精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县绥棱林业局中学校2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

绝密★启用前 2025—2026学年度第一学期高二数学期末测试 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随机变量服从正态分布，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题目信息即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布， ， 所以. 故选：D． 2. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ） A. 102种 B. 105种 C. 210种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲乙丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可求得结果. 【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作， 共有种. 其中甲乙丙3人有一人负责语言服务工作，有种， 故符合条件的选法共有种. 故选：C. 3. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. x＝－1 D. y＝－1 【答案】D 【解析】 【分析】先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程． 【详解】由题得：， 所以，即 所以 故准线方程为：． 故选：D 4. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 故其渐近线方程为，结合渐近线方程为，故， 故选：A 5. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得双曲线方程，进而可求得当的两点的坐标，可求花瓶的高． 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，得， 又由双曲线的离心率为，得，即，则， 可得双曲线的方程为， 因为最大直径为，所以把代入双曲线方程，解得， 故该花瓶的高为． 故选：B． 6. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点到直线的距离为． 点到直线的距离， 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 7. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得． 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 8. ，，三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 72种 D. 81种 【答案】B 【解析】 【分析】将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到三所学校求解. 【详解】设这四位同学分别为甲、乙、丙、丁， 由题意将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到三所学校. 则不同的报名方法共有种. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为1 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为25 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点，结合椭圆及双曲线定义，用表示出和. 根据选项给出的已知条件，结合勾股定理逆定理、余弦定理及基本不等式、三角函数的知识逐项分析即可. 【详解】由题意知，. 设，（）， 由椭圆定义：，由双曲线定义：， 所以，. 选项A：若，则，即，. 又， 所以为直角三角形，且. 所以，故A正确. 选项B：若，，则，， 所以，B错误. 选项C：在中，由余弦定理得， 即， 整理得，则. 所以 ，当且仅当即时，等号成立，故C正确. 选项D：同理可得，，即. 设，，则. 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可判断B选项；利用残差的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对； 对于C选项，当时，， 所以，当时，残差为，C对； 对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数为正数，D错. 故选：ABC. 11. 已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C的长轴长为 B. 点P到直线的最大距离是 C. 直线的方程为 D. 若，则最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，通过曲线C的方程判断出曲线C为焦点在轴上的椭圆，由此得出，则长轴长为；对于B，可将问题转换成求与平行且与曲线C相切的直线，再利用平行线间的距离即可判断；对于C，由点差法求出直线的斜率，然后求出直线的方程；对于D，设曲线C上点，写出曲线C上的点到定点的距离的平方，然后通过代入曲线C的方程转化为关于x的二次函数求解. 【详解】对于A，曲线C：为焦点在轴上的椭圆， ，，， 所以曲线C的长轴长为，故A正确； 对于B，设与直线平行的直线为，， 将与联立得， 令，解得， 此时直线与曲线C相切， 当时，直线的方程为， 此时两平行线的距离为， 当时，直线的方程为， 此时两平行线的距离为， 故点P到直线的最大距离是，故B错误； 对于C，直线与曲线C交于M、N两点，且点为线段的中点， 设，，则，. 由点差法得：，所以， 所以，即， 所以直线的方程为：，即，故C正确； 对于D，设曲线C上点， 由得. 定点，则， 将代入得， 这是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为， 当时，，所以最大值是，故D错误； 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据椭圆的定义得到的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【详解】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 故答案为：. 13. 百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 【答案】72 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以600即可求解. 【详解】由于数学成绩近似服从正态分布，且， 所以， 所以， 则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为人. 故答案为：72. 14. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒产品共有4种玩偶，小明购买5个盲盒，则他能集齐4种玩偶的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】购买5个盲盒，得到玩偶所有情况有种； 其中集齐种玩偶的情况有： 所求概率. 故答案为：. 15. 若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：种. 将甲乙看成一个整体，此时相当于有4个人随机排列，排列数为， 而甲乙两人之间又有种排列顺序. 根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种. 所以，甲乙不相邻的排列数为种. 根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的人工智能核心产值规模（单位：亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 核心产值规模 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 （1）若用作为回归模型，并已求得，，，求此模型下的决定系数（精确到0.01）. （2）若用作为回归模型， ①求的值； ②已知该模型下的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的人工智能核心产值规模. 参考数据： 3 4.02 16.16 104.91 1.24 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）上表中； （2）一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，决定系数. 【答案】（1） （2）①，，②预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为（亿元）. 【解析】 【分析】（1）利用决定系数公式计算即可； （2）①将指数模型两边取对数转化为线性模型，利用最小二乘法求解，即可求解；②通过比较判断模型优劣，并代入预测2025年产值即可. 【小问1详解】 由题意可得， 所以决定系数 【小问2详解】 将两边取对数，可得， 设，则模型为，其中， 因为， 所以 ， 所以， 则， 所以，， 因为该模型下的决定系数，大于线性模型下的决定系数， 故指数模型拟合效果更好， 令，可得（亿元）， 故预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为（亿元）. 17. （1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求两直线的交点坐标，根据垂直关系设所求直线l的方程为，代入运算即可； （2）根据点关于直线对称求点关于直线的对称点，即可得圆心和半径，进而可得方程. 【详解】（1）由题意联立，解得， 则直线和的交点为， 设所求直线l的方程为， 将点代入得，解得， 故所求直线l的方程为； （2）圆，圆心，半径为， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 可知所求圆的圆心为，半径为， 所以对称圆的方程为. 18. 在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. （1）求动点P的轨迹曲线C的方程； （2）过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】（1） （2）是，定值为3 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列方程即可求解； （2）设直线：，，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. 【小问2详解】 易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025—2026学年度第一学期高二数学期末测试 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 随机变量服从正态分布，已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ） A. 102种 B. 105种 C. 210种 D. 288种 3. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. x＝－1 D. y＝－1 4. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 7. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. ，，三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 72种 D. 81种 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为1 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为25 D. 若，则的最大值为 10. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 11. 已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C的长轴长为 B. 点P到直线的最大距离是 C. 直线的方程为 D. 若，则最大值是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 13. 百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 14. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒产品共有4种玩偶，小明购买5个盲盒，则他能集齐4种玩偶的概率是_____． 15. 若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为_____. 四、解答题：本题共3小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的人工智能核心产值规模（单位：亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 核心产值规模 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 （1）若用作为回归模型，并已求得，，，求此模型下的决定系数（精确到0.01）. （2）若用作为回归模型， ①求的值； ②已知该模型下的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的人工智能核心产值规模. 参考数据： 3 4.02 16.16 104.91 1.24 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）上表中； （2）一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，决定系数. 17. （1）已知直线经过直线和的交点且与直线垂直，求直线的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 18. 在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. （1）求动点P的轨迹曲线C的方程； （2）过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $