精品解析：河北省冀州中学2025-2026学年高三上学期第四次月考（1月）数学试题

2025—2026学年上学期月四考试 高三年级数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 满足，其中为虚数单位，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算求出 ，再根据复数的几何意义可得该复数对应的点即可得到答案. 【详解】因为，所以， 则其对应点的坐标为，位于第二象限， 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知充分性满足，由，取特值找到反例说明必要性不满足，从而得到结论. 【详解】当时，成立，故充分性满足，当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列性质与基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由等差数列性质可得，又、， 则 ， 当且仅当即、时等号成立； 故的最小值为. 故选：B. 4. 已知直线，，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，列出a满足的方程以及不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知直线，， 故且， 解得， 故选：B 5. 若不等式的解集是，则 的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，符合题意，当时，结合二次函数开口和判别式即可得到不等式组，解出即可. 【详解】当，即时， 原不等式可化为恒成立， 满足不等式解集为， 当，即时， 若不等式的解集是， 则，解得：； 综上所述， 的取值范围为． 故选：A 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的余弦公式和辅助角公式得到，由倍角公式和诱导公式得到. 【详解】， 所以，， ， 故选：D. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 8. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（ ） A. 1 B. 27 C. 28 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解. 【详解】存在最大值，所以数列的公差 ， 由，且，，所以数列是首项， 的等差数列， ，则， ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为. 故选：B 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 该函数的解析式为 C. 将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D. 当时，函数的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得，结合三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得 且， 可得，则，所以， 又由，即， 因为，所以，所以，所以B不正确； 又由，所以A正确； 将函数的图象向右平移个单位得到， 可得，可得为奇函数， 即将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，所以C正确； 当时，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以当时，函数的值域为，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别是，上顶点为，点M在C上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的方程为 B. 的取值范围为 C. 若，则 D. 的最大面积为2 【答案】AC 【解析】 【分析】代入数量积的运算公式求椭圆方程，即可判断A，根据椭圆焦半径的最值，判断B，根据椭圆的定义，结合余弦定理判断C，根据点位于上下端点时，最大且为锐角，计算三角形面积即可判断D. 【详解】A：设，，，， ，得 ，由可知，， 所以椭圆的方程为， A正确； B：的最大值为，最小值为， 所以的取值范围为，故B错误； C：因为， 由余弦定理，， 因,则，故C正确； D：当位于上下顶点时，此时取得最大，根据对称性取上顶点计算， 因为，则，则 此时的面积最大，为,故D错误. 故选：AC 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的极大值点是3 C. 的值域为 D. 当时，函数有1个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用奇函数性质求解判断；对B，利用导数判断单调性结合极值点的定义和函数的对称性判断；对C，由函数的单调性和极值画出函数的图象判断；对D，函数的零点即方程的根的个数，数形结合得解. 【详解】对于A，当时，则 ，， 又，则，故A正确； 对于B，当时，，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以在处取得极大值， 由奇函数图象的对称性可知在上递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故B正确； 对于C，由B，画出函数的图象如下： 所以的值域为，故C错误； 对于D，函数的零点即方程的根的个数， 当时，由上面图象可得函数有1个零点，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题“”的否定是__________， 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题知： 命题“”的否定是“”. 故答案为：. 13. 双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，则__________， 【答案】 【解析】 【分析】由点在渐近线上可求得，再根据双曲线的性质计算值即可. 【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得， 记坐标原点为，则，即． 因为，所以，解得 ，则. 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先证明，，两两垂直且长度均为，再将该三棱锥放置于正方体当中即可. 【详解】取线段的中点 ，分别连接，因为为等边三角形， 则，所以，因为，且，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又因为的中点为 ，则垂直平分，因为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，因为，则， 所以，又因为，平面，，所以平面， 则易知，，两两垂直且长度均为， 所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设外接球的半径为 ，则. 故答案为：3. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 . （1）证明：； （2）若 ，，求的面积. 【答案】（1）证明如下： 由 及正弦定理得 ， 所以 ， 又，所以， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求证； （2）由（1）求得，结合同角三角函数关系和三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ，， ， 所以，又 ，所以， 所以的面积. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，， ，，，点M满足． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点A到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接．由线段成比例得到线线平行，然后得到线面平行； （2）由空间中三条线两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得两个平面的法向量，由法向量的数量积求得面面角； （3）由（2）中结论求向量在平面法向量上的投影长，从而得到点到面的距离. 【小问1详解】 如图，连接，交于点，连接． 因为， ，则，故 ． 又，所以． 因为平面， 平面，所以平面． 【小问2详解】 ∵平面，平面，平面， ∴， ， 又∵， ，∴ 故以为原点，分别以直线，，为轴，轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系 ， 则，，，，， 于是，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 因， 而，则， 所以平面与平面的夹角为， 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 故点到平面的距离为． 17. 已知数列满足. （1）求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求 的取值范围. 【答案】（1）由 . 则数列 是以 为首项，2为公差的等差数列， 则 ， 所以数列 的通项公式为； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用构造法，即可得等差数列递推关系，从而可求得通项公式； （2）①利用错位相减法，即可求和； ②利用分离参变量法，再利用递推关系求解数列中的最大项，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）得， 则. 于是， 上两式相减得： ， 所以. ②由，得 .令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第 项取得最大值. 由，即 解得 ， 即数列的最大值为，所以， 即 的取值范围是 . 18. 已知圆，直线过点. （1）若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）或. （2）或. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线的截距式方程计算即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算求出直线的斜率，即可求解； （3）易知直线的斜率存在.设：，，.联立圆的方程，根据韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算即可证明. 【小问1详解】 当直线经过原点时，直线的方程为； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则解得所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 圆的标准方程为，其圆心为，半径为1. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 因为直线与圆交于，两点，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，，. 由得， 则，. 由，得. 因为 ， 即为定值. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； （3）设 为非负实数， 为正实数，若，证明：． 【答案】（1）当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2） （3）不妨设， 当 时，左边，右边，所以左边 右边， 当时，左边，右边，所以左边=右边， 当 时， 因为s，t为正实数，，所以， 要证，即证，即证， 即证， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递增， 因为 ，所以， 所以，所以，即， 综上可知， 【解析】 【分析】（1）求导，通过和讨论函数单调性，即可求解； （2）设切点为，求的切线方程，代入，问题转换成方程有三个根，构造函数，则有3个零点，进而求解即可； （3）不妨设，通过 或时，或 ，三种情况分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，所以在上单调递增，所以无极值； 当时，令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以的极大值为， 综上可知，当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 设切点为，因为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得， 因为曲线有三条过点的切线， 所以关于的方程有3个解， 令，则有3个零点， 因为， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得 ，所以在上单调递减， 所以，可得， 所以 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期月四考试 高三年级数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数 满足，其中为虚数单位，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 6 4. 已知直线，，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或2 5. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的二面角的棱上有两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 9 8. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，则取得最小正值时为（ ） A. 1 B. 27 C. 28 D. 29 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 该函数的解析式为 C. 将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 D. 当时，函数的值域为 10. 已知椭圆的左､右焦点分别是，上顶点为，点M在C上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的方程为 B. 的取值范围为 C. 若，则 D. 的最大面积为2 11. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 的极大值点是3 C. 的值域为 D. 当时，函数有1个零点 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题“”的否定是__________， 13. 双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，则__________， 14. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 . （1）证明：； （2）若 ，，求的面积. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，， ，，，点M满足． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点A到平面的距离． 17. 已知数列满足. （1）求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 18. 已知圆，直线过点. （1）若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； （3）设 为非负实数， 为正实数，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $