第十章 分式（单元测试·基础卷）数学北京版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十章 分式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）下列有理式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）下列分式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·北京昌平·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 5．（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）已知，表示整式，则是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·北京·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 8．（24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2025·北京房山·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 10．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 11．（24-25八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式的值为正，则x的取值范围是 ． 12．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 13．（24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 14．（24-25八年级上·北京昌平·期末）在跨学科主题学习中，同学们需要完成制作乐器的任务．小明了解到三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法，包含“三分损一”和“三分益一”两层含义．“三分损一”是指将原有长度作3等分而减去其中1份；“三分益一”则是指将原有长度作3等分而增添其中1份．我们可以利用三分损益法制作含有宫、商、角、徵、羽五个音调的乐器，以基本音“宫”的管长a为标准，经“三分损一”得“徵”，徵管“三分益一”得“商”，商管“三分损一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”．若a为18，则商管的管长为 ；小明用长度为b的发声管制作了若干个微管，小红用长度为c的发声管制作了同样数量的角管，则的值为 ． 15．（23-24八年级上·北京海淀·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上要求的形式：＝ ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 16．（22-23七年级下·北京·期末）如果a，b，c是正数，且满足，，则的值为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京石景山·期中）计算： (1). (2). 18．（5分）（2025·北京朝阳·二模）已知，求代数式的值． 19．（6分）（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 20．（6分）（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，在某路口的斑马线路段横穿双向机动车道，其中段长6米，比段少1米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.4倍，求小明通过时的速度． 21．（6分）（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 22．（8分）（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 23．（8分）（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 24．（8分）（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·开学考试）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 26．（10分）（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十章 分式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）下列有理式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 、的分母中含有字母，因此是分式，共2个． 故选：B． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）下列分式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意； B、，故此选项计算正确，不符合题意； C、，故此选项计算错误，符合题意； D、，故此选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·北京昌平·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：将分式中的x，y都扩大10倍，得 ∴分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变， 故选：D． 5．（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）已知，表示整式，则是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的减法运算法则计算即可，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题意列出代数式是解题的关键． 设工作量为1，则甲的效率为，乙的效率为，依题意列出代数式即可求解． 【详解】解：设工作量为1，则甲的效率为，乙的效率为， 甲、乙合作，需要天能完成这项工程， 故选：A． 7．（23-24八年级上·北京·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 8．（24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2025·北京房山·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故答案为：． 10．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解分式方程，直接根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为一得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式的值为正，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且； 故答案为：且． 12．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的化简求值，根据，得到，将代数式化简后，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ； 故答案为：1． 13．（24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 14．（24-25八年级上·北京昌平·期末）在跨学科主题学习中，同学们需要完成制作乐器的任务．小明了解到三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法，包含“三分损一”和“三分益一”两层含义．“三分损一”是指将原有长度作3等分而减去其中1份；“三分益一”则是指将原有长度作3等分而增添其中1份．我们可以利用三分损益法制作含有宫、商、角、徵、羽五个音调的乐器，以基本音“宫”的管长a为标准，经“三分损一”得“徵”，徵管“三分益一”得“商”，商管“三分损一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”．若a为18，则商管的管长为 ；小明用长度为b的发声管制作了若干个微管，小红用长度为c的发声管制作了同样数量的角管，则的值为 ． 【答案】 16 /0.84375 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．根据题意可得商管的管长为，再把代入计算即可；根据题意分别求出b、c，进而可得答案． 【详解】解：根据题意得，商管的管长为， 当时，， 根据题意，得 ， ， ∴． 故答案为：16，． 15．（23-24八年级上·北京海淀·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上要求的形式：＝ ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 【答案】 ； 2或6 【分析】 本题考查分式的加减及分式的性质，结合已知条件将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）利用分式的加减法则及分式的性质进行变形即可； （2）将原式变形后根据题意确定符合题意的a的值即可． 【详解】 （1）解：原式 ， 故答案为：； （2）原式， ， ， ∴或5， 解得：或6 故答案为：2或6 16．（22-23七年级下·北京·期末）如果a，b，c是正数，且满足，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的化简求值，把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴原式． 故答案为：5． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京石景山·期中）计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式加法，同分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答． （2）先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（5分）（2025·北京朝阳·二模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 19．（6分）（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，0，1，2中，只有符合题意， 当时，原式． 20．（6分）（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，在某路口的斑马线路段横穿双向机动车道，其中段长6米，比段少1米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.4倍，求小明通过时的速度． 【答案】1米/秒 【分析】本题考查分式方程的应用．设小明通过时的速度为x米/秒，则通过时的速度为米/秒．根据“小明共用11秒通过”列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设小明通过时的速度为x米/秒，则通过时的速度为米/秒． 依题意： 解得： 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：小明通过时的速度为1米/秒． 21．（6分）（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 22．（8分）（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 23．（8分）（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 【答案】(1)与F是“合分式”，理由见解析，3 (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 将两式相加并计算即可； 将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可． 【详解】（1）解：与F是“合分式”，理由如下： ， 则E与F关于C的“合值”为3； （2）解： ， 与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， 24．（8分）（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·开学考试）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)，，； (2)该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元 (3)这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价； （3）设这个班订购本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，； （2）解：据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）解：设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元． 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 26．（10分）（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十章 分式·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C D A A A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．/ 11．且 12．1 13．3 14．16 /0.84375 15．； 2或6 16．5 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式加法，同分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答． （2）先通分，再根据同分母分式加法法则进行计算，化简，即可作答． 【详解】（1）解： ；································2分 （2）解： ．······························5分 18．（5分） 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再代入求值即可． 【详解】解： ，······························2分 ， ， 原式．······························5分 19．（6分） 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ，······························3分 ∵， ∴，0，1，2中，只有符合题意， 当时，原式．······························6分 20．（6分） 【答案】1米/秒 【分析】本题考查分式方程的应用．设小明通过时的速度为x米/秒，则通过时的速度为米/秒．根据“小明共用11秒通过”列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设小明通过时的速度为x米/秒，则通过时的速度为米/秒． 依题意： 解得：······························4分 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义．······························6分 答：小明通过时的速度为1米/秒． 21．（6分） 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B······························3分 （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴······························6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，；······························2分 （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，；······························4分 （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解．······························8分 23．（8分） 【答案】(1)与F是“合分式”，理由见解析，3 (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 将两式相加并计算即可； 将两式相加并计算，根据M与N关于C的“合值”为1求得a的值即可． 【详解】（1）解：与F是“合分式”，理由如下： ， 则E与F关于C的“合值”为3；······························4分 （2）解： ， 与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， ······························8分 24．（8分） 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：；······························2分 （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解；······························4分 （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数．······························8分 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 25．（10分） 【答案】(1)，，； (2)该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元 (3)这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价； （3）设这个班订购本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，；······························3分 （2）解：据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，······························6分 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）解：设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元．······························10分 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 26．（10分） 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④；······························2分 （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为；······························4分 ②解：，则，， ∴；······························6分 ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4；······························10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十章 分式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）下列有理式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·北京海淀·期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）下列分式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·北京昌平·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 5．（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）已知，表示整式，则是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·北京·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 8．（24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2025·北京房山·二模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 10．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 11．（24-25八年级上·北京昌平·阶段练习）若分式的值为正，则x的取值范围是 ． 12．（2025·北京海淀·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 13．（24-25八年级上·北京朝阳·阶段练习）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 14．（24-25八年级上·北京昌平·期末）在跨学科主题学习中，同学们需要完成制作乐器的任务．小明了解到三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法，包含“三分损一”和“三分益一”两层含义．“三分损一”是指将原有长度作3等分而减去其中1份；“三分益一”则是指将原有长度作3等分而增添其中1份．我们可以利用三分损益法制作含有宫、商、角、徵、羽五个音调的乐器，以基本音“宫”的管长a为标准，经“三分损一”得“徵”，徵管“三分益一”得“商”，商管“三分损一”得“羽”，羽管“三分益一”得“角”．若a为18，则商管的管长为 ；小明用长度为b的发声管制作了若干个微管，小红用长度为c的发声管制作了同样数量的角管，则的值为 ． 15．（23-24八年级上·北京海淀·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上要求的形式：＝ ； （2）若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 ． 16．（22-23七年级下·北京·期末）如果a，b，c是正数，且满足，，则的值为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京石景山·期中）计算： (1). (2). 18．（5分）（2025·北京朝阳·二模）已知，求代数式的值． 19．（6分）（24-25八年级上·北京海淀·阶段练习）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 20．（6分）（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，在某路口的斑马线路段横穿双向机动车道，其中段长6米，比段少1米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.4倍，求小明通过时的速度． 21．（6分）（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 22．（8分）（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 23．（8分）（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为 解决下列问题： (1)已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； (2)已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值. 24．（8分）（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·开学考试）为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 26．（10分）（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$