专题03直角三角形.线段的垂直平分线.角平分线讲义(题型精析+题型突破+寒假预习)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题03直角三角形.线段的垂直平分线.角平分线讲义 重点 直角三角形：两锐角互余；斜边中线 = 斜边一半；勾股定理及逆定理；HL 全等判定。 线段垂直平分线：线上点到线段两端距离相等；到两端距离相等的点在垂直平分线上；尺规作图。 角平分线：线上点到角两边距离相等；角内到两边距离相等的点在角平分线上；尺规作图。 难点 1.勾股定理及逆定理综合用；HL 与其他全等判定区分。 2.垂直平分线、角平分线的性质与判定互逆应用。 3.角平分线 “距离” 是垂线段；三类定理综合证题。 必备知识 点梳理 1.直角三角形 2.线段的垂直平分线 3.角平分线 4.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.直角三角形的性质:两锐角互余 2.直角三角形的判定:两锐角互余 3.命题的逆命题书写 4.线段垂直平分线的性质定理 5.线段垂直平分线的判定定理 6.尺规作图:作垂线 7.角平分线的性质定理 8.角平分线的判定定理 9.角平分线性质的实际应用 【知识点01.直角三角形】 1.定义 有一个内角为 **90°（直角）** 的三角形，称为直角三角形，记作 “Rt△”。 2.核心性质 (1)两个锐角的度数之和为 90°（互余）。 (2)斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 (3)两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）：若直角边为a,b，斜边为c，则a2+b2=c2。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25 等。 (4)若一个锐角为 30°，则这个角所对的直角边长度是斜边的一半；反之，若直角三角形中一条直角边是斜边的一半，则这条边所对的角为 30°。 (5)当两条直角边相等时，该三角形为等腰直角三角形，此时两个锐角均为 45°，三边比例为1:1:。 3.判定方法 (1)有一个角为 90° 的三角形是直角三角形。 (2)若三角形三边满足a2+b2=c2（c为最长边），则该三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）。 (3)若三角形有两个角的度数之和为 90°（互余），则该三角形是直角三角形。 (4)若三角形一边上的中线长度等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形。 【知识点02.线段的垂直平分线】 定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 核心性质 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 拓展结论 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 【知识点03.角平分线】 定义 从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 核心性质 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【知识点04.易错点总结】 1.直角三角形： 1 勾股定理逆定理未先定最长边就验证； 2 混淆30°角性质与斜边上中线性质，忽略直角前提； 3 HL判定滥用至非直角三角形，与普通全等判定混淆。 2.线段垂直平分线 1 误将“到线段两端距离相等”混淆为“到中点距离相等”； 2 记错外心位置及性质（如直角三角形外心）； ③ 尺规作图痕迹不全，违背核心原理。 3.角平分线： ① 混淆“垂线段距离”与“点到点距离”，忽略垂直要求； ② 判定时遗漏“点在角内部”的关键前提；③ 互换内心与外心性质，无法灵活构造辅助线。 4. 共性易错： ① 几何语言不规范，遗漏关键条件； ② 复杂图形中难定位核心知识点； ③ 盲目套用定理，忽略前提限制。 【题型1.直角三角形的性质:两锐角互余】 1．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得，再结合，则，即． 【详解】是斜边上的高， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等． 根据三角形的外角的性质证得：，再根据平行线的性质得到即可得到结论． 【详解】解：， 直尺的两对边平行， ， 故答案为：．    3．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的运用；分类讨论的应用是正确解答本题的关键． 分顶角为锐角和钝角两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及互补关系求解。 【详解】解：当高在内部时，顶角；当高在外部时，得到顶角的外角，则顶角． 故答案为：或． 4．等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是50°，等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ∴， ∴； 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， ∴， 此时， 综上，等腰三角形的底角的度数为或． 故答案为：或． 5．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，在等边中，E为的中点，过点E作于点D，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，直角三角形两锐角互余，先由等边三角形的性质得，结合以及直角三角形的两个锐角互余得，，故，，证明得到，证明可得，据此可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，即，进而可得，，，由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 【题型2.直角三角形的判定:两锐角互余】 8．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 根据勾股定理逆定理即可判断A、D，根据三角形内角和定理即可判断B，C． 【详解】解：A、由设， ∴，而， ∴，故不是直角三角形，本选项符合题意； B、，得，故是直角三角形，本选项不符合题意； C、由设，由三角形内角和定理可得：， ∴， 解得：， ∴，故是直角三角形，本选项不符合题意； D、由得到，符合勾股定理逆定理，故是直角三角形，本选项不符合题意；． 故选A． 9．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．在中，，记的面积为的周长为，下列命题中的假命题是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平方差公式的应用，由直角三角形两锐角互余可判断；由勾股定理即平方差公式可判断，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故选项是真命题，该选项不合题意； ∵， ∴, ∴ 即，故选项是真命题，该选项不合题意； ∵，， ∴，故选项是假命题，该选项符合题意； ∵的周长为， ∴， 又∵， ∴， ∴，故选项是真命题，该选项不合题意； 故选：． 11．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，中，的平分线交于点F，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据可以判断①；无法判定②；根据，得到，设与的交点为O，得到，结合可以判定③，活用等腰三角形三线合一性质，可以判定结论④． 【详解】因为， 所以， 所以①正确； 无法判定②； 因为， 所以， 设与的交点为O， 因为平分，平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以结论③正确， 因为平分，， 所以直线是线段的垂直平分线，直线是线段的垂直平分线， 所以， . 所以， 所以， 所以结论④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，角的平分线，余角的性质，平行线的判定，熟练掌握直角三角形的性质，余角的性质，平行线的判定是解题的关键． 【题型3.命题的逆命题书写】 13．勾股定理的逆命题是（　　） A．如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么 B．如果直角三角形的斜边为c，且，那么两条直角边分别为a、b C．如果一个三角形三边长分别为a，b，c，且，那么这个三角形是直角三角形 D．如果直角三角形三边长分别为a，b，c，且，那么斜边为c 【答案】C 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．写出勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：勾股定理的逆命题：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 故选：C． 14．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 15．命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题考查逆命题的真假，二次根式的性质，先写出逆命题，再判断真假即可，熟练掌握逆命题的定义是解题的关键． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， ∵， ∴， ∴， ∴逆命题是假命题， 故答案为：假． 16．已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的是 ．（只填写序号） 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】先判断原命题的真假，再写出原命题的逆命题，然后根据不等式的性质、绝对值的意义、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定与性质对个选项进行判断． 【详解】解：①若，则， ∵当时，，此时，所以此命题为假命题；它的逆命题为若，则，∵当时，此时，此时，∴所以此逆命题为假命题； ②若，则，此命题为真命题；它的逆命题为若，则，∵当时，则或，∴此逆命题为假命题； ③等边三角形的三个内角都相等，此命题为真命题；它的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题； ④底角相等的两个等腰三角形全等，∵底边不一定相等，∴此命题为假命题；它的逆命题为全等的两个等腰三角形的底角相等，此逆命题为真命题； ⑤直角三角形的两锐角互余，此命题为真命题；它的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，此逆命题为真命题． 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，以及逆命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 解答题 17．【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)此命题是真命题，理由见解析 【分析】此题考查了命题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）交换原命题的题设和结论即可； （2）延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【详解】（1）逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； （2）此命题是真命题，理由如下： 已知：在中，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【题型4.线段垂直平分线的性质定理】 18．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 19．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为，则等于（   ） A．8 B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，再根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵的周长为， ∴， 故选：A． 20．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 21．如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 22．如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 解答题 23．如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为14，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个性质是关键； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可证明； （2）四边形的周长为，再结合已知即可求解． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形的周长为14， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【题型5.线段垂直平分线的判定定理】 24．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可． 【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且， ，平分，垂直平分线段， 故正确， 条件不足，无法求出的度数，故错误； 故选：C． 25．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的作图，线段垂直平分线的判定、三角形全等的判定和性质、含角的直角三角形的性质等．①利用尺规作图的痕迹，可得出结论；②根据三角形的外角的性质即可得出结论；③先根据三角形内角和定理求出的度数，再由是的平分线得出，根据可知，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出，，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①由作图痕迹知是的平分线，故①正确； ②在中，，， ． 是的平分线， ， ∴，故②正确； ③， ， ， 点在的垂直平分线上，故③正确； ④在中，， ， ，， ， ，故④正确； 综上，正确的是①②③④， 故选：D 26．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 27．如图，在中，平分交于点于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上；⑤，其中正确的有 ．(填序号) 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，垂直平分线的判定等知识，结论比较多，但把握含30度角的直角三角形的性质是解本题的关键．推导都是含30度角的直角三角形，是30度底角的等腰三角形，再根据含30度角的直角三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上，④正确； ，①正确； ∵，， ∴，， ∴，③正确； ∵于点， ∴，， ∴，即，②错误， ，⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 28．如图，在中，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点，则线段长的最小值是（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键． 连接，设交于点H，由等边三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质得垂直平分线段，过B作交射线于，则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长，再可证明，则，从而求得最小值． 【详解】解：如图，连接，设交于点H， ∵，G为的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， ∴点G在射线上， 过B作交射线于， 则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为6， 故选：D． 解答题 29．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【题型6.尺规作图:作垂线】 30．如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、三角形内角和定理等知识．由尺规作图的作法得到，根据三角形内角和定理代入数据计算即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， 即， ∵， ∴， 故选：C． 31．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线交于点D，交于点E，连接．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点．根据尺规作图得到是的垂直平分线是解题的关键． 由作图过程可得：垂直平分线段可得， ，可判定A、B选项；再根据等边对等角可得，进而得到，即C选项符合题意；由运用等角对等边可得，即可判定D选项． 【详解】解：由作图过程可得：垂直平分线段， ∴， ，、故A、B正确，不符合题意； ∵ ∴． ∵，， ∴，不能得到，即C选项符合题意 ∴，即D选项正确，不符合题意． 故选C． 32．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 33．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，与n相交于点D，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线m于点E，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，中垂线的性质，三角形的外角和，根据作图得到是的垂直平分线，进而得到，等边对等角，结合三角形的外角，求出，平行线的性质，结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：由题意知，是的垂直平分线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 34．如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 【题型7.角平分线的性质定理】 35．如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进而求出的度数． 【详解】解：∵，，， 根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴是的角平分线， ∴， 故选：B． 36．如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．三条中线的交点位置 B．三条角平分线的交点位置 C．三条高的交点位置 D．三边的垂直平分线的交点位置 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 37．如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出最小时的位置是解题的关键． 根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，进而求解． 【详解】解：如下图所示：过点P作，垂足为点, ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即当点D运动到点的位置时，长度最短，最小值为． 故答案为：． 38．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 由作图可知，为的平分线，过点D作于点E，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 过点D作于点E， 由作图可知，为的平分线， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． .39．如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，，故①②符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤符合题意． 综上，正确的是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 解答题 40．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型8.角平分线的判定定理】 41．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论． 【详解】解：设D到和的距离分别为和， ∵， ∴， ∴， 即点D到和的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：B． 42．如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握角平分线的判定；先根据角平分线的判定得到角相等，再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形得到角相等，进而得到答案； 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 43．如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 44．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有 ．（写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确；没有理由能判断平分． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 没有理由能判断平分，结论⑤错误． 综上，结论正确的有①②④， 故答案为：①②④． 45.．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明即可判定①；过点作于，于，由全等三角形的性质得，即得，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，即可判定②；在线段上截取，连接，证明得，根据②可得为等边三角形，即得，即得，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 解答题 46．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 【题型9.角平分线性质的实际应用】 47．如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 48．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 49．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．    【答案】 【分析】利用基本作图得到点P到x轴和y轴的距离相等，则根据角平分线的性质得到，从而得到m、n的数量关系． 【详解】解：∵由作图痕迹得点在的平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， ∵，且点在第二象限， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 50．如图，已知的周长是分别平分和于，且，则的面积是 ．    【答案】 【分析】过点作，根据角平分线的性质，得到，连接，根据的面积等于的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：过点作，    ∵分别平分和于， ∴， 连接， 则： ∵的周长是，， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 解答题 51．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形.线段的垂直平分线.角平分线讲义 重点 直角三角形：两锐角互余；斜边中线 = 斜边一半；勾股定理及逆定理；HL 全等判定。 线段垂直平分线：线上点到线段两端距离相等；到两端距离相等的点在垂直平分线上；尺规作图。 角平分线：线上点到角两边距离相等；角内到两边距离相等的点在角平分线上；尺规作图。 难点 1.勾股定理及逆定理综合用；HL 与其他全等判定区分。 2.垂直平分线、角平分线的性质与判定互逆应用。 3.角平分线 “距离” 是垂线段；三类定理综合证题。 必备知识 点梳理 1.直角三角形 2.线段的垂直平分线 3.角平分线 4.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.直角三角形的性质:两锐角互余 2.直角三角形的判定:两锐角互余 3.命题的逆命题书写 4.线段垂直平分线的性质定理 5.线段垂直平分线的判定定理 6.尺规作图:作垂线 7.角平分线的性质定理 8.角平分线的判定定理 9.角平分线性质的实际应用 【知识点01.直角三角形】 1.定义 有一个内角为 **90°（直角）** 的三角形，称为直角三角形，记作 “Rt△”。 2.核心性质 (1)两个锐角的度数之和为 90°（互余）。 (2)斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 (3)两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）：若直角边为a,b，斜边为c，则a2+b2=c2。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25 等。 (4)若一个锐角为 30°，则这个角所对的直角边长度是斜边的一半；反之，若直角三角形中一条直角边是斜边的一半，则这条边所对的角为 30°。 (5)当两条直角边相等时，该三角形为等腰直角三角形，此时两个锐角均为 45°，三边比例为1:1:。 3.判定方法 (1)有一个角为 90° 的三角形是直角三角形。 (2)若三角形三边满足a2+b2=c2（c为最长边），则该三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）。 (3)若三角形有两个角的度数之和为 90°（互余），则该三角形是直角三角形。 (4)若三角形一边上的中线长度等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形。 【知识点02.线段的垂直平分线】 定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 核心性质 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 拓展结论 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 【知识点03.角平分线】 定义 从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 核心性质 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【知识点04.易错点总结】 1.直角三角形： 1 勾股定理逆定理未先定最长边就验证； 2 混淆30°角性质与斜边上中线性质，忽略直角前提； 3 HL判定滥用至非直角三角形，与普通全等判定混淆。 2.线段垂直平分线 1 误将“到线段两端距离相等”混淆为“到中点距离相等”； 2 记错外心位置及性质（如直角三角形外心）； ③ 尺规作图痕迹不全，违背核心原理。 3.角平分线： ① 混淆“垂线段距离”与“点到点距离”，忽略垂直要求； ② 判定时遗漏“点在角内部”的关键前提；③ 互换内心与外心性质，无法灵活构造辅助线。 4. 共性易错： ① 几何语言不规范，遗漏关键条件； ② 复杂图形中难定位核心知识点； ③ 盲目套用定理，忽略前提限制。 【题型1.直角三角形的性质:两锐角互余】 1．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 2．把一块三角板和直尺如图所示放置，，则 ．    3．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 4．等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是50°，等腰三角形的底角度数是 ． 5．如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在等边中，E为的中点，过点E作于点D，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 7．如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【题型2.直角三角形的判定:两锐角互余】 8．在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．在中，，记的面积为的周长为，下列命题中的假命题是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 12．如图，中，的平分线交于点F，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 【题型3.命题的逆命题书写】 13．勾股定理的逆命题是（　　） A．如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么 B．如果直角三角形的斜边为c，且，那么两条直角边分别为a、b C．如果一个三角形三边长分别为a，b，c，且，那么这个三角形是直角三角形 D．如果直角三角形三边长分别为a，b，c，且，那么斜边为c 14．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 15．命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 16．已知下列命题：①若，则；②若，则；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的是 ．（只填写序号） 解答题 17．【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 【题型4.线段垂直平分线的性质定理】 18．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为，则等于（   ） A．8 B． C．6 D．4 20．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 21．如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 22．如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 解答题 23．如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为14，，求线段的长． 【题型5.线段垂直平分线的判定定理】 24．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 25．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 27．如图，在中，平分交于点于点，下列结论：①；②；③；④点在线段的垂直平分线上；⑤，其中正确的有 ．(填序号) 28．如图，在中，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点，则线段长的最小值是（    ） A． B．9 C． D．6 解答题 29．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【题型6.尺规作图:作垂线】 30．如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 31．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线交于点D，交于点E，连接．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 33．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点A在m上，点B在n上，与n相交于点D，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线m于点E，连接．若，则的度数为 ． 34．如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【题型7.角平分线的性质定理】 35．如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．三条中线的交点位置 B．三条角平分线的交点位置 C．三条高的交点位置 D．三边的垂直平分线的交点位置 37．如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ． 38．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 .39．如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是 ． 解答题 40．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【题型8.角平分线的判定定理】 41．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 43．如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 44．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有 ．（写序号） 45.．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解答题 46．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【题型9.角平分线性质的实际应用】 47．如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， 48．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 49．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．    50．如图，已知的周长是分别平分和于，且，则的面积是 ．    解答题 51．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $