精品解析：辽宁省锦州市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025～2026学年度第一学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 集合的子集有7个 B. C. 中的元素个数为7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集个数公式计算后可判断A的正误，求出集合后求出后可判断BCD的正误. 【详解】对于A，集合的子集有个，故A错误； 对于B，,故，故， 不是中的元素，故不成立，故B错误； 对于C，由B的分析可得中的元素个数为，故C错误； 对于D，由B的分析可得，故D正确. 故选：D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示可得，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】已知，，若， 则，解得或， 因为“”不一定能得出“”，但“”一定能得出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将特称命题否定为全称命题即可 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C 4. 某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛.两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论正确的是（ ） A. 甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差大 B. 甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数高 C. 甲班参赛同学得分的平均数为84 D. 乙班参赛同学得分的75%分位数为89 【答案】C 【解析】 【分析】A. 利用极差的定义求解判断； B.利用中位数的定义求解判断； C.利用平均数的定义求解判断； D.利用百分位数的定义求解判断. 【详解】对A，甲班参赛同学得分的极差为， 乙班参赛同学得分的极差为，故A错误； 对B，甲班参赛同学得分的中位数是， 乙班参赛同学得分的中位数是，故错误； 对C，甲班参赛同学得分的平均数为，故正确； 对D，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，， 取第6个与第7个数的平均数为第75百分位数，即为，故错误. 故选：C. 5. 三个数，的大小顺序是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，而，故， 而，故，即， 故， 故选：B. 6. 某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（ ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A. 0.04 B. 0.08 C. 0.12 D. 0.16 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率性质可求等待4分钟才开始办理业务的概率. 【详解】若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 故第三位居民办理业务等待4分钟的概率为. 故选：C. 7. 若函数在区间上的最大值为1，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 8. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，对、分类讨论的符号后可得的符号，从而得，最后结合基本不等式可求的最大值. 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数，利用单调性得出，再由不等式的性质逐一判断即可. 【详解】由，可得，设，可知该函数为增函数，所以，因而，A错误；，B正确；又，所以，C正确；由可得，与已知矛盾，D错误. 故选：BC． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，由其单调性得出的大小关系. 11. 已知，函数则（ ） A. 的值域为 B. 是奇函数 C. 存在，使得在定义域上单调递增 D. 当时，方程有两个实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，求出分段函数的值域，可知值域中不包含0，故A错误；根据奇函数的定义判断可知是奇函数，故B正确；当时， 在和上都是增函数，且，可知C正确；当时，分和两情况分别求解方程可知D正确. 【详解】对于A，因，当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且， 所以的值域为， 若，则，此时的值域不包含0，故A错误； 对于B，当时，， 当时，，所以是奇函数，故B正确； 对于C，当时，由上可知，在和上都是增函数， 且，所以在定义域上单调递增，C正确； 对于D，当时，若，由，可得，即方程在上有1个实根； 若，由，可得，即方程在上也有1个实根， 故当时，方程有两个实根，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可得，结合可得其值，代入检验后可得的值. 【详解】因为幂函数在上是减函数，故， 故，而，故， 当时，，此时幂函数的图象关于轴对称，符合题意； 当时，，此时幂函数的图象不关于轴对称，舍； 故答案为： 13. 在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 【答案】 ①. ##0.7 ②. 14 【解析】 【分析】根据随机事件的概率计算公式计算即可. 【详解】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为， 设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球， 则摸到白球的概率为，解得. 故答案为：；14. 14. 已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先考虑分段函数在每个区间上的单调性和值域，作出函数的图象，根据题意需要找到最大的负数，使得是的充要条件，核心是找到在时的临界值点，结合图象可得的充要条件是，由题意即得的最大值. 【详解】当时，若，则在上单调递减，值域为； 若，则在上单调递增，值域是； 当时，在上单调递增，值域为， 作出函数的图象如下： “” 的充要条件是 “”（ ）， 即若，则；若，则，即是的最小解， 且在上满足，在上满足. 为此，需要找到最大的负数，使得“”是“”的充要条件， 核心是找到在时的临界值点. 因， 由图知，当时，；当时，； 当时，；当时，. 因此的充要条件是，结合条件，可知的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知. （1）若是所在平面内任意一点，试用，表示； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算可得； （2）设，则可用及表示，再利用平面向量基本定理可求. 【小问1详解】 因为所以， 所以，整理得； 【小问2详解】 设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 16. 已知函数，. （1）当的图象位于图象下方时，求满足条件的取值集合. （2）已知集合，设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）的图象位于图象下方即为，移项后转化为高次不等式求解即可； （2）根据条件关系可得两个集合的包含关系，从而可得关于参数的不等式组，求出其解后即得参数的范围. 【小问1详解】 由题意，转化为求的解集， 故即， 即， 由恒成立， 所以原不等式等价于， 即，解得：或， 所以满足条件的取值集合为或； 【小问2详解】 因为，解不等式，可得， 即，所以， 又因为是成立的必要不充分条件，所以为的真子集， 则有或，解得或， 所以实数的取值范围是. 17. 某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到 100 人的得分情况，将样本数据分成 五组，并整理得到如下频率分布直方图;已知成绩的中位数为 75 （1）求 的值，并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替); （2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出 6 人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进行一对一，求抽出的两人恰好来自同一组的概率. 【答案】（1），， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中位数可求得，再由所有频率和为1求得，最后利用频率分布直方图估算平均数可得解； （2）由分层抽样得第四组抽选4人，记为1､2､3､4，第五组抽选2人，记为，用列举法写出任取2人的所有可能情况，分别计数后可计算概率． 【小问1详解】 中位数为 75 ，， ， 又 ， ， 则平均数为：. 【小问2详解】 第四组与第五组人数的比为， 从第四组抽选4人，记为1,2,3,4， 从第五组抽选2人，记为， 所有基本事件为： ， 共15种， 来自同一组的有: ，共7种情况， 故恰好来自同一组的概率. 18. 近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：米3）之间的函数关系为（，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）. （1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系； （2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值. （3）要使不超过140万元，求的取值范围. 【答案】（1）的实际意义是未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；，；（2）该合作社应修建容积为立方米的沼气发电池时，可使最小，且最小值为万元；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据题中函数关系式，可直接得到的实际意义；求出，进而可得关于的函数关系； （2）根据（1）中的函数关系，利用基本不等式，即可求出最小值； （3）将，转化为关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为时的用电费用， 即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费； 由题意可得，，则； 所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为，； （2）由（1）， 当且仅当，即时，等号成立, 即该合作社应修建容积为立方米的沼气发电池时， 可使最小，且最小值为万元； （3）为使不超过140万元，只需， 整理得， 则，解得， 即的取值范围是 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19. 已知函数，，函数. （1）若在上单调递增，在上单调递减，记，求的值； （2）若方程有4个不等实根，，，（），记，求的解析式，并指出其定义域； （3）设函数，，若，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由函数单调性结合二次函数性质可得，代入可得，计算即可求解； （2）由二次函数性质及函数奇偶性可得，且、都大于零，即，根据韦达定理计算可得，根据函数有意义列式计算可得定义域； （3）由题意可得，根据对数型复合函数性质及指数函数性质列不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为在上单调递增在上单调递减， 当时，，易知所以， 又 ，； 【小问2详解】 因为定义域为又，所以为偶函数， 又的零点分别为，，，（） 则必有，且、都大于零. 又时 所以、是方程的两不等正根， 则且，， 所以. 则，因为且所以且 即定义域为； 【小问3详解】 由 ，又，，使得 ， 则， 又在上单调递增，则， 所以，都有，即， 令，则， 从而，则， 又，，在上均为增函数， 则，， 所以，即， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 集合的子集有7个 B. C. 中的元素个数为7 D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛.两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论正确的是（ ） A. 甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差大 B. 甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数高 C. 甲班参赛同学得分的平均数为84 D. 乙班参赛同学得分的75%分位数为89 5. 三个数，的大小顺序是 （ ） A. B. C. D. 6. 某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（ ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A. 0.04 B. 0.08 C. 0.12 D. 0.16 7. 若函数在区间上的最大值为1，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1 8. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（ ） A. B. C. D. 的最小值为 10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，函数则（ ） A. 的值域为 B. 是奇函数 C. 存在，使得在定义域上单调递增 D. 当时，方程有两个实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是______. 13. 在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 14. 已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知. （1）若是所在平面内任意一点，试用，表示； （2）若，，求的值. 16. 已知函数，. （1）当的图象位于图象下方时，求满足条件的取值集合. （2）已知集合，设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到 100 人的得分情况，将样本数据分成 五组，并整理得到如下频率分布直方图;已知成绩的中位数为 75 （1）求 的值，并求出成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替); （2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出 6 人进行垃圾分类知识竞答活动，再从中选出两人进行一对一，求抽出的两人恰好来自同一组的概率. 18. 近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：米3）之间的函数关系为（，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）. （1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系； （2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值. （3）要使不超过140万元，求的取值范围. 19. 已知函数，，函数. （1）若在上单调递增，在上单调递减，记，求的值； （2）若方程有4个不等实根，，，（），记，求的解析式，并指出其定义域； （3）设函数，，若，，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $