第七章 三角函数 单元测试卷（提升版）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

三角函数单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用半圆的面积公式，扇形的面积公式与三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题意可知，所以是等边三角形， 所以，, 所以扇形的面积为，的面积为， 又半圆的面积为， 所以图中阴影部分的面积为. 故选：B. 2．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的知识可得，，，由函数是定义在上的偶函数，则，又由函数在上是增函数，即可求解. 【详解】根据题意， ，， 又由函数是定义在上的偶函数，则， 则有，又由函数在上是增函数， 故，即. 故选：A． 3．已知θ是第一象限角， ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数关系直接求解即可. 【详解】由， 则， 因为θ是第一象限角，所以，且， 所以. 故选：A. 4．已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意，将函数在上恰有两个不同的零点转化为函数与在上恰有两个不同的交点，考查函数的单调性和端点、极值，作出函数的图象，推得，进而得到，求得，结合余弦函数的单调性求得的取值范围即可. 【详解】由，可得， 因在上恰有两个不同的零点， 即函数与在上恰有两个不同的交点， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 作出两函数的图象，可得.    由图可知，， 可得，故. 故选：C． 5．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 6．已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 【答案】D 【分析】由得，结合诱导公式，利用同角三角函数的平方和关系及商数关系即可求解. 【详解】由得， 故 . 故选：D 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（   ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】A 【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断A，再根据函数值得出自变量判断B，再根据周期计算判断C，计算函数值判断D. 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知点P第一次到达最高点需用时秒，B错误； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：A 8．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的周期性和奇偶性，将转换为，再代入已知解析式求解． 【详解】函数是偶函数， 又是最小正周期为的周期函数， ， 当时，， ，故D正确． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，根据基本不等式可判断D. 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（    ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 【答案】BD 【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数，以及扇形的弧长和面积公式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】对于A，由点，可知， 扇形的面积，故A错误； 对于B，经过1s，点转过了2rad，所以点的坐标为，故B正确； 对于C，经过1s，点在的终边上，点在2rad的终边上， 所以扇形的弧长为，故C错误； 对于D，要使得点第二次重合，则点走过的弧长减去点走过的弧长等于， 设经过了，则，解得，故D正确． 故选：BD． 11．若函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在定义域内有个零点 【答案】ACD 【分析】对AB直接用定义判断可得，对于C则根据函数的奇偶性只需考虑的值域，再根据和分两种情况讨论，进而可得函数的值域，对于D直接将函数的零点转化为函数与函数图象交点的个数，并结合图象可得结果. 【详解】对于A：函数的定义域为， 因为， 所以是R上的偶函数，故A正确； 对于B：当时，， 当，即，时，， 当，即，时，. 因为在时，函数值的变化规律在不同区间不同，且是偶函数，如图： 所以不存在非零常数，使得对于任意都成立， 所以不是周期函数，故B错误； 对于C：由B可知，当时，， 当，即， 时，，此时. 当，即， 时，，此时. 又是偶函数，其图象关于轴对称， 所以的值域为,故C正确； 对于D：函数的定义域为， 则的零点个数即方程的根的个数， 即函数与函数图象交点的个数， 因为是偶函数，且也是偶函数， 所以只需考虑时方程的根的个数． 当时，， 在同一直角坐标系内画出，的简图如下： 由图象可知，当时，函数与函数有个交点， 即方程有个实数根， 根据偶函数的对称性，当时方程也有个实数根， 综上：在定义域内有个零点，故D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 . 【答案】2 【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案． 【详解】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得． 故答案为：2 13．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 【答案】/ 【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】直角三角形中较小的内角为，斜边为1， 则直角三角形的两条直角边分别为， 所以小正方形的边长为，即， 也即，可得， 因， 因为锐角，则. 故答案为：. 14． ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简即得. 【详解】. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求函数的最值及其相应的值． 【答案】(1) (2) (3)时，函数有最大值，时，函数有最小值 【分析】（1）通过正弦型函数的周期公式，求函数的最小正周期. （2）利用整体思想，结合正弦函数图象求函数的单调增区间. （3）结合正弦函数的性质求函数在给定区间上的最值以及相应的值. 【详解】（1）函数的最小正周期； （2）由，， 得， 所以函数的单调递增区间为； （3），，， 当，即时，函数有最大值， 当时，即时，函数有最小值 16．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，得到函数的图象，求不等式的解集． 【答案】(1)，对称中心为； (2). 【分析】（1）先确定振幅，再利用图象中“相邻零点/顶点间的距离”与周期的关系，求出周期与角频率，代入函数解析式，结合的取值范围，解出，最后利用正弦函数的对称中心性质解出，得到对称中心坐标； （2）先遵循“横坐标伸缩（的系数变化）→ 平移（‘左加右减’作用于）”的顺序，逐步变换得到的解析式，再化简三角不等式，最后结合正弦函数的图象与周期性，求出解集即可. 【详解】（1）由图象可知振幅， 因为相邻零点到的距离为， 故，得周期， 由，得， 代入最高点到，得： ，所以，则， 结合，得， 因此，， 因为正弦函数的对称中心为， 令，解得， 故对称中心为. （2）因为横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则变为， 再向右平移个单位，则， 因为，即，解得， 故解集为. 17．已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 【答案】(1) (2)最小正周期为，最小值为，取最小值时x的取值集合为. (3) 【分析】（1）根据方程进行求解，结合三角函数的取值范围确定角度； （2）根据正弦函数的图象性质求解即得； （3）将存在性不等式问题转化为函数最值问题，求出函数最值，进而求出m的取值集合. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以或，， 解得或，， 又，所以. （2）最小正周期. 由可得，当时，函数取得最小值， 此时，，即，. 故函数的最小值为，且取最小值时x的取值集合为. （3），使不等式能成立，即（）. 因为，所以，因函数在上单调递减， 故，即， 则的最大值为. 因此，解得. 所以实数m的取值集合为. 18．已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在上的值域是，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）由，求解即可； （3）由，得到 ，再结合正弦函数性质即可求解. 【详解】（1）因为的图象关于直线对称，所以，， 解得，. 因为，所以. （2）由（1）得. 由，，得，， 所以的单调递增区间为，. （3）由，可得. 因为的值域是，所以， 解得.故m的取值范围是. 19．已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）; (2)若对恒成立，求的最大值； (3)设函数，若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增 (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数定义可求的值，利用单调性法则可判定单调性； （2）利用奇函数的性质与单调性的性质可把不等式转化为恒成立，然后分离变量，利用三角函数求函数的最值可得答案； （3）把问题转化为，然后换元，分别求两个函数的最值即可. 【详解】（1）因为为上的奇函数， 所以，即 ， 由于 ，故 ， 此时 易知 在 上递增，可得 在 上递减，故 在 上递增. （2）由 为 上的奇函数且递增，原不等式化为： 因此 设 ，当 时， 故 ，当 时取得. 由 恒成立，得 ，所以 的最大值为 . （3）化简 ： 令 ，由 得 ，则 此二次函数开口向下，在 处取最大值，最小值在端点 或 处，计算得： 故 ； 而 在 上递增，最大值为 ， 条件 使 成立，等价于 ， 即： 因此实数 的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知θ是第一象限角， ，则（     ） A． B． C． D． 4．已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 5．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 6．已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（   ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 8．定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 10．如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则下列结论正确的是（    ） A．在起始位置，扇形的面积为 B．经过，点的坐标为 C．经过，扇形的弧长为 D．经过，点在单位圆上第二次重合 11．若函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在定义域内有个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 . 13．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则 ． 14． ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求函数的最值及其相应的值． 16．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，得到函数的图象，求不等式的解集． 17．已知函数. (1)若，且，求的值； (2)求函数的最小正周期和最小值并写出取最小值时自变量x的取值集合； (3)若，使不等式能成立，求实数m的取值集合. 18．已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在上的值域是，求m的取值范围. 19．已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）; (2)若对恒成立，求的最大值； (3)设函数，若，，使得成立，求实数的取值范围. 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $