第16讲 图形的平移（平移的认识与性质、坐标系中的点沿x轴、y轴的平移）（3知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第16讲图形的平移 (平移的认识与性质、坐标系中的点沿x 轴、y轴的平移) 州内容导航—预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：平移的概念 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 ☑知识点2：平移的性质 (1)图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 (2)对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 (3)对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 ☑知识点3：平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点；②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来； ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置：④连接关键点， 还原图形 02 练题型强知识 【题型1生活中的平移现象】 例1.下列汽车标志中哪一个可以看成是由图案自身一部分经过平移后得到的() .C. D 例2.下列运动属于平移的是（) A.飞机在地面上沿直线滑行 B.在游乐场里荡秋千 1/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.推开教室的门 D.风筝在空中随风飘动 变式1.下列运动属于平移的是() A.抽屉的拉开 B.荡秋千的人的运动 C.篮球被运动员投出并进入篮筐的运动D.乒乓球被运动员高抛发出后球的运动 变式2.下列运动属于平移的是() A.空中放飞的风筝 B.乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C,篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D.茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【题型2利用平移的性质求解】 例3.如图，△AB'C'是由△ABC平移得到的，则点A、B、C的对应点分别是一，如果BC=3Cm, CC'=4cm,∠ABC=30°，那么B'C'=—,B'B=—,∠A'B'C'= B 例4.如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF,已知BE=4,AG=3,AC=7,则 图中阴影部分的面积为一· G 变式L.如图，直线I上摆放着两个大小相同的△ABC和△DEC,∠ACB=∠DCE=90°， ∠BAC=∠EDC=30°，将△DEC沿直线I向左平移到△D'E'C'；使点E落在AB上，ED'与AC交于点 P.给出下面四个结论： ①∠CPD'=60°： ②AB⊥E'D'; ③△PEE和△PCD'的周长之和等于△ABC的周长： ④图中阴影部分的面积之和大于△ABC的面积. 上述结论中，所有正确结论的序号是， 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E BC” D'D 变式2.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿直线BC向右平移2Cm得到△DEF,连接 AD,AE,给出以下结论：①AB∥DE:②EC=2cm:③∠B=∠ADE;④AG=CG;同BE=AD.其中 正确的结论有一（填序号）· D G B 【题型3利用平移解决实际问题】 例5.如图，有一块长为α米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的 左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为10m2,则a=一 a 例6.如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形ABCD),AB=60米，BC=26米.为方便游人观赏风景， 特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A 到出口B所走的路线（图中虚线）长为米. D B 变式1.图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到AB,得到封闭图形AABB(阴影部分)； 在图2中，将折线ABC(其中点B叫做折线ABC的一个“折点”)向上平移1米到折线AB'C,得到封闭 图形AAB'CCB(阴影部分). 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 小路 草地 20 草地 32米 图1 图2 图3 图4 (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S,S2,则S=_平方米；并比较大小： S,S2(填“>”“=”或<”)； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长 为a,宽为b,请你直接写出空白部分表示的草地的面积是_平方米（用含a,b的式子表示）， (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂 直)，余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为平方米. 变式2.[探究证明]图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 b): 小路 草地 草地 ② ③ ④ 在图①中，将线段AA,向右平移1个单位长度到BB,得到封闭图形AA,B,B(即阴影部分) 在图②中，将折线AA,A,向右平移1个单位长度到BB,B,得到封闭图形A,A,A,B,B,B(即阴影部分)· 请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S=,S,=· [结论应用]在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封 闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积S,=_ [联系拓展]如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单 位长度)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的。 【题型4网格中平移作图】 例7.如图，在11×9的网格纸中，每个小正方形的边长都为1.已知三角形ABC的顶点均在方格纸的格点 上，D为AC边上一点，在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形AB'C',图中标出了平移后 点D的对应点DA. 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D (1)画出平移后的三角形AB'C: (2)连接AA,DD',则AA与DD'的位置关系为 数量关系为 (3)求三角形AB'C'的面积. 例8.如图，在网格上，平移△ABC,并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点 F与点C对应. (I)请你作出平移后的图形△DEF: (2)线段BC与EF的关系是： 变式1.△ABC在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作 图 B (I)将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△AB'C',画出△A'BC' (2)点A到BC的距离为_个单位长度 变式2.如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形ABC平 移，使点A平移至点A. 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)在网格图中画出平移后的三角形ABC:(点BC分别是B、C的对应点)， (2)连接BBCC,则这两条线段的位置关系是一，数量关系是一·（保留画图的痕迹） 【题型5求点沿x轴，y轴平移后的坐标】 例9.在平面直角坐标系中，将点P(-3,先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点2，则点Q 的坐标为一· 例10.将点P1,-2)先向上平移5个单位，再向左平移3个单位，得到点Q,则点Q的坐标为： 变式1.已知平面直角坐标系内的一点A(-2,3),将点A先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度， 其对应点A的坐标为一. 变式2.在平面直角坐标系中，将点A(x,y)向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点 B(1,-2)重合，则点A的坐标是-· 【题型6已知图形的平移，求点的坐标】 例11.如图，在平面直角坐标系中，y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，左图案中小蝌 蚪左、右眼睛的坐标分别为(-4,3)，(-3,2)，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是5,6，则右图案中小蝌蚪右 眼睛的坐标是一。 圆2。如图，一块∠1B0:30的直角三角板的直角顶点与原点0重合，顶点4的坐标为号0， 现将该 三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB',则点B的对应点B的坐标为一 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1.如图，点A、B的坐标分别为L,O)、(O,2),将线段AB平移至AB时得到A、B两点的坐标分别 是(3，b)、(a,4),则a+b=一 B1(a,4) BA(0,2)》 A(3,b) OA(1,0) 衣 变式2.如图，A-2,1,B0,-,将线段4B平移得到4B,.若A的对应点A的坐标为(a,3)，B的对应 点B,的坐标为(3，b),则a+b的值为一· B B 【题型7已知点平移前后的坐标，判断平移方法】 例13.把点A(-1,-3)平移到点4'(2，-5)，则下列平移路线正确的是() A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D.先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 例14.在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比 () A.向右平移了3个单位 B.向左平移了3个单位 C.向上平移了3个单位 D.向下平移了3个单位 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1.在平面直角坐标系中，将四边形各点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比 () A.向左平移了2个单位 B.向右平移了2个单位 C.向上平移了2个单 D.向下平移了2个单位 变式2.将线段AB在平面直角坐标系中平移，己知点A(-2,2),B(0,0),将线段平移后，其两个端点的对 应点分别为A(-1,4),B(1,2),则它的平移情况是() A.向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 B.向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 C.向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 D.向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 【题型8平面直角坐标系中平移作图】 例15.已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. 532-1012345x 2 5 (1)写出A、B、C三点的坐标. (2)△ABC中任意一点P(x,o)经平移后对应点为B(,+3,%-2),先将△ABC作同样的平移得到△A,B,C; (3)求△ABC的面积. 例16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A-3,5),B(-4,1,C(-2,3). 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不y -2-10 (I)画出△ABC关于y轴的对称图形△AB,C. (2)将(1)中的△ABC向下平移6个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△4B,C2,画出△4，B,C,. (3)求三角形ABC的面积. 变式1.如图，在平面直角坐标系中，A3,4),B(4,2),C(1,. B 5-4-3-2-10 345 -2 -3 =4 =5 (I)画出△ABC关于y轴的对称图形△ABC: (2)画出△4BC1沿y轴向下平移4个单位长度后得到的△A,B,C: (3)求出△ABC的面积： (4)若线段BC上有一点Ma,b)经过上述两次变换，则对应的点M2的坐标是 变式2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,3),B(1,1),C(4,1. 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43 2 -5-4-3-2- 01.2345x 23 4 (1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A,B,C: (2)将△4BC向左平移5个单位长度得到△A,B,C2,画出△4B,C2: 7 (3)若P是线段4B上一点，经过上述两次变换后，线段4，B,上的对应点p的横坐标为2，则点P的坐标 为 03 串知识识框架 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定 的距离。注：平移=移动方向+移动距离 知识点1：平移的概念 图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 知识点2：平移的性质 图形的平移 对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 ①找出能代表图形的关键点 ②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来 知识点3：平移作图 ③过其他，点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即 确定其他关键点平移后的位置 ④连接关键点，还原图形 10/14 第16讲 图形的平移（平移的认识与性质、坐标系中的点沿x轴、y轴的平移） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平移的概念 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 知识点2：平移的性质 （1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点3：平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 【题型1 生活中的平移现象】 例1．下列汽车标志中哪一个可以看成是由图案自身一部分经过平移后得到的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移不改变图形的大小，形状，方向． 根据平移的性质即逐个进行判断即可． 【详解】解：可以看成是由图案自身一部分经平移后得到的是： ． 故选：C． 例2．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 根据平移的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意； B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意； C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意； D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意； 故选：A． 变式1．下列运动属于平移的是（   ） A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的大小，根据平移的定义，逐一判断，排除错误答案 【详解】解：A、抽屉的拉开，是平移，故选项A符合题意； B、荡秋千的人的运动路线是曲线，不是平移； C和D中篮球和乒乓球运动路线是曲线，不是平移， 故选：A． 变式2．下列运动属于平移的是（    ） A．空中放飞的风筝 B．乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的过程 D．茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、空中放飞的风筝不是平移，不符合题意； B、乒乓球比赛中的高抛发球后，乒乓球的运动方式不是平移，不符合题意； C、篮球被运动员投出并进入篮筐的过程不是平移，不符合题意； D、茅台机场的飞机降落时在笔直的跑道上滑行属于平移，符合题意； 故选D． 【题型2 利用平移的性质求解】 例3．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 【答案】 、、 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答． 【详解】解：是由平移得到的， 点、、的对应点分别是、、， ，，，， ，， 故答案为：、、，，，． 例4．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 变式1．如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到；使点落在上，与交于点P．给出下面四个结论： ①； ②； ③和的周长之和等于的周长； ④图中阴影部分的面积之和大于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，三角形面积的计算，掌握平移的性质，掌握三角形、平行四边形、长方形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据平移的性质，三角形面积、平行四边形、长方形面积之间的关系进行判断即可． 【详解】解：∵两个大小相同的和， ，， ，，，， 由平移的性质可知，，，， ， ， 因此①正确； ，， ， ， 因此②正确； 和的周长之和为 ′， 即与的周长相等，而与形状大小完全一样， 和的周长之和等于的周长， 因此③正确； ， ， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故答案为：①②③． 变式2．如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③⑤ 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质以及平行线的性质对各小题进行解答即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， 故①、⑤正确； 根据题意得不到， 故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， 故③正确； ∵不一定等于， 故证明不出， 则不一定等于， 故④错误； 综上所述，正确的有①③⑤； 故答案为：①③⑤． 【题型3 利用平移解决实际问题】 例5．如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 例6．如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质得出所走路程为即可解题． 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）， 故答案为：． 变式1．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 变式2．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【知识点】利用平移的性质求解、利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 【题型4 网格中平移作图】 例7．如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1．已知三角形的顶点均在方格纸的格点上，D为边上一点，在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，则与的位置关系为________，数量关系为________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点． （1）利用点D和它的对应点的位置可确定先向下平移3个单位，再向左平移6个单位得到，然后利用此平移规律画出点A，B，C的对应点，即可得到； （2）根据平移的性质求解； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由平移的性质可知，，， 故答案为：，； （3）解：三角形的面积． 例8．如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可； （2）根据平移的性质进行判断． 【详解】（1）解：如图，△DEF为所作； ； （2）解：线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 变式1．在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【答案】(1)图见详解 (2)2 【知识点】点到直线的距离、平移(作图) 【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质结合网格即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：点A到的距离为2个单位长度， 故答案为：2． 变式2．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质： （1）根据点A和点的位置可知平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，据此平移方式确定的位置，描出，再顺次连接即可； （2）先根据题意连线，再由平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：作图如下所示： 由平移的性质可得， 故答案为：，． 【题型5 求点沿x轴，y轴平移后的坐标】 例9．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点， 则点的坐标为，即． 故答案为：． 例10．将点先向上平移5个单位，再向左平移3个单位，得到点Q，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了平移与坐标与图形的变化．根据向下平移，纵坐标减；向左平移，横坐标减进行求解即可． 【详解】解：根据题意，点Q的坐标是， 即． 故答案为：． 变式1．已知平面直角坐标系内的一点，将点A 先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度，其对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；依此即可求解． 【详解】解： 点A 先向右平移3个单位长度， 横坐标变为， 点A再向上平移2个单位长度， 纵坐标变为， 点的坐标为． 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 【题型6 已知图形的平移，求点的坐标】 例11．如图，在平面直角坐标系中，y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是，则右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题主要考查了平移的特点，解题的关键是根据题意得出左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案．先根据左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是，得出左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案，再求出右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标即可． 【详解】解：因为题图中y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，且左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是， ∴左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案， ∴右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是，即． 故答案为：． 例12．如图，一块的直角三角板的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查坐标与平移，勾股定理，含30度角的直角三角形，先根据含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理，求出点坐标，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵顶点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将该三角板向右平移使点A与点O重合， ∴三角板向右平移了个单位， ∴点B的对应点的坐标为； 故答案为：． 变式1．如图，点、的坐标分别为、，将线段平移至时得到、两点的坐标分别是、，则 ． 【答案】4 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得、的值． 【详解】解：、两点的坐标分别为、，平移后，， 线段向右平移2个单位，向上平移2个单位， ，， 故答案为：4． 变式2．如图，，，将线段平移得到．若的对应点的坐标为，的对应点的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形、图形的平移，根据点平移前后的坐标，判断平移方式，求出、的值，计算的值即可，熟练掌握坐标与图形、图形的平移是解题的关键． 【详解】解：∵，的对应点的坐标为， ∴， ∴向上平移了个单位， ∵，的对应点的坐标为， ∴，， ∴向右平移了个单位， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7 已知点平移前后的坐标，判断平移方法】 例13．把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 根据在平面直角坐标系中坐标与图形变化-平移的规律进行判断． 【详解】解：点平移到点， 表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 故选：B． 例14．在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（    ） A．向右平移了3个单位 B．向左平移了3个单位 C．向上平移了3个单位 D．向下平移了3个单位 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移，横坐标减，纵坐标不变解答． 【详解】∵将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变， ∴所得图形与原图形相比向左平移了3个单位． 故选B． 变式1．在平面直角坐标系中，将四边形各点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（    ） A．向左平移了2个单位 B．向右平移了2个单位 C．向上平移了2个单 D．向下平移了2个单位 【答案】A 【知识点】图形的平移、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解题． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将四边形格点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比向左平移了2个单位． 故选：A． 变式2．将线段在平面直角坐标系中平移，已知点，，将线段平移后，其两个端点的对应点分别为，，则它的平移情况是（    ） A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度 D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度 【答案】C 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：∵，，平移后点的对应点分别为， ∴A，B两点横坐标变化情况为：，， A，B两点纵坐标变化情况为：，， ∴线段向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度． 故选：C． 【题型8 平面直角坐标系中平移作图】 例15．已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)写出、、三点的坐标． (2)中任意一点经平移后对应点为，先将作同样的平移得到； (3)求的面积． 【答案】(1)；；； (2)图见详解； (3)． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积，根据平移的性质得出对应点位置是解题关键． （1）利用已知坐标系得出各点的坐标即可； （2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用矩形减去周围三角形面积进而求出即可． 【详解】（1）解：由图可得：；；； （2）解：由中任意一点经平移后对应点为，可得：先将向右平移3个单位再向下平移2个单位即可，如图所示， 即为所求；    （3）解：． 例16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形． (2)将（1）中的向下平移6个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到，画出． (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）作出A、B、C关于y轴对称的的对应点、、，顺次连接即可； （2）将向下平移6个单位长度，再向右平移1个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由图可得，三角形的面积 ． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，．    (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)求出的面积； (4)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3.5 (4) 【知识点】平移(作图)、求点沿x轴、y轴平移后的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，再顺次连接即可； （2）作点、、向下平移4个单位后有对应点、、，再顺次连接即可； （3）用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积求解即可； （4）先根据关于y轴对称点的坐标特征“横坐标互为相反数，纵坐标不变”求出点M关于关于y轴对称点，再根据平移坐标变换规律“上加下减，左减右加”求得点平移后的对应点． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）解：如图所示：即为所求；    （3）解：． （4）解：∵与关于轴的对称， ∴点经过第一次变换后对应点， ∵沿轴向下平移4个单位长度后得到的， ∴点经过两次变换后对应点， 故答案为：． 【点睛】本题考查作轴对称图形，平移作图，轴对称的坐标变换，平称的坐标变换，利用网格求三角形的面积．熟练掌握作轴对称图形和平移作图及其坐标变换规律是解题的关键． 变式2．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的图形； (2)将向左平移5个单位长度得到，画出； (3)若P是线段上一点，经过上述两次变换后，线段上的对应点的横坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】求一次函数解析式、平移(作图)、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了轴对称作图和平移作图，求一次函数解析式，解题的关键是作出对应点，熟练掌握待定系数法． （1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，然后依次连接即可； （2）分别将点、、向左平移5个单位长度即可得到、、然后依次连接，并写出坐标即可； （3）先求出直线的解析式为：，得出点，根据将向左平移5个单位长度得到，得出点在上的对应点坐标为，即，根据轴对称得出点P坐标为：． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：根据图形可知：点，， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点， 将向左平移5个单位长度得到， ∴点在上的对应点坐标为，即， 点关于x轴的对称点坐标为：， ∴点P坐标为：． 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川德阳·月考）在平面直角坐标系xOy中，点向下平移2个单位长度后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移规则，掌握相关知识是解决问题的关键．向下平移时，点的纵坐标减少，横坐标不变． 【详解】解：∵点向下平移2个单位长度， ∴平移后的点横坐标不变，纵坐标减少2， 即新坐标为 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用点和它的对应点的坐标特征得到线段先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到线段，然后利用点平移的坐标规律写出点平移后的对应点的坐标． 【详解】解：由图知，线段向左平移3个单位，再向上平移1个单位即可得到线段， ∴点在上的对应点的坐标为， 故选：A． 4．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，．现将沿着射线CB的方向平移3个单位长度，得到，连接，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键． 由平移的性质可得，从而得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：将沿着射线CB的方向平移3个单位长度，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴的周长为． 故选：D 5．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，勾股定理求出，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：由平移的性质得到，，故选项A正确； ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴．故选项D正确； ∵，，， ∴；故选项C正确； 无法得到平分；故选项B错误； 故选B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律．点的平移规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】将点向右平移3个单位，横坐标增加3，变为；再向上平移2个单位，纵坐标增加2，变为． 因此点的坐标为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 【答案】向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移；根据两点的坐标即可确定平移过程． 【详解】解：“馬”位于点，若“馬”要“将军”可以走到，则平移过程为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 故答案为：向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故答案为：7． 9．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标分别为，，若将线段平移至，点的坐标分别为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了图形的平移及平移特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据平移的性质解题即可 【详解】解：由题意可知，由的对应点为，知，线段向上平移了2个单位， 由的对应点为知，线段向右平移了3个单位， ∴，， ∴． 故答案为：2． 10．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 三、解答题 11．（25-26七年级上·上海宝山·月考）在如图所示的方格中，每个小正方形的边长均为1个单位，按下列要求画三角形． (1)先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，平移后得在图中画出． (2)在（1）的条件下，四边形的面积为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了图形的平移，网格与四边形面积，理解题意，熟练掌握确定平移变换的规律是解题关键． （1）根据平移变换的规律作图即可； （2）先利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：四边形的面积 ， 故答案为：10． 12．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了平移的性质，掌握相关知识是是解决问题的关键．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． （1）根据平移的性质和平行的性质得到，然后利用互余计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，，所以，然后利用可计算出的长． 【详解】（1）解：平移到的位置， ∴ ， 与互余， ； （2）解：，分别平移到和的位置，且 ，， ， ， ， 即， ． 13．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出； (2)作出关于x轴对称的； (3)的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，坐标与图形，熟知轴对称和平移的知识是解题的关键． （1）根据平移规律可得三点，然后顺次连接即可； （2）关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 14．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理． （1）由平移的性质可得：，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）由三角形的外角性质，得，由已知求得，推出，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 由三角形的外角性质，得， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分． 15．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $