精品解析：河北省衡水市第二中学2025-2026学年高三上学期第四次调研考试数学试题

2025~2026学年第一学期第四次调研考试 高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出女生所占比例，再求出女生人数即可. 【详解】由题意得该班女生所占比例为， 应抽取的女生人数为，故C正确. 故选：C 2. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 4或14 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，再结合焦半径的取值范围，即可求解. 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①如图① ，若点在左支上，则，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，，所以符合题意. ②如图②，若点在右支上， 则，， 由双曲线的定义，，因为，所以. 因为，所以符合题意，综上，或14. 故选：C 3. 若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得抛物线的焦点坐标，再根据点关于直线对称的知识求得的焦点坐标. 【详解】由题意得的焦点为， 设关于直线的对称点为， 则得 故的焦点坐标为. 故选：D 4. 若点是椭圆的某条弦的中点，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，转化为点在椭圆的内部，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由点是椭圆的某条弦的中点， 则点在椭圆的内部，所以，解得或. 故选：A. 5. 已知是双曲线的上焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，且满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 或4 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】设点在渐近线上，过点作渐近线的垂线，垂足为，求得，得到渐近线的倾斜角为，得出，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由双曲线，可得双曲线的渐近线方程为， 如图所示，设点在渐近线上，过点作渐近线的垂线，垂足为， 所以， 因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围为，所以， 在直角中，，所以， 则，所以，可得， 所以双曲线的渐近线的倾斜角为，则，所以， 所以，则双曲线的离心率为. 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，则当时，点的横坐标为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线的准线方程为，设点的横坐标为，结合抛物线的定义，列出方程，即可求解. 【详解】抛物线可看作将抛物线向左平移一个单位， 因为抛物线的准线方程为， 所以抛物线的准线方程为， 设点的横坐标为， 由抛物线的定义，可得，解得. 故选：B. 7. 已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的上、下焦点分别为，由椭圆的定义，求得，根据题意，转化为，结合圆的性质，得到，进而求得的最大值，得到答案. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 又由椭圆，设上焦点为，下焦点为，且， 根据椭圆的定义，可得，则， 所以， 要使得最大，则最小. 因为，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：D. 8. 抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，反射光线轴，和，得到，即，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为， 如图所示，由光学性质，入射光线，则反射光线轴，所以， 又因为，所以， 因为轴，，则，所以， 即，所以，解得. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某研究小组在一次实验中记录如下一组10个样本数据：，则（ ） A. 这组数据的众数是5 B. 这组数据的中位数是6 C. 这组数据的第80百分位数是12 D. 原数据中最左侧4个数据的方差比最右侧4个数据的方差大 【答案】AD 【解析】 【分析】先把数据从小到大排序，结合众数、中位数、百分位数，以及平均数和方差的定义和计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由统计数据：，从小到大排序，可得， 对于A，由众数的定义，可得这组数据的众数是5，所以A正确； 对于B，由中位数的定义，可得这组数据的中位数是，所以B错误； 对于C，由，则这组数据的第80百分位数是，所以C错误； 对于D，由最左侧4个数据为，其平均数为， 方差为； 最右侧4个数据为，其平均数为， 方差为； 因为，则最左侧4个数据的方差比最右侧4个数据的方差大，所以D正确. 故选：AD. 10. 在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 若为棱的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由可判断A；由点到平面距离向量法计算可判断B；由异面直角所成角向量法计算可判断C；由线面角向量法计算可判断D. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，设点，其中， 对于A，， 因为，所以，故A正确； 对于B，设平面的法向量为， 则，令， 得平面的法向量为，因为. 所以点到平面的距离，故B错误； 对于C，当为的中点时，,故， ，故C错误； 对于D，，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足依次为.若长的最小值为12，则（ ） A. 若，则 B. 若的倾斜角为，则 C. 若点在抛物线上，且，则 D. 上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，求得抛物线的方程，结合焦点弦的性质，可判定A错误；设直线的方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的定义，以及焦半径公式，求得的长，可判定B正确；由，求得，结合抛物线的定义，可判定C正确；设切线方程为，联立方程组，利用，求得切线方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 因为长的最小值为12，根据抛物线焦点弦的性质，可得，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 对于A，由焦点弦的性质得，将代入，解得，所以A错误； 对于B，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得，所以， 则，， 由抛物线的定义，可得， 则， 若的倾斜角为，则，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以B正确； 对于C，设，由，可得点为的重心， 所以. 所以，故C正确. 对于D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以切线方程为， 所以两平行线间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一性质可确定为中点，结合椭圆定义和三角形中位线性质可确定点轨迹为以为圆心，为半径的圆，进而确定当位于轴时取得最近距离. 【详解】由题意知： ， 设 的延长线交 的延长线于点 ， ， 为线段 中点， 由椭圆定义知： ， 分别为 和 中点， ， 点轨迹是以 为圆心，为半径的圆， 由椭圆方程知： 短轴端点为 ， 当点 在轴上时，其到临近的短轴端点的距离最近，最近距离为. 故答案为： 1 . 13. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点在抛物线上，，若以线段为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线的方程为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设抛物线的焦点在轴正半轴上，则可设抛物线方程为（），，由焦半径公式可知，求出线段中点的纵坐标等于圆的半径，对称以线段为直径的圆与轴相切，求出切点坐标及点的坐标，代入抛物线方程求出可得答案. 【详解】由题意，若抛物线的焦点在轴正半轴上，则可设抛物线方程为（），，，由焦半径公式可知，圆的半径为， 得，并且线段中点的纵坐标是，所以以线段为直径的圆与轴相切，切点坐标为或，所以， 即点的坐标为，代入抛物线方程（）得，解得或，即当点在轴正半轴上时，抛物线方程是或. 同理，当点在轴负半轴时，抛物线方程为或，当点F在轴正半轴时，抛物线方程为或，当点在轴负半轴时，抛物线方程为或． 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设直线与圆相切于点，连接，求得，再设，求得，在直角中，由，得出方程，进而求得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，设圆心为，直线与圆相切于点，连接， 又由双曲线的焦点，半径，则， 由，可得， 所以， 因为轴，且，设，则， 又因为，解得， 在直角中，可得， 因为，整理得，即，解得或， 又因为，所以，即双曲线的离心率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 已知与线性相关. （1）求关于的线性回归方程； （2）预测第7个月的打卡人数. 参考数据：. 参考公式：线性回归方程中斜率､截距的最小二乘法估计公式为. 【答案】（1） （2）4.5万人 【解析】 【分析】（1）由统计表格中的数据，取得回归系数，得到，即可得出回归方程； （2）由（1）中的回归方程，令，求得，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由统计表格中的数据，可得，， 且， 则， 可得， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知：线性回归方程为， 当时，可得. 由此预测第7个月的打卡人数为4.5万人. 16. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程，求得，再由，化简，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的离心率为，且经过点， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：设的坐标分别为，直线的方程为， 联立方程，消去后整理为， 则有， 由，令，解得，即点， 则 ， 所以的值为. 17. 已知抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，的最小值为2. （1）求抛物线的方程； （2）直线过定点（其中）与抛物线相交于两点（点位于第一象限）. ①若，求证：； ②如图，连接，并延长交抛物线于两点，设和的面积分别为和，求. 【答案】（1）； （2）①证明： 设直线的方程为， 由消去并整理，得， 则，，由，得， 因此，即，而，所以. ②. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义及范围，结合给定的最小值求出即可. （2）①设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示计算得证；②设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式，结合①中信息计算得解. 【小问1详解】 抛物线的焦点，设， 则，当且仅当时等号成立，依题意，，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①略； ②由①知，而，设的方程为，， 由消去并整理，得， 则，，同理， 所以. 18. 如图，在四棱锥中， ,是的中点，且. （1）求证：平面平面； （2）若， ①证明：在同一个球面上； ②若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1） 证明：因为，是的中点，所以， 又因为，且平面，平面， 因为，则与相交， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） ①证明：如图，取的中点，连接， 由（1）知，平面平面，平面平面， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以， 因为，是的中点，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 在上取一点，使得，连接，可得且， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以，可得， 在中，因为， 可得，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以，所以， 所以， 因为不共面，所以在以为球心的同一个球面上. ② 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）①取的中点，连接，证得，分别求得和的长，在上取一点，使得，得到四边形为矩形，证得平面，进而得到，即可证得在以为球心的同一个球面上. ②以为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图所示，取的中点，连接，则. 以为原点，以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，因为， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为平面与平面的夹角的余弦值为，可得， 解得，所以. 19. 已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. （1）求的方程： （2）已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）或； （ⅱ）当时，即，解得，因为在线段AB上，故， 由直线DE交于，两点， 设，，则（*）有两个不相等的实根，， 所以即，且，. 故 . 所以，所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程； （2）（ⅰ）设，得到DE：.联立双曲线方程，通过讨论和求解即可； （ⅱ）根据四点共线，要证即证，设出直线，，，联立直线方程与椭圆方程得出，将其代入，计算结果为零，即证出． 【小问1详解】 由题意得，， 故，，所以的方程为. 【小问2详解】 设，则直线DE：. 由得，（*） （ⅰ）①当，即时， 由（*）可知，，， 此时，直线DE方程为，和双曲线仅有一个公共点，符合题意； ②当，即时，要使直线DE与双曲线仅有一个公共点，则，即， 此时，直线DE方程为，和双曲线仅有一个公共点，符合题意； 综上，直线DE方程为或. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期第四次调研考试 高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 4或14 3. 若抛物线与抛物线关于直线对称，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若点是椭圆的某条弦的中点，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是双曲线的上焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，且满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 或4 D. 或2 6. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，则当时，点的横坐标为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 7. 已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某研究小组在一次实验中记录如下一组10个样本数据：，则（ ） A. 这组数据的众数是5 B. 这组数据的中位数是6 C. 这组数据的第80百分位数是12 D. 原数据中最左侧4个数据的方差比最右侧4个数据的方差大 10. 在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 若为棱的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 11. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足依次为.若长的最小值为12，则（ ） A. 若，则 B. 若的倾斜角为，则 C. 若点在抛物线上，且，则 D. 上一动点到直线的距离的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为______． 13. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，点在抛物线上，，若以线段为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线的方程为______． 14. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数y（万人）与第个月的数据： 1 2 3 4 5 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 已知与线性相关. （1）求关于的线性回归方程； （2）预测第7个月的打卡人数. 参考数据：. 参考公式：线性回归方程中斜率､截距的最小二乘法估计公式为. 16. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的值. 17. 已知抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，的最小值为2. （1）求抛物线的方程； （2）直线过定点（其中）与抛物线相交于两点（点位于第一象限）. ①若，求证：； ②如图，连接，并延长交抛物线于两点，设和的面积分别为和，求. 18. 如图，在四棱锥中， ,是的中点，且. （1）求证：平面平面； （2）若， ①证明：在同一个球面上； ②若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 19. 已知双曲线：（，）过点，且焦距为10. （1）求的方程： （2）已知点，，为直线AB上一点， （ⅰ）若直线DE与恰有一个公共点，求直线DE的方程； （ⅱ）若在线段AB上，直线DE交于，两点.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $