专题04不等式与不等式组题型突破讲义(1)(题型精析+题型突破+寒假预习)2025-2026学年新教材北师大版八年级数学下册

专题04不等式与不等式组题型突破讲义(1) 一、 预习重点 1.识别不等关键词（至少、至多等），会列不等式 2.掌握不等式 3 条基本性质，重点关注性质 3 3.牢记一元一次不等式判定三要素：1 个未知数、次数 1、两边是整式 4.掌握解一元一次不等式的五步步骤（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化 1） 5.会用数轴表示解集：含等号实心点、不含等号空心圈，大于向右、小于向左 二、 预习难点 1.应用性质 3 时，乘除负数忘记改变不等号方向 2.解不等式步骤中，去分母、系数化 1 的变号易错；移项漏变号 3.数轴表示解集，混淆空心圈和实心点，或方向画反 4.处理含字母系数的不等式时，不会判断字母正负来确定不等号方向 预习必备 知识点梳理 1.不等式及其相关概念 2.不等式的基本性质 3.一元一次不等式的相关概念 4.解一元一次不等式的步骤 5.重点易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.不等式的定义与核心概念 2.不等式解集的概念与内涵 3.不等式的性质与推导 4.一元一次不等式的定义与判定 5.一元一次不等式解集求法 6.不等式解集的数轴表示方法 7.一元一次不等式整数解求法 8.一元一次不等式的建模与列写 9.一元一次不等式的实际应用问题 10.一元一次不等式的几何应用问题 【知识点01.不等式及其相关概念】 不等关系的识别 现实场景：长度、重量、速度、价格、几何图形边长 / 面积的比较与限制。 关键词：大于（>）、小于（<）、不大于（≤）、不小于（≥）、超过、不足、至少、至多。 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个整式所成的式子，叫做不等式。 示例：3x−2>5、y+1≤0； 注意：单独的数或字母不是不等式。 【知识点02.不等式的基本性质】 性质 1（加减变形） 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 符号表示：若a>b，则a±c>b±c。 性质 2（乘除正数变形） 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 符号表示：若a>b且c>0，则ac>bc、。 性质 3（乘除负数变形，核心易错点） 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 符号表示：若a>b且c<0，则ac<bc、。 与等式性质的异同 相同点：加减同一个数（或式子），等式和不等式的 “等式 / 不等号方向” 均不变。 不同点：乘除负数时，等式仍成立，不等式需改变不等号方向。 【知识点03.一元一次不等式的相关概念】 1.定义 只含一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0（a0）。 判定示例：2x−3>7是；x2+1>5、+2<3不是。 2.解与解集 不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值。 不等式的解集：使不等式成立的所有解的集合。 示例：2x−3>5的一个解是x=5，解集是x>4。 3. 不等式解集的数轴表示方法 画数轴前提数轴需包含原点、正方向、单位长度三要素。确定不等式对应方程的解，作为数轴上的界点。 【知识点04.解一元一次不等式的步骤】 1.去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，乘负数时改变不等号方向。 2.去括号：遵循去括号法则，注意符号变化。 3.移项：含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号。 4.合并同类项：化成ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b）的形式。 5.系数化为 1：两边同除以a，a>0时不等号方向不变；a<0时方向改变。 【知识点05.重点&易错点总结】 重点 1.根据实际问题列不等式。 2.运用不等式性质对不等式变形。 3.一元一次不等式的判定、解集的数轴表示、解法步骤。 易错点 【题型1.不等式的定义与核心概念】 1．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．贵阳某日最高气温是，最低气温是，则贵阳当日气温（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 3．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 4．小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 5．已知直线和直线相交于点，且当时，总有成立，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2.不等式解集的概念与内涵】 6．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 7.下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 8．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以40岁的人最佳燃脂心率p的范围为 ．（包括最高值和最低值） 9．如图，在平面直角坐标系中，若点在直线 与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的取值范围是 ． 10．化简： ． 11．已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为 解答题 12．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若，则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”．. (1)在①；②；③中，是“可乘方程”的是 ； (2)若方程是关于x，y的“可乘方程”，求的值； (3)若是关于x，y的“可乘方程组”，且，直接写出的取值范围． 【题型3.不等式的性质与推导】 13．如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．已知有理数a、b，的差比a大，但比b小，则下列说法中正确的是（    ） A．a是正数，b是正数 B．a是正数，b是负数 C．a是负数，b是正数 D．a是负数，b是负数 15．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 16．关于，的方程组，用含的式子表示 ，若，令，则的取值范围是 ． 17．任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为 ． 18．若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【题型4.一元一次不等式的定义与判定】 19．已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 20．一包盐标注的重量是克，允许误差是克，那么实际克重满足的不等式是(   ) A． B． C． D． 21．已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 【题型5.一元一次不等式解集求法】 22．不等式的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 23．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 25．在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是 ． 26．已知a满足，则的值为 ． 解答题 27．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 【题型6.不等式解集的数轴表示方法】 28．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 29．把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 30．若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 31．不等式2x﹣a＜1的解集如图所示，则a的值是 ． 【题型7.一元一次不等式整数解求法】 32．已知a为负整数，点在第二象限，则 ． 33．已知点，下列关于结论1,2判断正确的是（   ） 结论1：当时，点到轴的距离为2； 结论2：若点在轴的上方，且到轴的距离不大于，则这样的整数共有7个 A．结论1,2都对 B．结论1对，结论2错 C．结论1错，结论2对 D．结论1，2都错 34．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ． 35．若x，y为任意正数，已知，进行如下操作：在A，B，C，D中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选A，B作差并求其绝对值，即．则下列说法中： ①所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；②若，存在两个整数y，使得所有操作结果的和为52；③若，x，y均为整数，且满足，则的值为842或389或368；正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 解答题 36．（1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：． （2）若（1）中的不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【题型8.一元一次不等式的建模与列写】 37．第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 38．年道州龙船赛期间，为满足停车需要，组委会要求施工方将观礼台附近的空地平整为临时停车位，完成平整时间是小时内．开始的半小时，由于天气原因，只平整了．若施工方在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 39．将正实数“四舍五入”，精确到个位的值记为，如：，，．若，则正实数x的取值范围是 ． 40．对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ． 解答题 41．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示： 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 450 600 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式； (2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式． 【题型9.一元一次不等式的实际应用问题】 42．某通信运营商推出两种话费收费方案．方案一：套餐及固定费36元，本地通话费0.1元/min．方案二：不收套餐及固定费，本地通话费0.6元．若张老师选择方案一比方案二优惠，则他一个月的通话时间可能为（    ） A． B． C． D． 43．如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽 盒． 45．“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元． 解答题 46．为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【题型10.一元一次不等式的几何应用问题】 47．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 48．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是 ．    49．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 50．如图，、分别是的高，M为的中点，，，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 解答题 51．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04不等式与不等式组题型突破讲义(1) 一、 预习重点 1.识别不等关键词（至少、至多等），会列不等式 2.掌握不等式 3 条基本性质，重点关注性质 3 3.牢记一元一次不等式判定三要素：1 个未知数、次数 1、两边是整式 4.掌握解一元一次不等式的五步步骤（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化 1） 5.会用数轴表示解集：含等号实心点、不含等号空心圈，大于向右、小于向左 二、 预习难点 1.应用性质 3 时，乘除负数忘记改变不等号方向 2.解不等式步骤中，去分母、系数化 1 的变号易错；移项漏变号 3.数轴表示解集，混淆空心圈和实心点，或方向画反 4.处理含字母系数的不等式时，不会判断字母正负来确定不等号方向 预习必备 知识点梳理 1.不等式及其相关概念 2.不等式的基本性质 3.一元一次不等式的相关概念 4.解一元一次不等式的步骤 5.重点易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.不等式的定义与核心概念 2.不等式解集的概念与内涵 3.不等式的性质与推导 4.一元一次不等式的定义与判定 5.一元一次不等式解集求法 6.不等式解集的数轴表示方法 7.一元一次不等式整数解求法 8.一元一次不等式的建模与列写 9.一元一次不等式的实际应用问题 10.一元一次不等式的几何应用问题 【知识点01.不等式及其相关概念】 不等关系的识别 现实场景：长度、重量、速度、价格、几何图形边长 / 面积的比较与限制。 关键词：大于（>）、小于（<）、不大于（≤）、不小于（≥）、超过、不足、至少、至多。 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接两个整式所成的式子，叫做不等式。 示例：3x−2>5、y+1≤0； 注意：单独的数或字母不是不等式。 【知识点02.不等式的基本性质】 性质 1（加减变形） 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。 符号表示：若a>b，则a±c>b±c。 性质 2（乘除正数变形） 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 符号表示：若a>b且c>0，则ac>bc、。 性质 3（乘除负数变形，核心易错点） 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 符号表示：若a>b且c<0，则ac<bc、。 与等式性质的异同 相同点：加减同一个数（或式子），等式和不等式的 “等式 / 不等号方向” 均不变。 不同点：乘除负数时，等式仍成立，不等式需改变不等号方向。 【知识点03.一元一次不等式的相关概念】 1.定义 只含一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0（a0）。 判定示例：2x−3>7是；x2+1>5、+2<3不是。 2.解与解集 不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值。 不等式的解集：使不等式成立的所有解的集合。 示例：2x−3>5的一个解是x=5，解集是x>4 3. 不等式解集的数轴表示方法 画数轴前提数轴需包含原点、正方向、单位长度三要素。确定不等式对应方程的解，作为数轴上的界点。 【知识点04.解一元一次不等式的步骤】 1.去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，乘负数时改变不等号方向。 2.去括号：遵循去括号法则，注意符号变化。 3.移项：含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号。 4.合并同类项：化成ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b）的形式。 5.系数化为 1：两边同除以a，a>0时不等号方向不变；a<0时方向改变。 【知识点05.重点&易错点总结】 重点 1.根据实际问题列不等式。 2.运用不等式性质对不等式变形。 3.一元一次不等式的判定、解集的数轴表示、解法步骤。 易错点 1.应用性质 3 时，乘除负数忘记改变不等号方向。 2.数轴表示解集时，混淆空心圆圈和实心圆点的用法。 3.解不等式移项时忘记变号；去分母时漏乘不含分母的项。 4.判定一元一次不等式时，忽略 “未知数次数为 1”“两边都是整式” 的条件。 【题型1.不等式的定义与核心概念】 1．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 2．贵阳某日最高气温是，最低气温是，则贵阳当日气温（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用不等式表示实际问题，解题的关键是理解题意． 根据题意，将其转化为数学式子表示即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，气温介于最低和最高温度之间，包含临界温度， ∴， 故选：A． 3．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 4．小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【答案】 15 7 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 5．已知直线和直线相交于点，且当时，总有成立，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，比较一次函数值的大小，解题关键是掌握根据两条直线的交点求不等式的解集的方法． 先将点的坐标代入，求出的值，再将点的坐标代入，求得，从而可得，再当时，得到不等式，求得不等式的解集即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 即， ， 当时， ， 整理得， 不等式的解集为， ， 解得：． 故选：C． 【题型2.不等式解集的概念与内涵】 6．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 7.下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 8．研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以40岁的人最佳燃脂心率p的范围为 ．（包括最高值和最低值） 【答案】 【分析】根据定义，代入求值，用不等式形式解答即可． 本题考查了求代数式的值，不等式的应用，熟练掌握求值，和不等式的应用是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得，当年龄为40时， 最佳燃脂心率最高值为，最低值为． 故． 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，若点在直线 与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】先根据点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，可知点在直线的下方，即当时，，再将代入，从而得出，即．本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，根据点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，得到点在直线的下方是解题的关键． 【详解】解：点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部， 点在直线的下方，即当时，， 又当时，， ， ． 故答案为：． 10．化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质化简，再去绝对值，进行加减计算． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ， 故答案为：0． 11．已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围． 首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：设， 则，，， ，，均为非负实数， ， 解得， 于是， ， 即． 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 解答题 12．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若，则称这个方程为“可乘方程”，由两个“可乘方程”组成的方程组称为“可乘方程组”．. (1)在①；②；③中，是“可乘方程”的是 ； (2)若方程是关于x，y的“可乘方程”，求的值； (3)若是关于x，y的“可乘方程组”，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，解不等式． （1）根据“可乘方程”的定义逐一判断即可； （2）根据“可乘方程”的定义建立关于t的一元一次方程求解即可； （3）先根据“可乘方程组”，得到，求出，再根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：①， ，则①不是“可乘方程”， ②，即， ，则②是“可乘方程”， ③， ，则③是“可乘方程”， 则是“可乘方程”的是②③， 故答案为：②③； （2）解：∵方程是关于x，y的“可乘方程”，即方程是关于x，y的“可乘方程”， ∴，即， 解得：； （3）解：∵是关于x，y的“可乘方程组”， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 【题型3.不等式的性质与推导】 13．如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误，不符合题意； B、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合题意； C、如果，则，不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符合题意； D、如果，则，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意； 故选：C． 14．已知有理数a、b，的差比a大，但比b小，则下列说法中正确的是（    ） A．a是正数，b是正数 B．a是正数，b是负数 C．a是负数，b是正数 D．a是负数，b是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的判定，不等式的性质，根据条件的差比a大，但比b小，列出不等式 和 ，通过代数推导得出a和b的符号均为负． 【详解】解：∵， ∴，即； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴，即． 因此，a和b均为负数， 故选：D． 15．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．根据已知得出，推出，求出，两边都除以2即可得出答案． 【详解】解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：B． 16．关于，的方程组，用含的式子表示 ，若，令，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到即关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围． 【详解】解：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 两边同时除以，得到， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 的取值范围是． 故答案为：，． 17．任意实数，表示不超过的最大整数．例如：，．若，，则所有可能的值为 ． 【答案】6或7 【分析】本题考查了新定义运算，由新定义得，，结合不等式的基本性质及新定义，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 或； 故答案为：6或7． 18．若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解：，， ∴， 解得：， 而， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ， ∴t的取值范围是：． 故答案为：． 【题型4.一元一次不等式的定义与判定】 19．已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故选：A． 20．一包盐标注的重量是克，允许误差是克，那么实际克重满足的不等式是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，结合题意，可得的范围，即可求解． 【详解】解：依题意实际克重满足的不等式是： 故选：D． 21．已知是关于x的一元一次不等式，那么 ，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的概念以及一元一次不等式的求解．根据题意可知，求得值，然后代入不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 将代入得：， 解得， 故答案为：，． 【题型5.一元一次不等式解集求法】 22．不等式的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．先解不等式，再在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 解得：， 在数轴上表示为：． 故选：B． 23．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 24．若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的综合应用，熟练掌握不等式的解集与方程的解的关系是解题的关键．先根据不等式的解集确定的符号，再利用边界点求出的值，最后代入方程求解． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴ 当时，，即， ∴ ， ∴ ． 又∵ 方程， 代入，得， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 25．在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先比较点、的横坐标大小，再结合的条件，利用一次函数的增减性确定系数的符号，进而求出k的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴． 已知、在直线上，且，说明当增大时，减小． ∴． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是通过横坐标与函数值的变化关系，确定一次函数斜率的符号，进而求解参数的范围． 26．已知a满足，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】根据算术平方根的非负性可得，进而得到，则可求出 本题考查了算术平方根的非负性，解一元一次不等式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：有意义， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 解答题 27．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)，图形见解析 (4)，图形见解析 【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、不等式的性质、数轴表示解集．解题关键：正确应用不等式性质，规范完成去分母、移项等步骤．易错点：除以负数时不等号未变号，去分母时漏乘常数项，数轴表示空心/实心圆点混淆． （1）对不含分母/括号的不等式：通过移项合并同类项，再系数化为1（注意负数变向）． （2）含括号的不等式：先去括号，再重复上述步骤． （3）含分母的不等式：先去分母（乘最小公倍数），再去括号、移项、系数化为1． （4）最后根据解集在数轴上标注（空心圆点对应“>”“<”，实心圆点对应“≥”“≤”）． 【详解】（1） 解集在数轴上表示如下： （2） 解集在数轴上表示如下： （3） 解集在数轴上表示如下： （4） 解集在数轴上表示如下： 【题型6.不等式解集的数轴表示方法】 28．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为 ． 故选：C 29．把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式及数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质，解不等式，在数轴上表示不等式的解集，应从表示2的点向右画，并且不包含2的点，即表示2的点画空心圆圈，即可解答． 【详解】解： ， 在数轴上表示为： 故选：C． 30．若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 【答案】 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，理解数轴上不等式的解集，解一元一次方程式关键． 根据数轴上的解集得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵数轴上不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为： ． 31．不等式2x﹣a＜1的解集如图所示，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】先解不等式2x﹣a＜1可得x＜，再根据数轴可得x＜1，进而得到＝1，最后解方程即可． 【详解】解：∵2x﹣a＜1， ∴x＜， ∵x＜1， ∴＝1， 解得：a＝1， 故填1． 【点睛】本题主要考查了解不等式和在数轴上表示不等式的解集，正确解出不等式的解集成为解答本题的关键． 【题型7.一元一次不等式整数解求法】 32．已知a为负整数，点在第二象限，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了象限内坐标的特征，不等式的求解等知识点，解题的关键是掌握象限内坐标特征． 根据象限坐标特征得出，然后解不等式即可． 【详解】解：由点在第二象限得， ， 解得， ∵a为负整数， ∴， 故答案为：． 33．已知点，下列关于结论1,2判断正确的是（   ） 结论1：当时，点到轴的距离为2； 结论2：若点在轴的上方，且到轴的距离不大于，则这样的整数共有7个 A．结论1,2都对 B．结论1对，结论2错 C．结论1错，结论2对 D．结论1，2都错 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征、求不等式的解集，熟悉掌握点的特征是解题的关键． 分别验证结论1和结论2的正确性，结论1通过代入计算判断，结论2需结合点坐标的条件解不等式，确定整数解的个数即可． 【详解】结论1： 当时，点的坐标为，到轴的距离为纵坐标的绝对值，故结论1错误； 结论2： ∵点在轴上方，即纵坐标， ∴， ∵到轴的距离不大于，即横坐标的绝对值， ∴， 解得：， 结合，可得：， ∴整数的取值可为：，，，，，，共个，故结论2正确； 综上，结论1错误，结论2正确， 故选C． 34．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，把方程组中两个方程相减得到，再由题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足， ∴， ∴， ∴满足题意的最小整数a是． 故答案为：． 35．若x，y为任意正数，已知，进行如下操作：在A，B，C，D中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选A，B作差并求其绝对值，即．则下列说法中： ①所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；②若，存在两个整数y，使得所有操作结果的和为52；③若，x，y均为整数，且满足，则的值为842或389或368；正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简、代数式的运算及整数解的探究，解题的关键是先列出所有操作结果，再结合条件逐一分析各说法的正确性． 先列出A、B、C、D两两作差的绝对值结果；对于①，观察结果中是否存在比值为常数的两个代数式；对于②，当时，代入结果并化简和式，结合整数y的取值判断是否存在满足和为的情况；对于③，明确M、N的表达式，结合方程及整数x、y的条件，求出可能的M、N值，进而判断的可能值． 【详解】解：根据题意可得，，，，，，， ∴，为常数，故①正确； 当时，，，， ，，， ∴所有操作结果的和为： ， 分情况讨论： 当时，， 当时，， 当时，， 令，得（非整数）， ∴无整数y满足所有操作结果的和为52，故②错误； ∵，且， ∴， ∴，即， ∴， ∵为正数且均为整数， ∴必为4的倍数且， ∴或5或9， 当时，，代入得, ∴， 当时，，代入得， ∴， 当时，，代入得， ∴， ∴的值为842或389或386，故③错误． 综上，正确结论为①，共1个． 故选：B． 解答题 36．（1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：． （2）若（1）中的不等式的最大整数解是方程的解，求的值． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式和一元一次方程的一般步骤． （1）按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成，求出不等式的解集，并表示在数轴上； （2）根据（1）中不等式的解集，求出它的最大整数解，再代入，得关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 解集在数轴上表示为： （2）（1）中不等式的解集为， 不等式的最大整数解为， 把代入方程得： ， ， ． 【题型8.一元一次不等式的建模与列写】 37．第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为 ∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于， ∴， 故选：B． 38．年道州龙船赛期间，为满足停车需要，组委会要求施工方将观礼台附近的空地平整为临时停车位，完成平整时间是小时内．开始的半小时，由于天气原因，只平整了．若施工方在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设施工方在剩余时间内每小时平整土地，根据题意列不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设施工方在剩余时间内每小时平整土地， 由题意得，， 故选：． 39．将正实数“四舍五入”，精确到个位的值记为，如：，，．若，则正实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查近似数和有效数字，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用新定义和四舍五入法解答． 根据题意可以得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：． 40．对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据可知函数的随的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于的不等式求解即可． 【详解】解： 函数的随的增大而增大 当时，函数的函数值为边界值， 边界值小于3 ，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． 解答题 41．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示： 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 450 600 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式； (2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“总价=单价×数量”结合购买该批设备的资金不超过7200元列关于x的一元一次不等式即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据要求监控半径覆盖范围不低于1600米可列关于x的一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 根据题意得：． （2）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 根据题意得：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，审清题意、找到不等关系是解答本题的关键． 【题型9.一元一次不等式的实际应用问题】 42．某通信运营商推出两种话费收费方案．方案一：套餐及固定费36元，本地通话费0.1元/min．方案二：不收套餐及固定费，本地通话费0.6元．若张老师选择方案一比方案二优惠，则他一个月的通话时间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他一个月通话时间为，根据张老师选择方案一比方案二优惠，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论. 【详解】解：设他一个月通话时间为元，根据题意得： ， 解得：， 答：他一个月通话时间可能为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，解决本题的关键是正确列出一元一次不等式． 43．如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据运行程序，第一次运算结果大于，列出不等式，然后求解即可，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 44．山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“全国名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽 盒． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽，利用总利润每盒黄米粽的销售利润购进黄米粽的数量每盒江米粽的销售利润购进江米粽的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进黄米粽盒． 故答案为：． 45．“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元． 【答案】4750 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡，根据题意得到不等式，求出的取值范围，再设旅行团消费金额为元，根据题意得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡， 由题意得：， 解得：， 设旅行团消费金额为元， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小，为， 故答案为：4750． 解答题 46．为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 【题型10.一元一次不等式的几何应用问题】 47．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 48．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∵角内部最多只能构造5根等长的钢条， ∴最多只能取到点， ∵存在点， ∴， 解得：， ∵最多只能取到点， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是：． 故答案是：． 49．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 50．如图，、分别是的高，M为的中点，，，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，找出图中含角的直角三角形，并设出未知数表示线段长度是解题的关键．结合、分别是的高，可得，设，，用a、b表示出、和的面积，再在中利用勾股定理，整理得到，再结合得到，即可解答． 【详解】解：、分别是的高， ， ， ， ，， 设，，则，， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， ， 面积的最大值为． 故选：B． 解答题 51．如图，在中，．射线，点从点A出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则t的取值范围是 ； (2)当t为何值时，； (3)是否存在某一时刻t，使．若存在，请求出t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）解：由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）解：， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $