精品解析：海南省省直辖县级行政单位陵水黎族自治县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末学业质量监测九年级数学学科试卷 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若二次根式，则的值是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在中，平行于，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ） A. 出现点数为0是随机事件 B. 出现点数为6的概率是 C. 出现点数为2是必然事件 D. 出现点数为1是不可能事件 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上点处；点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上点处．若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为________． 16. 如图，正方形的边长为6，为边中点，为边上一点，连接，，相交于点．若，则的值为________，的长为________． 三、解答题（共72分） 17 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 在不透明的口袋中装有一个白色、一个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球试验，下表是本次试验的一些数据： 摸球次数 15 80 180 600 1000 摸到白球次数 5 21 39 250 摸到白球的频率 （1）表格中_____，_____． （2）试估计摸到白球的概率及黄色乒乓球的个数． （3）求连续摸球两次（不放回）结果是一红一黄的概率． 20. 如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． 21. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图三点共线，水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度； （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离． 22. 在正方形中，点分别是边上的动点，且． （1）如图1，把绕点顺时针旋转得到，使与重合，三点在同一直线上．求证：． （2）如图2，在矩形中，已知，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末学业质量监测九年级数学学科试卷 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若二次根式，则的值是（ ） A 2 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用算术平方根解方程，根据的算术平方根是即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：A． 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数），逐一判断各选项；熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键． 【详解】解：最简二次根式需满足：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数， A、被开方数含分母，不是最简二次根式； B、的被开方数9是完全平方数，不是最简二次根式； C、，被开方数3不含分母且不能开尽，是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式， 故选C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质是解决问题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的性质化简对D进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，所以此选项不符合题意； B．与不能合并，所以此选项不符合题意； C．，所以此选项不符合题意； D．，所以此选项符合题意． 故选：D． 4. 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 5. 已知为方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．直接利用一元二次方程的根与系数的关系：，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程中，二次项系数，常数项， ∴， 故选：D． 6. 已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设较小的偶数为x，根据“相邻的两个偶数之积为360”作为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x， 由题意得，． 故选：D． 7. 如图，在中，平行于，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 8. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的余弦函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 【详解】解：在中， 则   故选：A ． 9. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ） A. 出现点数为0是随机事件 B. 出现点数为6的概率是 C. 出现点数为2是必然事件 D. 出现点数为1是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类和简单事件的概率． 根据骰子的点数只有1到6，且质地均匀，每个点数出现的概率均为，结合事件类型（随机事件、必然事件、不可能事件）判断选项． 【详解】解：∵骰子的点数只有1到6，没有0， ∴出现点数为0是不可能事件，故A错误． ∵骰子质地均匀， ∴出现点数为6的概率是，故B正确． ∵出现点数为2可能发生也可能不发生， ∴出现点数为2是随机事件，不是必然事件，故C错误． ∵骰子有点数1， ∴出现点数为1是随机事件，不是不可能事件，故D错误． 故选：B． 10. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴ ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴ 即小孔到的距离为， 故选：A． 11. 在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则， ∵点， ∴，，， ∴， 故选：C． 12. 如图，在矩形中，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上点处；点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上点处．若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明出． 先证明，则由可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质． 先明确一元二次方程一般形式的根的判别式为；根据方程有两个相等实数根得出，再确定题目方程中、、的值，代入判别式公式求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数为1，一次项系数为，常数项为a， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ， 即，，解得． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，轴且，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解坐标与长度的关系． 过点作轴的垂线，交轴于点，分别求出、的长度即可． 【详解】解：是等边三角形，， 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点， ． 根据等边三角形的性质， ，， 由于轴， 则轴 轴， ， 则， 根据所对直角边等于斜边的一半， 可知， 根据勾股定理，有， 故点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为6，为边中点，为边上一点，连接，，相交于点．若，则的值为________，的长为________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先根据题意可知，，，在中，利用勾股定理解得的值，然后根据求解即可；过点作交于，首先利用平行线分线段成比例定理解得的值，进而可得的值，然后根据，即可求得的长． 【详解】解：∵正方形的边长为6，为边中点， ∴，，，， ∴中，， ∴； 如下图，过点作交于， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算乘法，最后算加减法即可； （2）先计算零指数幂、特殊的三角函数值、算术平方根和绝对值，再计算加减法即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是关键． （1）将原式分解因式可得，，解方程即可； （2）将原式分解因式可得，，解方程即可． 【小问1详解】 解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：； 【小问2详解】 解：， 分解因式得，， 可得或， 解得： 19. 在不透明的口袋中装有一个白色、一个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球试验，下表是本次试验的一些数据： 摸球的次数 15 80 180 600 1000 摸到白球的次数 5 21 39 250 摸到白球的频率 （1）表格中_____，_____． （2）试估计摸到白球的概率及黄色乒乓球的个数． （3）求连续摸球两次（不放回）结果是一红一黄的概率． 【答案】（1），； （2）摸到白球的概率是；黄色乒乓球有2个； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，用频率估计概率，求频数. （1）根据总数乘以频率等于频数，再根据频数除以总数得出频率估计概率； （2）先求出球的总数，再分别减去白球和红球的个数即可； （3）列表得出所有可能出现的结果和符合条件的结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：摸到白球的概率是， ，． 所以摸到白球的概率是，黄色乒乓球有2个； 【小问3详解】 解： 第一次 第二次 白 红 黄1 黄2 白 （白，红） （白，黄1） （白，黄2） 红 （红，白） （红，黄1） （红，黄2） 黄1 （黄1，白） （黄1，红） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，白） （黄2，红） （黄2，黄1） 一共有12种可能出现的结果，一红一黄有4种，所以连续摸球两次（不放回）结果是一红一黄的概率是． 20. 如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，则，，即可证明结论成立； （2）利用菱形的性质得，，得，由，即得，由相似三角形性质和，得，得，由，得，由，即得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 由对称性知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度； （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离． 【答案】（1）的长度约为 （2）点到台面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）在中，利用余弦函数的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦函数的定义求的长度，据此求解即可． 小问1详解】 解：由题意得，在中，，， ∵， ∴． ∴的长度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． ∴点到台面的距离约为． 22. 在正方形中，点分别是边上的动点，且． （1）如图1，把绕点顺时针旋转得到，使与重合，三点在同一直线上．求证：． （2）如图2，在矩形中，已知，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质以及旋转的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； ②根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （3）由平移的性质可得，．由，设，，勾股定理可得，根据的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明： 是绕点顺时针旋转得到的， ，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ，D，G三点共线． ，， ， ， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 解：①， ． 在矩形中，，， ， ， ， ． ， ． ②，， ． 设，则， ， ． 【小问3详解】 解：由平移的性质可得，． 点为的中点， 垂直平分， ． ， 设，， ， ． ， ， 解得， ． ，设， ． 在中，， 解得或（舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $