专题1.5 角平分线（寒假预习讲义）（5大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

专题1.5 角平分线 知识点1：角平分线的性质定理 1.核心内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2.符号语言：如图，射线平分，点在上，且，，则。 3.注意事项：需满足“两垂直+一平分”，距离指垂线段长度；可直接用于证明两条线段相等，无需再证全等。 知识点2：角平分线的判定定理 1.核心内容：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 2.符号语言：如图，，，且，则点在的平分线上（射线是的平分线）。 3.注意事项：“角的内部”是关键条件，角外部存在到两边距离相等的点，但不在角平分线上。 知识点3：性质与判定定理对比表 类别 核心逻辑 条件要求 应用场景 性质 角平分线→距离相等 角平分线+点到两边垂直 已知角平分线，求线段相等 判定 距离相等→角平分线 点到两边垂直+距离相等+角内部 已知线段相等，判定角平分线 知识点4：三角形三条角平分线的性质 1.核心内容：三角形三条角平分线相交于一点（称为三角形的内心），且该点到三条边的距离相等。 2.内心位置：仅在三角形内部（区别于外心）。 3.应用：求三角形内到三条边距离相等的点（如建加油站、喷泉、救助站）。 知识点5：尺规作图（角平分线相关） 1.作已知角的平分线： ①以角顶点为O圆心，适当长为半径画弧，交两边于两点； ②分别以两点为圆心，大于两点间距离为半径画弧，两弧交于角内部一点； ③过顶点和交点作射线，即为角平分线。 2.过直线上/外一点作直线的垂线：借助角平分线作图逻辑，以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。 3.作到角两边距离相等的点：在角平分线上任意取点（或结合其他条件确定唯一解）。 【基础必考题型】 【题型1】利用性质求线段长度 1.核心知识点 角平分线的性质定理（）； 三角形面积公式。 2.解题方法技巧 作垂线段：过角平分线上的点向角两边作垂线，转化线段长度； 直接代入：已知垂线段长度，利用性质直接求另一条垂线段长度。 【例题1】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题1-1】.（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，平分，，，，，垂足为，则 ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，平分，，，则中边上的高的长度为 ． 【题型2】利用性质求角度 1.核心知识点 角平分线的性质； 三角形内角和定理、对顶角相等。 2.解题方法技巧 等边对等角：由垂线段相等得等腰三角形，再推导角的关系； 结合内角和：通过已知角和性质定理，逐步求出未知角。 【例题2】.（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是平分线上的一点，，垂足分别为，连接，交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系 ； （2）若，连接，则 度． 【题型3】判定角平分线 1.核心知识点 角平分线的判定定理（距离相等→角平分线）； 全等三角形的性质（证明垂线段相等）。 2.解题方法技巧 证距离相等：通过全等或直接条件证明点到角两边的垂线段相等； 下结论：满足“两垂直+距离相等+角内部”，判定该点在角平分线上。 【例题3】.（25-26八年级上·辽宁大连·期中）某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（  ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，的角平分线，相交于点．求证： (1)点到三边，，的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 【变式题3-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，点为的角平分线与外角的角平分线的交点，连接．求证：平分外角． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·江西赣州·月考）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【题型4】基础尺规作图（作角平分线/垂线） 1.核心知识点 尺规作角平分线的步骤和依据； 作垂线的逻辑（转化为作线段垂直平分线）。 2.解题方法技巧 作角平分线：严格遵循“两弧相交”，确保半径足够（大于线段长），保留弧、交点、射线痕迹； 作垂线：先找点再作垂直平分线，如过点作直线的垂线，先以为圆心画弧交于两点，再作两点连线的垂直平分线。 【例题4】.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知锐角，过点A作的垂线，垂足为点C．请你利用尺规在射线上求作一点E，使与E到射线的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）如图，在中，是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹） ①用尺规作的角平分线． ②用三角板作边上的高． ③用尺规作边上的垂直平分线． （2）如图，，是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？（不写作法，保留作图痕迹） 【变式题4-3】.（24-25七年级下·山东青岛·期末）问题：如何作的平分线? 作法： 甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线．即得为的平分线． 讨论： 大家对甲同学的作法深信不疑．认为判断是角平分线的理由是： 在与中， 与（依据：②_____） 对乙同学作法半信半疑．通过讨论最终确定判断OP为角平分线的理由是： ， （依据：③_____） 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论过程中缺少的条件和依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的说明．已知：，，说明：平分． 【培优高频题型】 【题型5】实际应用（建救助站/路灯） 1.核心知识点 三角形内心的性质（到三边距离相等）； 角平分线与线段垂直平分线的综合。 2.解题方法技巧 明确需求：若要求“到两条直线距离相等”，则在角平分线上；若同时要求“到两点距离相等”，则为角平分线与两点连线垂直平分线的交点（如景区救助站，需在平分线上且在垂直平分线上）； 尺规定位：通过作图确定唯一交点，即为所求位置。 【例题5】.（24-25八年级上·全国·期中）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【变式题5-1】.（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【变式题5-2】.（24-25八年级上·北京·期中）如图，有分别过两个加油站的公路、相交于点，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点满足到两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路、的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像 1.到点和点的距离相等； 2.到和边的距离相等 请按要求将图纸绘制完成，标注出点的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【题型6】与全等三角形综合 1.核心知识点 角平分线的性质与判定； 全等三角形的判定（HL、AAS、SAS）。 2.解题方法技巧 先用性质得相等线段：角平分线上的点到两边距离相等，为全等提供条件； 逆用判定证角平分线：由全等得垂线段相等，再判定角平分线。 【例题6】.（25-26八年级上·海南海口·期末）如图，已知锐角，为边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． (1)作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，，求证：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期中）开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风筝竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，．小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图1所示，点位于等边的内部，且． (1)的度数为__________； (2)如图2所示，延长至点，使得，连接．试证明：； (3)在（2）的条件下，若的长为2，求四边形的面积． 【变式题6-3】.（24-25八年级上·河北邯郸·期末）（1）如图1，在中，平分交于，于，于．求证：； （2）如图2，在（1）的情况下，如果，的两边分别与相交于两点，其他条件不变，请探究三条线段的等量关系．并加以证明； （3）如图3，在中，，平分交于，，，求四边形的周长． 【压轴素养题型】 【题型7】与线段垂直平分线综合 1.核心知识点 角平分线的性质； 线段垂直平分线的性质。 2.解题方法技巧 双性质结合：连接垂直平分线上的点与线段端点，得线段相等；过角平分线上的点作垂线段，得距离相等； 证全等得结论：通过证明直角三角形全等，推导最终结论。 【例题7】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． 求证：点D在的垂直平分线上． 【变式题7-1】.（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，平分交于D，，点M在的垂直平分线上，交于O，于点G，于点F．    (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点D在的垂直平分线上，试判断的形状，并说明理由． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，平分交于D 点，且D 点在线段的垂直平分线上． (1)求的度数； (2)当时，求的值． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图1，已知为直线同侧的两点，连接，若，则称点为点关于直线的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，为上一点，点、关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为2，直线垂直平分边，点为，关于直线“等角点”，连接，，当时，的值为_____． 【题型8】最值问题（垂线段最短+角平分线） 1.核心知识点 角平分线的性质； 垂线段最短定理。 2.解题方法技巧 转化目标：将最值问题转化为垂线段长度； 结合性质：利用角平分线性质，快速求出垂线段长度。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，小明认为点C一定也在的平分线上，你认为对吗？在点B在运动过程中，当线段取最小值时，求的度数． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，平分，，，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长： (3)当时，请在，上分别找一点M，N，使的周长最小，并求出最小值． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·江苏常州·月考）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为，网格中有一个．    (1)请直接写出的面积为 ． (2)利用方格找出点、、关于直线MN的对称点、、，并顺次连接、、三点． (3)若点是直线上的一个动点，则的最小值为 ． (4)在直线上找一点，使到，的距离相等，此时与的位置关系是 ． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，射线平分，，，． (1)求证：； (2)若线段，求线段的长； (3)已知点M、N分别是、上的两个动点，且均不与点O重合，连接、和．若，求的周长的最小值． 易错点 1.忽略“角的内部”条件：误将角外部到两边距离相等的点判定在角平分线上； 2.尺规作图失误：作角平分线时半径小于两点间距离，导致两弧无交点； 3.混淆性质与判定：误将“距离相等→角平分线”说成性质，或“角平分线→距离相等”说成判定； 4.内心位置误解：认为三角形内心可能在外部（实际仅在内部，区别于外心）。 重点 1.掌握角平分线的性质与判定定理，能灵活转化线段与角的关系； 2.理解三角形内心的定义、性质及应用，解决实际选址问题； 3.熟练掌握尺规作图（作角平分线、垂线），规范保留作图痕迹； 4.能结合全等、线段垂直平分线等知识，解决综合型几何问题。 难点 1.动态问题的分类讨论：动点运动时，结合角平分线性质探究等腰、直角三角形的存在性，避免漏解； 2.最值问题的转化：利用“垂线段最短”和角平分线性质，将复杂最值问题转化为垂线段长度求解； 3.综合题的辅助线添加：如过角平分线上的点作垂线段、截取相等线段构造全等，突破解题瓶颈； 4.开放探究题的推理：由结论逆向推导条件，或由条件探究多元结论，考验逻辑推理能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 2．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（   ） A．3 B．4 C． D．2 3．用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A．说明的依据是 B． C．上任意一点到两边的距离相等 D．点M，N到的距离不相等 4．如图，在等腰中，，与的角平分线交于点D，若，， 则的长为（ ） A．7 B．8 C． D． 5．如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 6．如图，在中，，是的角平分线，则 ． 7．如图，在中，，是三条角平分线的交点，，，则点到的距离是 ． 8．如图，已知在中，，，点是的中点，连接，的平分线交于点，那么的长度是 ． 9．如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为 ． 10．如图，在四边形中，已知，平分，．若，，则的长为 ． 三、解答题 11．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格） (1)________；（直接写出结果） (2)请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明； (3)请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） 12．如图，在中，平分． (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 13．如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． (1)若，，，的面积为20，求的面积； (2)若是的垂直平分线，求的度数． 14．为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在区建立一个蔬菜配送中心，、两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法，要写答句） 15．如图，分别以的边，向外作等边三角形和等边三角形，线段与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 角平分线 知识点1：角平分线的性质定理 1.核心内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2.符号语言：如图，射线平分，点在上，且，，则。 3.注意事项：需满足“两垂直+一平分”，距离指垂线段长度；可直接用于证明两条线段相等，无需再证全等。 知识点2：角平分线的判定定理 1.核心内容：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 2.符号语言：如图，，，且，则点在的平分线上（射线是的平分线）。 3.注意事项：“角的内部”是关键条件，角外部存在到两边距离相等的点，但不在角平分线上。 知识点3：性质与判定定理对比表 类别 核心逻辑 条件要求 应用场景 性质 角平分线→距离相等 角平分线+点到两边垂直 已知角平分线，求线段相等 判定 距离相等→角平分线 点到两边垂直+距离相等+角内部 已知线段相等，判定角平分线 知识点4：三角形三条角平分线的性质 1.核心内容：三角形三条角平分线相交于一点（称为三角形的内心），且该点到三条边的距离相等。 2.内心位置：仅在三角形内部（区别于外心）。 3.应用：求三角形内到三条边距离相等的点（如建加油站、喷泉、救助站）。 知识点5：尺规作图（角平分线相关） 1.作已知角的平分线： ①以角顶点为O圆心，适当长为半径画弧，交两边于两点； ②分别以两点为圆心，大于两点间距离为半径画弧，两弧交于角内部一点； ③过顶点和交点作射线，即为角平分线。 2.过直线上/外一点作直线的垂线：借助角平分线作图逻辑，以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。 3.作到角两边距离相等的点：在角平分线上任意取点（或结合其他条件确定唯一解）。 【基础必考题型】 【题型1】利用性质求线段长度 1.核心知识点 角平分线的性质定理（）； 三角形面积公式。 2.解题方法技巧 作垂线段：过角平分线上的点向角两边作垂线，转化线段长度； 直接代入：已知垂线段长度，利用性质直接求另一条垂线段长度。 【例题1】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到两边的距离相等，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据题意可得，由角平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 平分，，， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，平分，，，，，垂足为，则 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，，则为等腰三角形，可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，，， ，， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为：8． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，平分，，，则中边上的高的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是角平分线的性质，直接根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴点D到角的两边的距离相等， ∵， ∴中边上的高是2． 故答案为：2． 【题型2】利用性质求角度 1.核心知识点 角平分线的性质； 三角形内角和定理、对顶角相等。 2.解题方法技巧 等边对等角：由垂线段相等得等腰三角形，再推导角的关系； 结合内角和：通过已知角和性质定理，逐步求出未知角。 【例题2】.（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的判定定理，过点D作于H，则，由角平分线的判定定理可得平分，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵中边上的高为3， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是平分线上的一点，，垂足分别为，连接，交于点．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及角度的计算；根据已知条件可以推导出是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得出的度数. 【详解】解：是平分线上一点 则是等腰三角形 故选：C ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵到，的距离均为米， ∴是的角平分线， ∵， ∴ 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系 ； （2）若，连接，则 度． 【答案】 50 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，则，由此即可得； （2）连接，过点作的垂线，垂足分别为点，先求出，再根据角平分线的性质定理可得，，则，根据角平分线的判定可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）如图，连接，过点作的垂线，垂足分别为点， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， 故答案为：50． 【题型3】判定角平分线 1.核心知识点 角平分线的判定定理（距离相等→角平分线）； 全等三角形的性质（证明垂线段相等）。 2.解题方法技巧 证距离相等：通过全等或直接条件证明点到角两边的垂线段相等； 下结论：满足“两垂直+距离相等+角内部”，判定该点在角平分线上。 【例题3】.（25-26八年级上·辽宁大连·期中）某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（  ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， ，， 平分． 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，的角平分线，相交于点．求证： (1)点到三边，，的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质． （1）作，，，由角平分线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由（1）可知，根据角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点，于点，于点， ∵的角平分线，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，的距离相等． （2）证明：由（1）可知， 又∵，， ∴点在的角平分线上， 又∵的角平分线，相交于点， ∴的三条角平分线交于一点． 【变式题3-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，点为的角平分线与外角的角平分线的交点，连接．求证：平分外角． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 作于，于，于，先根据角平分线的性质得到，，利用等量代换得到，然后根据角平分线定理的逆定理可得结论． 【详解】解：如图，作于，于，于， 点为的角平分线与外角的角平分线的交点， ，， ， 平分外角． 【变式题3-3】.（24-25八年级上·江西赣州·月考）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2）解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4】基础尺规作图（作角平分线/垂线） 1.核心知识点 尺规作角平分线的步骤和依据； 作垂线的逻辑（转化为作线段垂直平分线）。 2.解题方法技巧 作角平分线：严格遵循“两弧相交”，确保半径足够（大于线段长），保留弧、交点、射线痕迹； 作垂线：先找点再作垂直平分线，如过点作直线的垂线，先以为圆心画弧交于两点，再作两点连线的垂直平分线。 【例题4】.（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知锐角，过点A作的垂线，垂足为点C．请你利用尺规在射线上求作一点E，使与E到射线的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，由角平分线的性质可得点E在的角平分线上，据此作的角平分线交于E即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【详解】（1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； 如图，即为所求． （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）如图，在中，是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹） ①用尺规作的角平分线． ②用三角板作边上的高． ③用尺规作边上的垂直平分线． （2）如图，，是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了尺规作图． （1）①根据角平分线的做法作图即可； ②利用直角三角板，一条直角边与重合，另一条直角边过点A，再画垂线即可； ③根据线段垂直平分线的作法作图； （2）连接，作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②高即为所求； ③为的垂直平分线； （2）如图，点为所求． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·山东青岛·期末）问题：如何作的平分线? 作法： 甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线．即得为的平分线． 讨论： 大家对甲同学的作法深信不疑．认为判断是角平分线的理由是： 在与中， 与（依据：②_____） 对乙同学作法半信半疑．通过讨论最终确定判断OP为角平分线的理由是： ， （依据：③_____） 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论过程中缺少的条件和依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的说明．已知：，，说明：平分． 【答案】(1)①；②；③“三线合一” (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）结合甲同学的做法和乙同学的做法图形，完善推理步骤即可； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：①   ②   ③“三线合一” （2） 证明：， ， ， ，     平分 【培优高频题型】 【题型5】实际应用（建救助站/路灯） 1.核心知识点 三角形内心的性质（到三边距离相等）； 角平分线与线段垂直平分线的综合。 2.解题方法技巧 明确需求：若要求“到两条直线距离相等”，则在角平分线上；若同时要求“到两点距离相等”，则为角平分线与两点连线垂直平分线的交点（如景区救助站，需在平分线上且在垂直平分线上）； 尺规定位：通过作图确定唯一交点，即为所求位置。 【例题5】.（24-25八年级上·全国·期中）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求． 【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的角平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点． 故选：A 【变式题5-1】.（25-26八年级上·上海·期末）如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）解：如图所示，、、、即为加油站的位置， （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 【变式题5-2】.（24-25八年级上·北京·期中）如图，有分别过两个加油站的公路、相交于点，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点满足到两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路、的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查的是尺规作图的应用，包括作角的平分线、作线段的垂直平分线，以及线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，熟练掌握常用的尺规作图方法是解题的关键．连接，作的垂直平分线，再作的平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为油库的所在地． 【详解】解：如下图，点即为油库应该修建的位置． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像 1.到点和点的距离相等； 2.到和边的距离相等 请按要求将图纸绘制完成，标注出点的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查作图与应用设计作图，掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 作边的垂直平分线和的平分线，两直线交于点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【题型6】与全等三角形综合 1.核心知识点 角平分线的性质与判定； 全等三角形的判定（HL、AAS、SAS）。 2.解题方法技巧 先用性质得相等线段：角平分线上的点到两边距离相等，为全等提供条件； 逆用判定证角平分线：由全等得垂线段相等，再判定角平分线。 【例题6】.（25-26八年级上·海南海口·期末）如图，已知锐角，为边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． (1)作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，，求证：． 【答案】(1)画图见详解； (2)证明过程见详解； 【分析】本题考查用直尺和圆规作角的平分线，三角形全等的判定和性质以及垂直的判定； （1）按用直尺和圆规作角平分线的步骤作图即可； （2）先证明得，结合对顶角证即可． 【详解】（1）解：如图射线即为所求； （2）证明： ，为边上的高， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期中）开封风筝是河南开封地区传统民间工艺品．开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色．每年农历正月至三月的庙会上，各式各样的风筝竞相牵放，景象十分壮观．图1是小华制作的风筝，图2是风筝骨架的示意图，其中，．小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】正确，理由见详解 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质． 利用即可证明；根据全等三角形的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】解：小华的发现是正确的，理由如下： 在和中， ， ∴； ∴， 即平分． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图1所示，点位于等边的内部，且． (1)的度数为__________； (2)如图2所示，延长至点，使得，连接．试证明：； (3)在（2）的条件下，若的长为2，求四边形的面积． 【答案】(1)120； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线． （1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理解答即可； （2）证明，可得，即可解答； （3）作于点，延长线于点，利用角平分线的定理可得，求得，结合即可解答． 【详解】（1） 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：120． （2）证明：在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，作于点，延长线于点， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 又由（2）得，， ∴ ． 【变式题6-3】.（24-25八年级上·河北邯郸·期末）（1）如图1，在中，平分交于，于，于．求证：； （2）如图2，在（1）的情况下，如果，的两边分别与相交于两点，其他条件不变，请探究三条线段的等量关系．并加以证明； （3）如图3，在中，，平分交于，，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）由角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明结论； （2）由（1）可知，，证明，得到，即可得出结论； （3）过点作于点，利用等角对等角，得到，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，从而求出，，同（1）理可证，，同（2）理可证明，得到，，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：平分，，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 由（1）可知，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 同（1）理可证，， ，， ， 同（2）理可证明， ，， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【压轴素养题型】 【题型7】与线段垂直平分线综合 1.核心知识点 角平分线的性质； 线段垂直平分线的性质。 2.解题方法技巧 双性质结合：连接垂直平分线上的点与线段端点，得线段相等；过角平分线上的点作垂线段，得距离相等； 证全等得结论：通过证明直角三角形全等，推导最终结论。 【例题7】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． 求证：点D在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，连接，，过点D作于E，作交的延长线于F，证明，进一步证明，从而可得结论． 【详解】证明：连接，， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点D作于E，作交的延长线于F， ， 在和中， ， ∴ ， ∴点D在的垂直平分线上． 【变式题7-1】.（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，平分交于D，，点M在的垂直平分线上，交于O，于点G，于点F．    (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点D在的垂直平分线上，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)2； (3)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）由角平分线的性质可得，由余角的性质可得结论； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由线段垂直平分线的性质可求，由等腰三角形的性质可求，由三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴，， ∵点M在的垂直平分线上， ∴，且， ∴， ∴，， ∴； （3）∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴，且，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明全等三角形是本题的关键． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，平分交于D 点，且D 点在线段的垂直平分线上． (1)求的度数； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查角平分线、垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据题意，可得，又平分，则，进而得到，结合内角和即可得到； （2）由30度直角三角形的性质，得，结合，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图1，已知为直线同侧的两点，连接，若，则称点为点关于直线的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，为上一点，点、关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为2，直线垂直平分边，点为，关于直线“等角点”，连接，，当时，的值为_____． 【答案】（1）是点关于直线的“等角点”，理由见解析；（2）4 【分析】本题考查三角形的内角平分线性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，理解新定义并正确运用新定义是解题关键； （1）由轴对称性质可得，结合已知推出，根据“等角点”的定义，可得出答案； （2）连接，，过点作于点D，由三角形平分线性质可得平分，即，得出，再由线段垂直平分线的性质得出，推出在同一条直线上，即可求得答案． 【详解】解：（1）是点关于直线的“等角点”，理由如下： ∵点、关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴是点关于直线的“等角点”． （2）连接，，过点作于点D，如图所示： ∵，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵直线垂直平分边， ∴， ∵点P为O、B关于直线“等角点”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在同一条直线上， ∴． 故答案为：4． 【题型8】最值问题（垂线段最短+角平分线） 1.核心知识点 角平分线的性质； 垂线段最短定理。 2.解题方法技巧 转化目标：将最值问题转化为垂线段长度； 结合性质：利用角平分线性质，快速求出垂线段长度。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，小明认为点C一定也在的平分线上，你认为对吗？在点B在运动过程中，当线段取最小值时，求的度数． 【答案】正确； 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．连接，过作于点，作于点，作于点，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【详解】解：连接，过作于点，作于点，作于点， 由题意可得：，， ， 平分，则小明的观点正确， ， ， ， ∴当时，最小，． ． 【变式题8-1】.（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，平分，，，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长： (3)当时，请在，上分别找一点M，N，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，最小周长为12 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形，轴对称-最短路线问题，运用相关知识进行解题是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得从而可得； （2）过点P作得，由角平分线性质定理得； （3）设点P关于的对称点为，关于的对称点为，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：作于点E，如图， ∵P是平分线上一点，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； （3）解：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点M、N，连接， ∵点P关于的对称点为，关于的对称点为， ∴； ∵点P关于的对称点为， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·江苏常州·月考）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为，网格中有一个．    (1)请直接写出的面积为 ． (2)利用方格找出点、、关于直线MN的对称点、、，并顺次连接、、三点． (3)若点是直线上的一个动点，则的最小值为 ． (4)在直线上找一点，使到，的距离相等，此时与的位置关系是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了应用设计与作图，轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． （1）直接利用三角形的面积公式求解即可； （2）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案； （4）作的平分线交于点，点即为所求，过点作于点，于点，则四边形是正方形，，得到，，推出，即可求解． 【详解】（1）解：的面积为， 故答案为：； （2）解：如图即为所求：    （3）解：如图，连接交于点，连接， 则的最小值为， 故答案为：；    （4）解：如图，作的平分线交于点，点即为所求，过点作于点，于点， 则四边形是正方形，， ，， ， ， 此时与的位置关系是， 故答案为：．    【变式题8-3】.（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，射线平分，，，． (1)求证：； (2)若线段，求线段的长； (3)已知点M、N分别是、上的两个动点，且均不与点O重合，连接、和．若，求的周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)8 【分析】（1）根据平行线＋角平分线即可证明等腰三角形； （2）过点C作，根据角平分线的性质得到，然后导角得到，再根据角直角三角形性质求解； （3）分别作点C关于、的对称点、，连接，分别交、于点M、N，则，，，，根据两点之间线段最短得到：的周长最小值为，连接、，求出．证明是等边三角形，则． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点C作． ∵平分，， ∴． ∵， ∴，则． ∵， ∴． ∴； （3）解：如图，分别作点C关于、的对称点、，连接，分别交、于点M、N． ∴，，，， 根据两点之间线段最短得到：的周长最小值为． 连接、． ∵、分别垂直平分、， ∴， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴的周长最小值为8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，角直角三角形性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，正确构造辅助线是解题的关键． 易错点 1.忽略“角的内部”条件：误将角外部到两边距离相等的点判定在角平分线上； 2.尺规作图失误：作角平分线时半径小于两点间距离，导致两弧无交点； 3.混淆性质与判定：误将“距离相等→角平分线”说成性质，或“角平分线→距离相等”说成判定； 4.内心位置误解：认为三角形内心可能在外部（实际仅在内部，区别于外心）。 重点 1.掌握角平分线的性质与判定定理，能灵活转化线段与角的关系； 2.理解三角形内心的定义、性质及应用，解决实际选址问题； 3.熟练掌握尺规作图（作角平分线、垂线），规范保留作图痕迹； 4.能结合全等、线段垂直平分线等知识，解决综合型几何问题。 难点 1.动态问题的分类讨论：动点运动时，结合角平分线性质探究等腰、直角三角形的存在性，避免漏解； 2.最值问题的转化：利用“垂线段最短”和角平分线性质，将复杂最值问题转化为垂线段长度求解； 3.综合题的辅助线添加：如过角平分线上的点作垂线段、截取相等线段构造全等，突破解题瓶颈； 4.开放探究题的推理：由结论逆向推导条件，或由条件探究多元结论，考验逻辑推理能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 2．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（   ） A．3 B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】. 本题考查了作图﹣基本作图和角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 故选：D． 3．用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A．说明的依据是 B． C．上任意一点到两边的距离相等 D．点M，N到的距离不相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质．根据作图可得，证明即可判断A；根据作图即可判断B；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断C；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断D． 【详解】解：A、由作图可知：， 又， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、由作图可得：，故B正确，不符合题意； C、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴上任意一点到两边的距离相等， 故C正确，不符合题意； D、过点N作于点P，过点M作于点Q，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 4．如图，在等腰中，，与的角平分线交于点D，若，， 则的长为（ ） A．7 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键． 根据分别是与的角平分线，，求得，延长交于点E，过点D作，设长度为x，根据含角的直角三角形的性质和角平分线的性质，用含x的式子将线段表示出来，根据用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：， ， 分别是与的角平分线， ， ， ， 如图，延长交于点E，过点D作， 设长度为x， 是等腰三角形， ， 平分， ， ，， 平分，， ，， ， 根据勾股定理，可得， 即， 解得或（不合题意舍去）， 线段的长度为． 故选：D． 5．如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，， ，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 二、填空题 6．如图，在中，，是的角平分线，则 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等． 过点作于点，先由勾股定理求出，根据角平分线的性质定理得到，设，再由面积法得到，然后建立方程即可求解． 【详解】解：过点作于点 ∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， 设，则 ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，，是三条角平分线的交点，，，则点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形三条角平分线的性质，熟练掌握三角形三条角平分线的性质是解题的关键； 根据勾股定理求得边AB的长，再根据三角形三条角平分线交点的性质设出未知数，运用面积公式求解． 【详解】解：，，， ． 是三条角平分线的交点， 点到三边的距离相等，设这个距离为． 由，得 ， 即， ． 故答案为：． 8．如图，已知在中，，，点是的中点，连接，的平分线交于点，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，解题的关键是正确添加辅助线求解．过点作于点，先由等腰三角形的性质以及勾股定理得到，，，再由角平分线性质定理得到，设，最后根据面积法建立方程求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，，点是的中点， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点，， ∴， 设，则 ∵， ∴， 解得， ∴的长度是， 故答案为：． 9．如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，如图所示，过点P作交于点M，过点P作交于点N，然后根据题意分两种情况讨论，当点D在点时，由角平分线的性质得到，证明出，得到，进而求解即可；当点D在点时，利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，过点P作交于点M，过点P作交于点N，当点D在点时， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点D在点时， ∵ ∴ 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 10．如图，在四边形中，已知，平分，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质．作，，垂足分别为，，利用勾股定理求得，设，，利用等积法求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，得到，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，， ∵平分，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∵，即， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格） (1)________；（直接写出结果） (2)请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明； (3)请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】(1)4； (2)见详解； (3)见详解； 【分析】本题考查在网格中只用无刻度的直尺作角平分线，角平分线的性质； （1）观察图形即可解答； （2）过点B连接小正方形对角线即可解答； （3）根据角平分线的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图可知小正方形的边长均为1，占4个边长则； （2）解：如图即为所求， 由图可知，且点在格点上， ∵正方形对角线平分两个对角， ∴连接小正方形的对角线，即为的平分线； （3）解：如图， 过点作于点，且，再过点作于点，且， ∵，且, ∴是的平分线． 12．如图，在中，平分． (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图和垂直平分线的性质．熟悉垂直平分线的尺规作图方法和垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，垂直平分线与、的交点即为所求点． （2）根据角平分线的性质和外角定理，即可得到的度数． 【详解】（1）解：如图，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，这条垂直平分线与、的交点即为所求的点，直线即为所求直线． （2）解：∵，平分， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴． 13．如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． (1)若，，，的面积为20，求的面积； (2)若是的垂直平分线，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）过D作于E，过D作于F，过D作于G，由角平分线的性质定理得出，再结合计算得出，即可得出结果； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由角平分线的定义可得，求出，再由角平分线的定义可得，，最后由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：过D作于E，过D作于F，过D作于G， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在区建立一个蔬菜配送中心，、两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法，要写答句） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，线段的垂直平分线，涉及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先连接线段，然后作出线段的垂直平分线，再作出两公路m、n夹角的角平分线，与线段的垂直平分线相交于点，根据角平分线的性质定理可知点E到m、n的距离相等和线段垂直平分线的性质知，即点为所求． 【详解】解：如图，点即为所求； 15．如图，分别以的边，向外作等边三角形和等边三角形，线段与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用． （1）根据等边三角形性质得出，，，求出．根据证即可． （2）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和即可求出答案． （3）过点分别作，，垂足为点，．根据三角形的面积公式求出，根据角平分线性质求出即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 在中， ． （3）证明：过点分别作，，垂足为点，． 由（1）知：， ， ， 点在的平分线上， 即平分． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $