C. D. 的最大值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A， ，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知 ，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得， ，当且仅当 时取等，故D正确． 10. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点，，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为 平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 11. 已知函数与的部分图象如图所示，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 若在上有9个零点，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由求导得，根据图像分和两种情况分析求出求得周期可判断A、B；由求得相邻两零点的距离，结合在上零点的个数求出的范围即可判断C；先由，得，再由 及 求得的值，进而通过诱导公式结合三角恒等变换求解即可判断D. 【详解】对于A，B，，若，则，得， 所以，又且，得， 此时，符合题意； 若，则，得，所以， 又，且，得，此时， 在其单调递减区间内，与图象不符，所以，最小正周期为，故A正确，B错误； 对于C，由得 ，所以相邻两零点的距离为， 因为在上有9个零点，所以， 即，故C正确； 对于D，由，得， 又由 ，且 ， 得， 所以 ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第3项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的第3项． 13. 已知等比数列的前n项和为，若，则______． 【答案】－144 【解析】 【分析】先利用前项和公式求出首项与时的通项，再根据等比数列的定义确定参数，最后由等比数列通项公式计算. 【详解】由 ，得. 当时， ； 当时，. 因为为等比数列，故时的通项也满足时的表达式， 即，解得. 此时 ，公比，故 . 14. 已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，P为C的渐近线上一点，且P在第一象限，Q为C的左支上一点，若四边形OFPQ为菱形，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】记双曲线的左焦点为，连，QF，由四边形为菱形可得，又易得F到渐近线的距离为b，最后由结合双曲线定义可得答案. 【详解】记双曲线的左焦点为，连，QF，由四边形OFPQ为菱形，则， F到渐近线的距离为，结合菱形性质可得， 又注意到，则四边形为平行四边形，， ，又，则， 由双曲线定义可得：，， 从而C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，化简后分析导数的符号，根据分母和分子正负确定单调区间； （2）由第一问的单调性可知函数在给定区间上的最大值和最小值，分别出现在端点或极值点处，计算后得到最大差值，从而可确定的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 由， ，所以在上的最大值为， 所以对任意的， , 故a的取值范围是． 16. 如图，一张边长为2的正方形纸片ABCD，E为AB的中点，现沿DE将折起至，使得． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由已知得，又，， 所以，所以， 又，，平面，所以平面； （2）． 【解析】 【分析】小问（1）线面垂直的判定定理，小问（2）建立空间直角坐标系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：以C为原点，CB，CD为x轴，y轴，垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立空间直角坐标系． 由已知得，，，设，由， 得，解得，所以， 所以，，，设平面的一个法向量为，由 ，不妨取，得，，所以， 设直线与平面所成角为，则, 所以直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以B到平面的距离 ， 取CD中点F，连EF，，BF，过作于O，连OB，则，，又， 平面，所以平面，所以，因为平面，所以，所以，所以，，因为，，，平面BCDE，所以平面BCDE， 所以，所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知抛物线E：上的点到直线的距离的最小值为． （1）求E的方程； （2）设E的焦点为F，过点F的直线与E交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆与x轴交于点D（D在F的右侧），若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设曲线上的点，求得点到直线的距离，根据题意，列出方程，求得，即可求解； （2）方法一：设直线AB的方程为，联立方程组得到，，根据，列出方程，求得，结合抛物线的定义，即可求解；方法二：设，则和，过点作于H，得到，同理，结合正弦定理，列出方程，求得，进而得到的长. 【小问1详解】 设曲线上的点， 则到直线的距离为， 当时，即时，可得，不符合题意； 当时，即时，可得，所以，解得， 所以E的方程为. 【小问2详解】 方法一：由（1）知，抛物线，可得焦点， 显然直线斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，，由韦达定理得，， 因为D在以为直径的圆上，所以， 由，可得，所以， 代入整理得，即， 解得或， 又因为在的右侧，所以，故， 所以. 方法二：因为在以为直径的圆上，所以， 由，设，则，可得， 记曲线的准线为l，过点作于H，则， 可得，同理， 在中，由正弦定理得， 又因为，代入得， 整理得，解得， 所以. 18. 某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏． （1）求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； （2）求该顾客的奖金不低于元的概率； （3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望． 【答案】（1） （2） （3）174元． 【解析】 【分析】（1）结合排列组合的有关计算公式求对应的概率； （2）列出奖金的可能情况，分析如何获得对应的奖金数，求出对应概率即可. （3）求出抽取银券可获得的奖金的期望，再利用给出的公式，求该顾客获得奖金的期望. 【小问1详解】 游戏停止时共抽取5次，即前四次抽到2金2银，且第五次抽到金券， 故所求的概率为； 【小问2详解】 奖金不低于270元，则可能为300元，290元，280元，270元． ①若奖金为300元，即连续抽到3次金券，其概率为； ②若奖金为290元，即前三次抽到两张金券和一张－10元银券，且第四次抽到金券，其概率为； ③若奖金为280元，即前三次抽到两张金券和一张－20元银券，且第四次抽到金券，同②知； ④若奖金为270元，一种情况是前三次抽到两张金券和一张－30元银券，且第四次抽到金券，同②知其概率为； 另一种情况是前四次抽到两张金券、一张－10元银券和一张－20元银券，且第五次抽到金券，其概率为， 所以； 综上所述，奖金不低于270元的概率为. 【小问3详解】 方法一：记银券分别为，，…，，对应面值－10元，－20元，…，－60元． 记， 银券与4张金券被抽到的先后次序是等可能的，表示在与4张金券一起排列时，排在了前三个位置上，所以，， 所以，， 因为奖金， 所以， 即奖金的期望为174元． 方法二：记为停止时抽到银券的张数，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且. 由已知得，，， ，， ，， 计算得． 又因为，所以， 因为每张银券被抽到是等可能的，所以，， 所以， 即奖金的期望为174元． 19. 给定自然数，定义集合．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为a的“逆对数”．例如，若中的一个元素，则，a的“逆对数”为2． （1）当时，若，，直接写出，； （2）记为中“逆对数”为k的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【答案】（1），； （2）（i） ；（ii） 【解析】 【分析】(1)按照集合的定义进行判断； (2) （i）情况 1： 在末位；情况 2： 不在末位，分类讨论；（ii）通过构造等比数列求解递推关系. 【小问1详解】 对于，仅在 ，所以， 对于，在 ， ，所以； 【小问2详解】 （i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列，且这两个数为， 若去掉中最大的数t后仍有一个逆对数的排列，则t位于，之间或最后； 若去掉t后逆对数为0，则t可能位于除最后的所有位置． 所以 ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设 ，，则当的逆对数为1时，前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数 ， 综上， ． （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数t后仍有两个逆对数的排列，则t位于，或，之间或最后； 若去掉t后逆对数为1，且为，则t可能位于除最后与，之间的所有位置， 所以， 由（i）知，又 ，则 ， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故， 所以 ，所以， 所以， 又 ，则 ， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级五月适应性考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得 ， ，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. D. 6. 已知一组样本数据，…，的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 8. 已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，M为圆O：上一点，则（ ） A. 点B在圆O外 B. 的最大值为6 C. D. 的最大值为9 10. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 11. 已知函数与的部分图象如图所示，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 若在上有9个零点，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第3项为______． 13. 已知等比数列的前n项和为，若，则______． 14. 已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，P为C的渐近线上一点，且P在第一象限，Q为C的左支上一点，若四边形OFPQ为菱形，则C的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，，求的取值范围． 16. 如图，一张边长为2的正方形纸片ABCD，E为AB的中点，现沿DE将折起至，使得． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知抛物线E：上的点到直线的距离的最小值为． （1）求E的方程； （2）设E的焦点为F，过点F的直线与E交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆与x轴交于点D（D在F的右侧），若，求． 18. 某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏． （1）求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； （2）求该顾客的奖金不低于元的概率； （3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望． 19. 给定自然数，定义集合．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为a的“逆对数”．例如，若中的一个元素，则，a的“逆对数”为2． （1）当时，若，，直接写出，； （2）记为中“逆对数”为k的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $