精品解析：辽宁省大连市第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

大连市第一中学2025-2026学年度上学期高一期末考试 数学试卷 命题人：大连市第一中学 贾天雷 校对人：大连市第一中学 高志岩 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名等信息填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每一小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，答卷时间120分钟. 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合， 集合，所以. 故选：A. 2. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断. 【详解】解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得答案. 【详解】命题的否定为：. 故选：C 4. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数和二次函数的单调性求解即可. 【详解】令，因为函数是单调递减的， 所以要求的单调递减区间，即求的单调递增区间. 要使函数有意义，则，即， 解得，所以的定义域为. 而，的单调递增区间为， 结合定义域，可得在上单调递增. 即的单调递减区间为， 故选：C. 5. 某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（ ） A. 至少有名女生 B. 至少两名男生 C. 至多一名女生 D. 全是男生 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥与对立事件的概念直接判断即可. 【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误； B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误； C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件， ，C选项错误； D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念， 又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确； 故选：D. 6. 已知幂函数在上单调递减，设，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据幂函数的性质和单调性求出值，然后判断幂函数的奇偶性，然后根据指数函数和对数函数的性质比较的大小，进而根据函数的单调性得出结果. 【详解】因为幂函数，所以， 解得或. 当时，；当时，； 由于幂函数在上单调递减， 所以，所以，定义域为， 由于，所以为偶函数，所以在上单调递增， 因为， 根据单调性可知，而选项ACD与此结论矛盾，故ACD错误. 故选：B. 7. 已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：D 8. 已知函数，若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定是在的奇函数，在上单调递增，通过去，分参求最值即可求解. 【详解】 由解析式可知：在上单调递增， ，由解析式可知，其在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以是在的奇函数，且在的单调递增， 所以即 ，所以， ，所以在的恒成立， 所以令 当 即，等号成立，所以， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分的分数，有选错的或不选得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若是平面向量的一组基底，则也能作为平面向量的一组基底 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，4 D. 数据14，15，26，21，17，19，30的70%分位数是17 【答案】AB 【解析】 【分析】根据基底的条件、向量相等的条件、极差方差的定义和公式、百分位数的公式逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量， 所以，不一定有成立， 而，一定有， 所以是的必要不充分条件，A正确； 对于B，因为是平面向量的一组基底，所以不共线， 若共线，则存在实数满足， 则有，无解，所以不共线， 所以是作为平面向量的一组基底，B正确； 对于C，因为数据的极差为6，方差为2，根据极差和方差的定义， 数据的极差为， 方差为，所以C错误； 对于D，数据14，15，26，21，17，19，30从小到大排序为14，15，17，19，21，26，30. 而，所以这组数据的70%分位数为第5项数据21，D错误. 故选：AB. 10. 给出下列结论，其中正确的结论有（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据对称中心的定义求解判断即可；对于B，根据对数型复合函数的单调性求解即可；对于C，根据抽象函数的定义域和对数运算计算即可；对于D，根据已知条件列出不等式，结合二次函数的性质计算即可. 【详解】对于A：因为， 所以函数的图象关于点成中心对称，A正确； 对于B：因为函数（且）在上是减函数，为减函数， 所以为增函数，所以，且. 所以，而，所以. 所以实数的取值范围是，B正确； 对于C：因为的定义域为，所以， 所以，所以的定义域为. 要求的定义域，则，解得， 所以的定义域为，C错误； 对于D：因为函数的值域为， 所以内函数的值域必须包含， 当时，的值域为，符合题意. 当时，为开口向上的抛物线，其值域为， 若要包含，则其最小值需满足，解得. 当时，为开口向下的抛物线，值域不包含，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是，D正确. 故选：ABD. 11. 已知定义在实数集上的函数满足，且对任意实数都有，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 函数在上单调递增 D. 若不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法可求出的值判断A；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B；利用函数单调性的定义判断C；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可判断D. 【详解】因为定义在实数集上的函数满足， 对于A，令可得，解得， 所以，正确； 对于B，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，错误； 对于C，任取、且，则，可得， 所以， 故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，错误； 对于D，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则， 可得或，解得或， 因此不等式的解集为，正确. 故选：AD 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上. 12. 函数且过定点________． 【答案】 【解析】 【分析】由（且）可得答案. 【详解】由（且）知，当时，， 故函数（且）过定点. 故答案为： 13. 在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：. 14. 函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②∃区间使在上的值域是那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可得单调递增，由“和谐函数”的定义可得有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，令，则有两个不相等的正实数根，结合韦达定理求解即可. 【详解】由题意，因为 是“和谐函数”， 当时，单调递减，单调递减， 所以单调递增； 当时，单调递增，单调递增， 所以单调递增； 综上，在其定义域内为增函数，且在上的值域是， 所以， 所以有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 令，则， 所以有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 即 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，. （1）若，且，求和的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量运算的坐标公式列出等式和方程组，求解即可. （2）先根据求出值，然后根据向量的模公式求出结果即可. 【小问1详解】 因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. 【小问2详解】 因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 16. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. （1）求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率. 【答案】（1），A餐厅满意指数的中位数为6.5 （2）A餐厅满意指数的平均数更高 （3） 样本空间为 概率为 【解析】 【分析】（1）根据频率的定义和频率分布直方图求解计算出的值，然后根据中位数的定义和公式计算即可. （2）根据两个餐厅的频率分布直方图和平均数的定义公式进行计算比较即可. （3）先求出分层抽样比，然后确定每组的抽样人数，进而可求得样本空间和概率. 【小问1详解】 因为餐厅的满意指数在内的学生有15人，样本量为50人， 所以满意指数在内的频率为，所以. 根据频率分布直方图可以得到，，解得. 餐厅每组的频率为： ：；：， ：，：. 前两组累计频率为，前三组累计频率为. 所以中位数落在内，设中位数为， 则，解得. 所以餐厅满意指数的中位数为6.5. 【小问2详解】 餐厅满意指数的平均数为. 餐厅满意指数的平均数为. 因为，所以餐厅满意指数的平均数更高. 【小问3详解】 因为B餐厅打分结果在，，的频率为， 所以分层抽样比为，由于分层抽样共抽取6人， 所以B餐厅打分结果在，，的人数分别为人，分别记为： ，，， 从这6人中，随机抽取2人进行访谈，所以样本空间为这2人来自相同组的概率为. 17. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； （2）若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据互斥事件和独立事件的概率公式列方程组求参数即可；②利用互斥事件和独立事件的概率公式求出甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意可知在第一轮比赛中甲，乙两人都失败的概率， 所以在第一轮比赛中，甲，乙至少有一人胜出的概率. 【小问2详解】 ①记事件为甲在第轮胜出，事件为乙在第轮胜出，， 由题意相互独立，且，，，， 若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为， 则 ， ， 整理得， 所以， 将代入得，解得或， 当时；当时，不满足， 综上，； ②甲没有两轮都胜出的概率， 乙没有两轮都胜出的概率， 所以甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率， 所以至少有一人两轮都胜出的概率为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点. （1）求的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数求出，根据指数函数经过的点坐标求出，进而得到函数的解析式. （2）先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递减，然后结合奇函数的性质将原不等式进行化简得到，然后构造新函数，判断新函数的单调性和范围，进行求得新函数的最大值，从而得到结果. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得. 因为指数函数的图像过点，所以， 因为，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，当时， 由于，所以，. 所以，所以在上单调递减， 又为奇函数，所以在上单调递减. 将变形得， 根据函数的单调性可得恒成立， 因为，所以，所以不等式化简得. 令，则. 因为，所以根据基本不等式的性质可得. 当且仅当时，即时等号成立. 令，所以，设， 则， 所以在上单调递减， 所以当时，取最大值为，即的最大值为. 所以要使得不等式恒成立，则，此时的最小值为. 19. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求函数解析式； （2）当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值； （3）已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性分类讨论进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）利用换元法，结合对数函数的单调性、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 由题意可得：， 此时区间为； 当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； 【小问2详解】 令，因为，所以， 所以， 所以，， ， 所以当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； 【小问3详解】 令， 方程， 因为关于的方程的两个实根满足， 所以， 即 所以关于的方程的两个实根满足， 设， 要想关于的方程的两个实根满足， 只需， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第一中学2025-2026学年度上学期高一期末考试 数学试卷 命题人：大连市第一中学 贾天雷 校对人：大连市第一中学 高志岩 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名等信息填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每一小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，答卷时间120分钟. 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A. B. C. D. 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（ ） A. 至少有名女生 B. 至少两名男生 C. 至多一名女生 D. 全是男生 6. 已知幂函数在上单调递减，设，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 8. 已知函数，若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分的分数，有选错的或不选得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若是平面向量的一组基底，则也能作为平面向量的一组基底 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，4 D. 数据14，15，26，21，17，19，30的70%分位数是17 10. 给出下列结论，其中正确的结论有（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 11. 已知定义在实数集上的函数满足，且对任意实数都有，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 函数在上单调递增 D. 若不等式的解集为 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上. 12. 函数且过定点________． 13. 在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 14. 函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②∃区间使在上的值域是那么就称为“和谐函数”，若函数是“和谐函数”，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，. （1）若，且，求和的值； （2）若，求的值. 16. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. （1）求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率. 17. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； （2）若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点. （1）求的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值. 19. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求函数解析式； （2）当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值； （3）已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $