湖南省长沙市部分校2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题

HUN202609 高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为 A．0° B．45° C．90° D．135° 2．已知平面向量，不共线，若向量与共线，则实数的值为 A． B． C． D．3 3．若，，三点共线，则实数 A．2 B．3 C．4 D．5 4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 6．若一个正四面体的体积为，则其表面积为 A． B． C． D． 7．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数的共轭复数为，若，则 A． B． C．一定是实数 D．可能是方程的根 10．已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有 A．，， B．，， C．，， D．，， 11．如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是 A．三棱锥的外接球的表面积为定值 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．若，则平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，，且与相互独立，则________． 13．已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________． 14．在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） 频数 4 6 18 14 8 （1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，．设，，． （1）试用基底表示向量． （2）设为的中点，点在直线上，且．若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置． 17．（15分） 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面． 18．（17分） 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，是下底面圆周上一点，且，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分） 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体．如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $HUN202609 高二数学·答案 一、选择题 1.答案C 命题透析本题考查直线的倾斜角， 解析直线x=cos180°的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 2.答案A 命题透析本题考查向量共线。 解析因为向量a,6不共线，所以若向量a+b与a-3动共线，则宁=3即k=-分 3.答案A 命题透析本题考查直线斜率的应用. 解析由三点共线得“=kc,}二=20解得a=2 4.答案C 命题透析本题考查空间线面位置关系的判定 解析对于A,若⊥B,m⊥a,则m∥B或mCB,故A错误； 对于B,若m∥a,n⊥m,则n与a的位置关系可能是平行、相交或nCa,故B错误； 对于C,由线面平行的性质定理知，m∥n,故C正确； 对于D,若mC,nCB,ax∥B,则m与n可能平行，也可能异面，故D错误. 5.答案B 命题透析本题考查投影向量： 解析向量6在向量a上的投影向量为之·台3名a=(号一宁号》 6.答案D 命题透析本题考查正四面体的表面积与体积的计算. 解析设正四面体为A-BCD,并将其补形成正方体（如图），设正方体AEDF-HBGC的棱长为a,则正四面体 4-B00的楼长为a,所以化a=mrm4-m=d-4×兮×宁×。写=号解得a=1,从而正 四面体A-BGD的棱长为5，侧该正四面体的表面积为4×车×(D)?=-2,尽 一1 7.答案B 命题透析本题考查解三角形的综合应用. 解析由正弦定理得sinA-sinB=2(sin Acos C+sin Ccos A),又因为A+B+C=T,所以sin(A+C)=sin(T- B)=sinB,故sinA-sinB=2sin(A+C)=2sinB,故sinA=3sinB,易得a=3b.由题知三个内角均为锐角，由余 弦定理，得cosA=尽+c-a>0,代人a=36,得c2>86,又c0sC=。+2-c>0,所以2<106，因此86< 2bc 2ab c1o,1-后则8<1c0,于是mc:兰.0心兰-号-后的取值范为0，》 2ab 8.答案C 命题透析本题考查空间向量的数量积运算及最值的求解 解析设m=a+b+c,由题意，得Id-ml=1.将d拆分为d=m+(d-m),代入所求数量积，得d·（a+b)= [m+(d-m)]·（a+b)=m·(a+b)+(d-m)·（a+b).因为向量a,b,c两两互相垂直，所以任意两个不 同向量的数量积为0，所以m·(a+b)=(a+b+c)·(a+b)=1a2+Ib12+2a·b+a·c+b·c=1+1+0+ 0+0=2,又(d-m)·(a+b)≤1d-ml·|a+bl,其中ld-ml=1,且1a+b1=√1a2+lb2+2a·b= √个+1+0=√2，因此(d-m)·(a+b)≤1×2=5，则d·(a+b)≤2+2，当且仅当d-m与a+b同向时取等 号，故最大值为2+2. 二、选择题 9.答案AC 命题透析本题考查复数、共轭复数的概念和运算 解析对于A,设z=a+bi(a,beR),由lz=1得a2+b2=1,于是z·z=(a+bi)(a-bi)=2+b2=1,故A 正确； 对于B,当a=0,b=1时，22=（-i)2=-1,故B错误； 对于C,结合A项可知z+=2+2=(a+bi)+(a-bi)=2a,2a是实数，故C正确； 对于D,对于方程+2=0，由求根公式得该方程的根为：生，计算根的模为 (+( 2 √2，不满足Iz=1,因此z不可能是该方程的根，故D错误. 10.答案AB 命题透析本题考查基底的概念， 解析由题知a,b,c不共面. 对于A,假设存在实数x,y,z,使得xa+y(a+b)+z(a+b+c)=0,即(x+y+z)a+（y+z)b+zc=0,则x=y= z=0,即a,a+b,a+b+c不共面，可以构成空间的一个基底，故A正确； 对于B,假设存在实数x,y,z,使得x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=0,即(x+z)a+(x+y)b+（y+z)c=0,则 x=y=z=0,即a+b,b+c,c+a不共面，可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C,因为(a-b)+(b-c)=-（c-a),所以a-b,b-c,c-a共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D,因为(a+b)-(a-b)=2b=子×3b,所以a+b,a-b,3b共面，不能构成空间的一个基底，故D错误 11.答案ACD 命题透析本题考查圆锥的结构特征和有关表面积、线面角、二面角的计算. 解析以底面圆心O为坐标原点，以直线OB、底面内垂直于OB的直线、直线OS分别为x,y,z轴建立如图所 示的空间直角坐标系，则0(0,0,0)，A(-2,0,0),B(2,0,0),S(0,0,2),设C(2cos0,2sin0,0),0e(0,2m)且0≠ π，由E为SC的中点，得E(cos0,sin0,1). 对于A,易知OA=OB=OC=OS=2,即点O到三棱锥S-ABC的四个顶点的距离相等，故点O即为三棱锥S- ABC外接球的球心，外接球半径为R=2,所以三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4πR=4π×22=16π，为 定值，故A正确. 对于B,若直线OE⊥平面SBC,则OE⊥BC,易知S0⊥BC,S0∩OE=O,所以BC⊥平面SC0,则BC⊥SC,在 △SBC中，由SB=SC,可知BC⊥SC不可能成立，所以不存在点C,使得直线OE⊥平面SBC,故B错误 对于C,易知平面SAB的一个法向量为n=(0,1,0),直线0E的方向向量为0龙=(cos0,si0,1),设直线0E 与平面SAB所成的角为，则sin a= o应，l=lsin叫 1021lnl√cos8+sin20+1下√2 下=0，当1m01=1,即0=号或7受时， 对应点C的坐标为(0，±2,0)，符合题意，此时sina取得最大值万二2，故C正确， 对于D,平面SAB的一个法向量为n=(0,1,0),当LB0C=60时，不妨设点C的坐标为(1,5,0)，则S=(2, rm.S3=2x-2z=0, 0,-2),S元=(1，N5,-2);设平面SBC的法向量为m=(x,y,z),则 令x=5,得z= lm.S元=x+5y-2z=0, 后，，用平看c份-个黄间量为m:(51,).测11-器·7中示 ?故平面$B与平面SBC夹角的余弦值为，故D正确 一3 ◆2 三、填空题 12.答案0.92 命题透析本题考查相互独立事件的概率计算. 解析因为P(A)=0.8,P(B)=0.6,且A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.6=0.48,所以 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.6-0.48=0.92. 13.答案（填120也对） 命题透析本题考查空间向量夹角的计算， 解析由已知得lal=√22+12+(-2)2=3，(a+c)·c=a·c+c2=a·c+4=1,所以a·c=-3,cos(a,c〉= 8治3号分所以a.e(填120也对. a·c 14答案公 14 命题透析本题考查利用空间向量求点到直线的距离、求三角形面积的最小值 解析以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 42 C E B D C y B 由棱长为2，得B(2,2,0),D,(0,0,2),E(2,1,2),F(1,2,0).由P为线段BD,上的动点，可设B=tBD(tE [0,1]),又BD=(-2,-2,2),得BP=(-2t,-2t,2),所以点P的坐标为P(2-2t,2-2t,2t).△PEF的面积 可表示为Sr=方·EFd,其中EF为定值，d为点P到直线EF的距离，因此△PEF的面积最小等价于d最 一4 小因为4=1s成，=11√个-心录，=_.，序-(-1,1，-2，成： 1E2 (-26,1-26,21-2),所以1E12=(-1)2+12+(-2)2=6,1E212=（-2)2+(1-2)2+(26-2)2=122- 12+5,3.=-2·(-1)+(1-2)1+(24-2)·(-2)=5-4,,2-5-42 1E12 6 1-含0+25，所以4=√22-12+5-6-0+五 /562-32t+ 6 6 6 ,因为f)=石(56f-3+5)= 四、解答题 15.命题透析本题考查频数分布表和古典概型的概率计算. 解析（1)各组区间的中点值依次为25,35,45,55,65， 则样本平均数为元=25×4+35×6+45X18+5×14+65×8=48.2(分)， 50 因此估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为48.2分钟. …（4分) (2)学习时长不足40分钟的学生分布在[20,30)和[30,40)两组，频数分别为4和6，总人数为4+6=10. 按分层随机抽样抽取5人，抽样比为品=之， …（5分） 因此，从[20,30)组抽取4×7=2人，从[30,40)组抽取6×分=3人…（(7分) 记[20,30)组抽取的2人分别为a,b,[30,40)组抽取的3人分别为c,d,e. 从5人中随机抽取2人，试验的样本空间为2={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),（c,d), (c,e),（d,)},共10个样本点.…（10分) “抽取的2人恰好来自同一学习时长区间”的基本事件={(a,b),(c,d),(c,e),(d,e)},共4个样本点。 …（12分) 故所求概率P=0-号… 42 …(13分) 16.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析(1)由题意知P元=花-市-+元-=b+之a-c=之a+b-c.…(5分) (2)因为M为PB的中点，所以成=2（市+）=之(a+c). …（6分） 由(1)知4花=b+2a 因为P=APi,所以A-A=A(A-A),则Ad=入Ad+(1-入)A=b+(1-A)c.…(8分) 因为A,M,N,C四点共面，所以存在实数x,y满足A市=xA+yA心， 一5 即b+(1-Ac=受(a+c)+(0+之，整理得b+(1-Ac=生a+b+受c,…(1分) x+y=0, 2 因为a,b,c不共面，所以{入=y, 解得入=y=2,x=-2.… (13分) 1-A=受， 当A=2时，P咏=2Pi,则点N在PD的延长线上且PN=2PD.…(15分) 17.命题透析本题考查线面垂直的证明和空间向量的应用. 解析如图，连接AC,交BD于点O.以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x,y轴，过点O且平行于AA1的 直线为z轴，建立空间直角坐标系。 由AB=2,∠BAD=60°，得0A=5,0B=1,又AA1=6,所以A(5,0,0),B(0,1,0),C(-5,0,0),D(0,-1, 0A(50,6),c(-5.06),01,} …（3分) （(1)d-(-51,）4t=(-250,-6.… (5分) 设异面直线AE与A,C所成的角为0， A应.AC 6-6 则cos0= IAEIIA CI 11 √3+1+×2+6 即异面直线AE与A,C所成角的余弦值为 11 …（7分） (2)因为A1t=(-25,0,-6),DC=(-5,1,6),Di=(0,2,0),…(9分) 所以AC.DC=(-25,0,-6)·(-5,1,6)=(-25)×(-5)+0+(-6)×5=0, A.Di=(-2F,0,-6)…(0,2,0)=0,…（13分) 所以AC⊥DC1,A,C⊥DB, 一 6 又DB∩DC1=D,DB,DC1C平面BDC1,所以A,C⊥平面BDC1.…（15分) 18.命题透析本题考查空间向量的应用. 解析(1)由题意知O,O1分别是AB,AB,的中点，连接OB1,OP,如图. 因为P是BC的中点，所以OP∥AC,又ACC平面AAC,OP￠平面AAC,所以OP∥平面A,AC.·（1分) 由圆台的性质可知，A1B1∥AB,且A1B,=4,A0=4,所以A,B1∥A0,且A,B,=A0,所以四边形A1AOB1是平行 四边形，所以AA1∥OB,,又AA,C平面AAC,OB,丈平面A,AC,所以OB1∥平面A1AC.·（3分) 又OB1∩OP=0,OB1,OPC平面OPB1,所以平面OPB1∥平面A1AC, 又B,PC平面OPB1,所以B1P∥平面A1AC.… …（5分)） (2)如图，以0为坐标原点，过点0且垂直于直线AB的直线为x轴，OB,O01所在直线分别为y,z轴建立空间 直角坐标系，由题意知001=25，则0(0,0,0)，A(0,-4,0),B(0,4,0),C(25,-2,0),B,(0,2,2√3) …（7分）》 所以AB=(0,6,25),A元=(23,2,0). rn·AB=0,r6y+25z=0, 设平面AB,C的法向量为n=(x,y,z),则 即以 n.A元=0,25x+2y=0, 令x=1,得y=-5,z=3,即平面AB,C的一个法向量为n=(1,-√5,3).…(9分) 因为应=(0,8,0)，所以点B到平面AB,C的距离d=.mL_10x1+8x(-)+0x318型 √12+(-5)2+32 131 即点B到平面AB,C的距离为8 13 （11分） (3)由(2)知平面AB,C的一个法向量为n=(1,-√5,3). 易得AA=0B=(0,2,25). rm·Ad=0,25a+2b=0, 设平面A,AC的法向量为m=(a,b,c),则 即 m·Ad=02b+25c=0, 令a=1,得b=-√3，c=1,故平面A1AC的一个法向量为m=(1,-√5,1).…（14分) 设平面A,AC与平面AB,C的夹角为0， 一7 则cos8sm:n川=号 11×1+(-5)×(-5)+1×3 1=16 √12+(-5)2+12×√12+(-5)2+32 65 故平面A,AC与平面AB,C夹角的余弦值为7⑤ （17分) 65 19.命题透析本题考查新定义及利用空间向量解决线面角、二面角问题. 解析(1)由折叠的不变性，折叠前CD⊥AB,故折叠后有CD⊥SD,CD⊥BD, 因为SD∩BD=D,且SD,BDC平面SBD,所以CD⊥平面SBD, 又SBC平面SBD,所以CD⊥SB.… (2分) 因为SC⊥BD,CD⊥BD,且SC∩CD=C,SC,CDC平面SCD,得BD⊥平面SCD, 又SDC平面SCD,所以BD⊥SD.…(3分)》 又CD⊥SD,BD∩CD=D,BD,CDC平面BCD,所以SD⊥平面BCD, 又BCC平面BCD,所以SD⊥BC. 综上，三组对棱两两垂直，故四面体S-BCD为对垂四面体.…（(5分) (2)由(1)知DB,DC,DS两两互相垂直.以D为坐标原点，DB,DC,DS所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,1),所以Ci=(0,-2,0),S8=(2,0,-1),SC=(0,2,-1) rn·S2=0,r2x-z=0, 设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),则 即 n.St=0,l2y-z=0, 令z=2,得x=1,y=1,故n=(1,1,2).…(8分) 设直线CD与平面SBC所成的角为a,则sin&=n·C 。1-21 一=6 1nl1Ci1√1+1+4×26， 故直线CD与平面SBC所成角的正弦值为 6 …(10分) 0 B (3器=A得P0+器=A,得（子0，士 所以亦-(0，++)成=（子0,4 (12分) 8 rt.D=0,2y+z=0, 设平面DPQ的法向量为t=(x,y,z),则 即 t.D0=0,2x+z=0, 令y=1,得x=入2，z=-2入，故t=（入2,1，-2入).…（14分) 易知平面DBC的一个法向量为m=(0,0,1). 锐二面角0满足cos0=:m=I-2AL 2入 1tm√+1+4XF√+4λ2+1 2 分子分母同除以入（入>0），得cos0= R+京+4 由基本不络式，得+京2√公·京=2，当且仅当=京即入1时取等号 因此，cos0≤乙=号，即入=1时，os9取得最大值6 31 …（17分） 一9