精品解析：北京市昌平区2025--2026学年上学期八年级期末数学试卷

昌平区2025-2026学年第一学期初二年级期末质量抽测 数学样卷 本试卷含第一卷、第二卷．第一卷95分，第二卷5分，共100分．考试时长120分钟．本样卷第一卷共8页，第二卷共1页．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一卷 第一卷共27题，共95分．根据题目要求，完成相应任务． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A. B. C. D. 2. 5的算术平方根等于（ ） A. B. C. D. 25 3. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A B. C. D. 5. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. ，，． B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 8，13，17 6. 如图，OA平分，点P在OA上，点B，C分别在OM，ON边上，有如下条件：①，；②；③；④．选取其中一个一定可以得的条件是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 7. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．：出现点数为偶数的可能性；：出现点数为1的可能性；：出现点数不大于4的可能性，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 当____________时，分式的值为零． 10. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 11. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 12. 如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 13. 约分：__________． 14. 已知．若为整数且，则的值为___________． 15. 如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形（如图2），那么该大正方形的边长为______． 16. 如图，在中，，CD平分，过点B作，垂足为点D，连接AD，若，则的面积为__________． 三、解答题（本题共63分，第17-18题，第22-23题，每小题6分，第19-21题，第24-25题，每小题5分，第26-27题，每小题7分） 17. 计算： （1）； （2） 18 计算： （1）； （2） 19. 小乐同学化简的过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 （1）小乐同学化简过程中从第__________步开始出现错误． （2）请你书写正确的化简过程和结果． 20. 解分式方程： 21. 请将式子：化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求解． 22. 如图，边长为1的正方形网格中，网格线的交点称为格点． （1）有一个以格点为顶点的三角形，请你在图1，图2，图3中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． （2）如图4，以格点为顶点的，请你计算__________，__________，并在图4中画出一个与全等的三角形（不与重合）． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 24. 京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 25. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 26. 如图，等边中，D，E分别在上，，交于点P． （1）求证：： （2）直接写出的度数，__________°； （3）连接，若，用等式表示和的数量关系，并证明． 27. 甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． （1）分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； （2）谁先到达终点？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2025-2026学年第一学期初二年级期末质量抽测 数学样卷 本试卷含第一卷、第二卷．第一卷95分，第二卷5分，共100分．考试时长120分钟．本样卷第一卷共8页，第二卷共1页．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一卷 第一卷共27题，共95分．根据题目要求，完成相应任务． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 5的算术平方根等于（ ） A. B. C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，熟悉算术平方根定义是解决问题的关键． 根据算术平方根定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：5的算术平方根等于， 故选：B． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义得条件，解题的关键是熟知分母不等于零． 根据题意分式有意义，得到，再解不等式即可． 【详解】解：分式有意义 则， 解得． 故选：B． 4. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的性质． 将x和y分别替换为和，计算各分式的值，看是否与原始值相等． 【详解】解：对于A：替换后，A的值改变； 对于B：替换后，B的值改变； 对于C：替换后，C的值改变； 对于D：替换后，与原始值相等，D的值保持不变； 故选：D． 5. 以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ） A. ，，． B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 8，13，17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，掌握运用勾股定理逆定理判定直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则不能组成直角三角形，不符合题意； B．由则2，3，4不能组成直角三角形，不符合题意； C．由，则5，12，13能组成直角三角形，符合题意； D．由，则8，13，17不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，OA平分，点P在OA上，点B，C分别在OM，ON边上，有如下条件：①，；②；③；④．选取其中一个一定可以得的条件是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由平分，点在上，于点于点，可证明，可判断①符合题意；若，由，根据“”证明，可判断②符合题意；若，由，根据“”证明，可判断③符合题意，无法证明④符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：①∵平分，点在上，于点于点， ， ∵， ∴； 故①符合题意； ②∵平分，点分别在边上， ， 在和中， ， ， 故②符合题意； 在和中， ， ， 故③符合题意， ④当，，无法证明，故④不符合题意； 故选：D． 7. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．：出现点数为偶数的可能性；：出现点数为1的可能性；：出现点数不大于4的可能性，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率的意义和计算，是解题的关键．  骰子六个面出现向上的机会相同，求出骰子向上一面的点数为偶数有几种情况，向上一面的点数为1有几种情况，向上一面的点数不大于4有几种情况； 接下来直接应用等可能事件概率公式求解即可．通过计算每个事件的概率并比较大小即可得出答案． 【详解】∵ 骰子质地均匀，每个点数出现的概率均为， 表示点数为偶数，偶数点有2、4、6共3个， ∴， 表示点数为1，只有1个点， ∴， 表示点数不大于4，有1、2、3、4共4个点， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8. 如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 当____________时，分式的值为零． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键． 当，且时，分式的值为零． 【详解】解：∵的值为零， ∴，且， ∴， 故答案为：5． 10. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于0求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 11. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 12. 如图，在正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 约分：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的约分，关键是找出公因式然后运用分式的基本性质进行化简． 根据分式的基本性质约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 已知．若为整数且，则的值为___________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 由已知条件的提示可得，即，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，n为整数， ∴． 故答案为：45． 15. 如图1，把两个面积都为的小正方形分别沿对角线（虚线）剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形（如图2），那么该大正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根定义是解题的关键． 由题意得到大正方形的面积为6，再根据正方形的面积计算方法，求出正方形面积的算术平方根即可求解， 【详解】解：由题意可得，大正方形的面积为， ∴该大正方形的边长为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，CD平分，过点B作，垂足为点D，连接AD，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵在中， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共63分，第17-18题，第22-23题，每小题6分，第19-21题，第24-25题，每小题5分，第26-27题，每小题7分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算； （2）分别求立方根，化简二次根式，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，二次根式的乘法运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 小乐同学化简的过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 （1）小乐同学化简过程中从第__________步开始出现错误． （2）请你书写正确的化简过程和结果． 【答案】（1）三； （2）过程见解析，． 【解析】 【分析】本题考查分式加减运算． （1）错误出现在第三步，去括号时符号错误； （2）根据分式的加减运算法则计算即可，注意符号变化和约分． 【小问1详解】 解：错误出现在第三步，去括号时符号错误； 故答案为：三； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解． 21. 请将式子：化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求解． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键. 先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可. 【详解】解：原式 ． 依题意，且且， ∴当时，原式． 22. 如图，边长为1的的正方形网格中，网格线的交点称为格点． （1）有一个以格点为顶点的三角形，请你在图1，图2，图3中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． （2）如图4，以格点为顶点的，请你计算__________，__________，并在图4中画出一个与全等的三角形（不与重合）． 【答案】（1）见解析 （2），，作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点． （1）利用网格结合轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可； （2）根据勾股定理即可求解，然后根据勾股定理逆定理以及等腰三角形的判定与性质求解度数，根据可作与全等． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∴， ∴， 如图4，即为所求． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； 【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的判定得出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， ， 又， ∴， ，， ， 即． 24. 京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 【答案】人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车；根据通过1200辆车时通道比人工收费通道少用3小时，列出方程求解． 【详解】解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车 由题意， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则 答：人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车． 25. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 26. 如图，在等边中，D，E分别在上，，交于点P． （1）求证：： （2）直接写出的度数，__________°； （3）连接，若，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，即可证明； （2）根据三角形全等的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到； （3）在上截取，证明，则，求出，则，即可结论成立． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 ，证明如下： 在上截取， 由（2）可知， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． （1）分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； （2）谁先到达终点？并说明理由． 【答案】（1）， （2）时，两人同时到；时，乙先到． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质以及化简，熟练掌握分式的性质及化简，利用作差法比较大小是解决本题的关键． （1）根据题意，甲利用时间等于路程除以速度，分别计算两段路程所需的时间再相加，乙先求出平均速度，再计算时间即可； （2）将两人所需的时间作差，化简后讨论差的正负即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得： 甲所需的时间为： 乙所需的时间为： 【小问2详解】 解：∵ ∵ ∴当时，，两人同时到； 当时，，，即，则乙先到． 答：时，两人同时到；时，乙先到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $