6.3 二元一次方程组的应用 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该教案聚焦二元一次方程组的应用，分两课时系统讲解和差倍分、配套、行程等实际问题。通过对比一元一次方程与方程组引入，衔接旧知，再以动画、示意图辅助理解复杂情境，搭建学习支架梳理解题脉络。 以真实情境（植树、火车过桥）培养数学眼光，归纳“审设列解检答”步骤发展推理意识，古题今解与多解法比较强化模型意识，助力学生提升建模能力，为教师提供结构化教学流程与多样化实例。

6.3 二元一次方程组的应用 第1课时 二元一次方程组的应用（1） 课题 二元一次方程组的应用（1） 课型 新授课 教学内容 教材第16-19页的内容 教学目标 1.能够根据具体的数量关系列出二元一次方程组，并解决简单的实际问题. 2.会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分问题和配套问题. 3.体会二元一次方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力. 教学重难点 教学重点：根据简单应用题的题意列出二元一次方程组. 教学难点：将实际情境中的数量关系抽出来，并用二元一次方程组表示. 教 学 活 动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？ （1）分别列出一元一次方程和二元一次方程组解题． （2）比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？ 学生活动：练习本上解题，思考并回答上述问题. 2.探索新知，讲授新课 可见，有时我们列二元一次方程组解决实际问题更容易，今天我们就来学习二元一次方程组的应用． 1.3月12日是我国的植树节，这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动.如果平均每人每天挖树坑6个或植树10棵，那么怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？ 【师生活动】教师提问：（1）在上面的问题中，找出两个等量关系. （2）设每天安排x名学生挖树坑，y名学生植树，那么列出的二元一次方程组是怎样的？ 学生活动：观察、分析后回答. 学生回答：（1）挖树坑的人数+植树的人数＝240， 挖树坑的人数×6＝植树的人数×4． （2） 根据所设的未知数以及等量关系，列出方程组，并解答. 教师点评，并强调： （1）选定未知数，根据条件找等量关系． （2）根据等量关系，列出对应的方程组，再解方程组即可得到答案. 2.展示教材例1： 【师生活动】教师提问：本题中的等量关系是什么（用文字语言描述）？如何设未知数？如何列方程组？又如何完整地解决这个应用题？ 学生活动：学生阅读题目，思考、分析、讨论. 教师：请多名同学回答问题，并进行完整地解题板书. 同学可能对应用题的解题过程有不同的展示步骤，老师可以多让几名同学回答，最终给出标准的答题模式. 解：设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套. 根据题意，得 解这个方程组，得 答：安排275人生产甲种零件，385人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套. 3. 【师生活动】教师提问:你能谈谈用二元一次方程组解实际问题一般有哪些步骤吗？你认为最关键的是什么？ 教师给出引导性的语句：可以结合一元一次方程解实际问题的步骤. 学生活动：学生类比、思考，相互交流讨论. 教师：请同学回答讨论结果，并点评、总结. 通过归纳总结步骤：用二元一次方程组解实际问题的步骤：（1）审题，分析题目中的已知与未知，找出数量关系； （2）设未知数；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验；（6）写出答案. 概括为：审、设、列、解、检、答. 关键是找出问题中等量关系和设未知数. 4.学生独立完成课本第17页“做一做”. 3.学以致用，应用新知 考点 用二元一次方程组解实际问题 【例1】小华4年后的年龄与小丽4年前的年龄相等.3年后，她们两人的年龄和等于她们年龄差的3倍，求小华和小丽今年的年龄. 答案：小华今年5岁，小丽今年13岁. 【例2】某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？ 答案：胜8场，平3场 【例3】古题今解： 以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？ 用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 答案：绳长48尺, 井深11尺. 4.随堂训练，巩固新知 1.某校的学生宿舍 30 间，大宿舍每间可住 8 人，小 宿舍每间可住 5 人 . 该校 198 个住宿生恰好住满30间宿舍. 设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组________. 答案： 2.某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12只或螺母18只，要求一个螺栓配两个螺母，应分配______人生产螺栓，____人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套. 答案：12,16 3.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，问这几天中有几天晴天，几天是雨天？ 答案：这几天中共有2天晴天，6天雨天． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）今天我们学习用二元一次方程组解决实际问题，通过今天的学习你有什么收获？ （2）用二元一次方程组解实际问题的步骤有哪些？ （3）用二元一次方程组解实际问题的关键是什么？ 6.布置作业 课本P18习题A组第1-3题，B组第4题. 通过两种解法的比较，让学生体会列二元一次方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣． 老师引导学生将原问题转化为文字语言表述的数量关系，再转化为数学符号表示的数量关系． 例1用问题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力． 通过师生共同解答，明确规范的解题格式． 通过类比，可以归纳总结用二元一次方程组解实际问题的步骤，提高学生分析、概括能力. 教师强调，一定要检验结果是否是二元一次方程组的解，同时符合实际情况. 教师巡视，帮助有困难的同学，掌握本节知识. 通过例1，了解如何用二元一次方程组解决配套问题. 感受古代数学的魅力，培养学生的模型意识和应用意识,提高学生分析问题、解决问题的能力. 通过随堂训练，巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 板书设计 6.3 二元一次方程组的应用 第1课时 二元一次方程组的应用（1） 1.解：设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套. 根据题意，得 解这个方程组，得 答：安排275人生产甲种零件，385人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套. 2.用二元一次方程组解实际问题的步骤：审、设、列、解、检、答. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 第2课时 二元一次方程组的应用（2） 课题 二元一次方程组的应用（2） 课型 新授课 教学内容 教材第19-21页的内容 教学目标 1.通过火车过桥问题和行程问题，感受二元一次方程组的应用价值，从更复杂的实际问题情境中找出等量关系，加深对数学模型的认识. 2.通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高分析问题和解决问题的能力. 教学重难点 教学重点：列二元一次方程组解决实际问题． 教学难点：从复杂的问题情境中分析等量关系，从而设未知数，列出二元一次方程组并解决问题. 教 学 活 动 教 学 过 程 备 注 1.复习提问，引入课题 （1）上节课我们学习了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？ （2）列方程组解应用题的关键两步是什么？ 学生活动：回答老师提出的问题． 教师：教师点评，并引入新课. 这节课，我们接着学习列二元一次方程组解应用题． 2. 类比探究，学习新知 1.请同学们看课本19页例2的问题． 【师生活动】教师：教师放“完全过桥”和“整列火车在桥上”的动画片和或让学生模仿 “火车过桥”,帮助学生理解题意. 教师提问：大家知道“完全过桥”和“整列火车在桥上”的含义了吧？ 学生活动：学生回答，教师点评. 教师提问：（1）问题中涉及了哪些量？ （2）用画示意图的方式表示本题反映的等量关系． （3）用x，y分别表示火车的速度（m/s）和长度（m），把上面的等量关系转化为方程组． （4）解答“一起探究”中的问题. 学生活动：学生回答，解题. 教师：老师点评. 2.展示课本20页“一起探究” 去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总人数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%,高中一年级招生人数增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总人数将比去年招生总人数增加18%．今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？ 【师生活动】老师提问：题中的等量关系是什么？ 学生活动：学生回答等量关系，有可能是（1）去年七年级招 生人数+去年高一招生人数=500，今年七年级招生人数+今年高一招生人数=500×（1+18%），也有可能是（1）去年七年级招生人数+去年高一招生人数=500，今年七年级招生人数增加量+今年高一招生人数增加量=500×18%. 教师:老师点评，予以肯定，并提问：根据自己的分析设出未知数、列方程组，解答此题. 学生活动：学生自主解答，并进行相应的板演. 教师：老师进行点评. 3. 还有没有其他的解法，直接设今年两个年级计划招生人数为未知数，列方程组解答“一起探究”中的问题. 【师生活动】教师提问：（1）是否可以用上面的等量关系？ （2）如何列方程组？解答方程组. 学生活动：学生思考问题，并解答. 教师：与“一起探究”中的解答过程相比，哪种解法更简单？ 学生活动：学生回答. 教师：老师总结. 总结：准确找出等量关系，合理设未知数，能使解答过程准确又快捷. 3.学以致用，应用新知 考点 用二元一次方程组解应用题 【例1】某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆．试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？ 若设预定期限为x天，计划生产y辆汽车，请你根据题意填空，并列出方程组求x与y的值． (1)若每天生产35辆，在预定期限x天内可生产__________辆，比计划产量y辆汽车__________(“多”或“少”)生产10辆，则可得二元一次方程____________． (2)若每天生产40辆，在预定期限x天内可生产__________辆，比计划产量y________(填“多”或“少”)生产20辆，则可列二元一次方程_________________． (3)列方程组_________________________，并解得________． 【例2】一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？ 如图： 若设快车每秒钟行x米，慢车每秒行y米． 根据题意填空： (1)若同向而行，经过20秒快车行驶路程比慢车行驶路程多____米，可列方程_________． (2)若相向而行，两车4秒钟共行驶__________米，可列方程_____________． (3)由以上可得方程组__________________，解得________． 答案：【例1】(1)35x　少　35x+10=y (2)40x　多　40x－20=y (3)，　 【例2】(1)150米　20x－20y=150 (2)150　4x+4y=150 (3)　 4.随堂训练，巩固新知 （1）甲、乙两条绳共长17 m,如果甲绳减去，乙绳增加1 m,两条绳长相等，求甲、乙两条绳各长多少？若设甲绳长x m,乙绳长y m,则得方程组（ ） A. B. C. D. 答案：C （2）一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比是（ ） A.3∶1 B.2∶1 C.1∶1 D.5∶2 答案：B （3）某水果批发市场香蕉的价格如下表，张强两次购买香蕉50kg，一共付款264元，如果第二次购买的质量多于第一次购买的质量，张强每次分别购买香蕉多少千克？ 答案：第一次14㎏，第二次36㎏. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）用二元一次方程组解决实际问题的关键是什么？ （2）在解决实际问题时，检验解的合理性要从哪些方面入手？ 6.布置作业 课本P21 习题第1-4题. 回忆用二元一次方程组解应用题的一般步骤及关键． 学生自己解决问题． 训练学生分析问题的能力，同时暴露学生在分析问题、解决问题时存在的不足． 让学生能够在实例中感受找等量关系和设未知数的重要性. 可见，适当地设未知数，能使问题简单. 通过演示帮助学生理解题意． 训练学生分析问题的能力． 教师巡视指导，并帮助不会解答的同学. 逐步练习，提高学生解答问题的能力. 通过画图理解题目，形象具体的找出题目中的等量关系，为题目的解答提供了有利的支持. 加深对二元一次方程组的应用的感悟和理解，增加解题经验，培养从实际问题中提炼数学问题的能力. 通过随堂训练，巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度-水速. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆. 板书设计 6.3 二元一次方程组的应用 第2课时 二元一次方程组的应用（2） 例2 解：设“复兴号”列车过桥时的速度为x m/s，列车的长度为y m. 根据题意，得 解这个方程组，得 答：“复兴号”列车过桥时的速度为84 m/s，列车的长度为420 m. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $