精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市建华区部分学校2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 抛物线交点坐标为，算出即可. 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题. 2. 某校高一年级有1000人，高二年级有800人，高三年级有600人，按年级进行分层，用比例分配的分层随机抽样的方法从该校学生中抽取48人，则高一年级抽取的人数为（ ） A. 20人 B. 24人 C. 27人 D. 28人 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义计算. 【详解】高一年级抽取的人数为人. 故选：A. 3. 2024年巴黎奥运会金牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的众数与第75百分位数之差为（ ） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先查出这组数据的众数，再运用百分位数的求法求这组数据的第75百分位数，两者相减即可. 【详解】将题中数据按从小到大排列为13，14，15，16，18，20，40，40，则众数为40， 因为，所以第75百分位数为， 所以众数与第75百分位数之差为. 故选：D. 4. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.040 C. 0.042 D. 0.048 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”； 所以 即任取一个零件是次品的概率为， 故选：C. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】计算两圆的圆心距并与两圆半径之和比较，即可得答案. 【详解】由题知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 所以，所以圆与圆外切. 故选：C. 6. 7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（ ） A. 960 B. 980 C. 1060 D. 1260 【答案】A 【解析】 【分析】先把甲乙相邻的总数算出来，然后把其中丙站两端算出来，最后相减. 【详解】甲、乙相邻，有种不同排法，其中丙站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丙不能站两端的站法有种. 故选：A. 7. 某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（ ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 80 B. 100 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】完成列联表，计算，即可求出正整数的最小值. 【详解】完成列联表如下： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 则，解得. 又为正整数，且是5的倍数，可得的最小值为100. 故选：B. 8. 已知点是抛物线：上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设点，的坐标为，，表示出的斜率，根据可得，再结合直线的斜率是直线的斜率的2倍，可得，联立即可求得答案. 【详解】设点，的坐标分别为，， 则，，. 因为，所以，整理得①. 又直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，整理得②. 由①②解得，所以直线的斜率为1. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性及数学期望计算分别判断各个选项. 【详解】由正态分布的定义知，A正确； 由，得，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：AB. 10. 已知双曲线：的焦距为，点，是的左、右顶点，，是的左、右焦点，为双曲线上除两点外的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则或5 C. 直线与直线的斜率之积为 D. 点到的两条渐近线的距离之积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由焦距等于可列出方程求解；对于B：运用双曲线的定义，求出，再判断其是否满足焦半径的取值范围，即可得解；对于C，设出点，表示出斜率之积，结合点在双曲线上，即可得解；对于D，根据双曲线方程求出两条渐近线，设出点，表示出点到两条渐近线的距离之积，结合点在双曲线上，即可得解. 【详解】，可转化为 对于A： 由，解得，故A正确； 对于B：由A可知，双曲线，，由双曲线的定义知， 解得或，根据焦半径的取值范围， 解得的或均符合条件，故B正确； 对于C：设，则.又，， 所以，故C错误； 对于D：双曲线的渐近线方程为或， 则，即点到的两条渐近线的距离之积为定值，故D正确. 故选：ABD. 11. 甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮甲、乙投中的概率分别为和，且每轮甲、乙投中与否互不影响，各轮之间也互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 一轮比赛中乙获胜的概率为 B. 若在8轮比赛中甲获胜的次数的数学期望为2，则的最小值为 C. 若且，则一轮比赛中平局的概率大于 D. 若，且在4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由独立事件的乘法公式即可判断；对于B，先计算一轮中甲获胜的概率，再由即可得到；对于C，由题可得一轮中平局的概率即可判断；对于D，当时，一轮中甲获胜的概率，则4轮比赛中，甲获胜2次的概率为即可求解. 【详解】一轮比赛中乙获胜，即乙投中甲未投中，其概率为，故A正确； 一轮比赛中甲获胜的概率为，由，知，故， 所以（当且仅当时取等号）， 可得的最小值为0，故B错误； 一轮比赛中平局的概率为，故C正确； 若，一轮比赛中甲获胜的概率， 则4轮比赛中，甲获胜2次的概率为， 解得或，当时，解得或，当时，方程无解， 综上，或，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与平行，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将两直线方程转化成斜截式，根据条件得，即可求解. 【详解】由，得到，易知直线的斜率存在，且斜率为， 因为，则的斜率存在，即，由，得到 则直线的斜率为，由，得，解得， 故答案为：. 13. 袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】设事件为第一次摸出黑球，事件为第二次摸出黑球，根据条件，利用古典概率公式求出，再由条件概率公式，即可求解. 【详解】设事件为第一次摸出黑球，事件为第二次摸出黑球，从5个球中不放回地随机摸出2个球， 试验的样本空间，又两次均摸出黑球为， 所以，又易知， 由条件概率公式，知在第1次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率， 故答案为：. 14. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，直线和直线分别与交于另一点和.若，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，表示出，，，根据，可得以及，结合，可解得，继而根据可得的关系式，即可求得答案. 【详解】设，，，，（c为椭圆的半焦距）， 则，，， 由于，，， 在中，由，可得， 整理得① 在中，由，则， 整理得② 由②①，整理得.又，联立解得， 在中，由，可得， 整理得， 故椭圆的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量.某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 14 17 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程； （2）若某户家庭人口数为8，预测该户茶产业年收入. 参考公式：经验回归方程，其中，. 【答案】（1） （2）25.7万元 【解析】 【分析】（1）由已知表格中的数据结合给定公式求得的值，代入回归直线方程即可； （2）在（1）求得的线性回归方程中，将代入，求得值即可. 【小问1详解】 由题知，. ，. 所以， ， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 当时，， 故当某户家庭人口数为8时，预测该户茶产业的年收入为25.7万元. 16. 已知. （1）若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. （2）证明：能被4整除. 【答案】（1）（i）；（ii）240. （2） 因为 ， 故能被4整除. 【解析】 【分析】（1）（i）应用赋值法计算求出参数；（ii）应用二项式通项公式计算求解常数项； （2）应用二项式展开式计算证明整除. 【小问1详解】 （i）由题知，解得. （ii）展开式的第项为. 令，得，故常数项为第5项，且， 即展开式中的常数项为240. 【小问2详解】 略 17. 某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； （2）从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】（1）71.2 （2） 2 3 4 ，. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出测试成绩的平均数； （2）求出测试成绩在区间和内的学生的人数，得到可能的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望和方差. 【小问1详解】 由图知测试成绩的平均数为： . 【小问2详解】 测试成绩在区间内的学生人数为人， 测试成绩在区间内的学生人数为人， 所以的可能取值为2，3，4. 故，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以， . 18. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围； （3）若为圆上的动点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定圆心坐标和半径，可得圆的标准方程. （2）问题转化为两圆有公共点，利用圆心距与两圆半径和差的关系，列式可求的取值范围. （3）利用圆的方程，可把问题转化为直线与圆有公共点的问题，再利用点到直线的距离不大于圆的半径列式可得的取值范围. 【小问1详解】 设圆心的坐标为， 由，得，解得， 所以圆心，半径为5， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图： 由，知点在以线段为直径的圆上， 由，知圆心，圆的半径为1，且圆与圆有交点， 故，解得或， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 设点的坐标为，则，整理得， 所以 ， 令，则直线与圆有公共点，即，解得， 则，所以的取值范围为. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：由（1）知，设的坐标分别为. 当直线的斜率为0时，，则，， 当时，，解得，则中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则， 由，知 解得或2， 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. ②9 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和双曲线上点的坐标确定的值，可得双曲线的标准方程. （2）①分直线的斜率是否为0分类讨论.当直线斜率不为0时，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的关系，确定直线过定点. ②结合①的结论，利用表示出的面积，利用函数的单调性求其最小值. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②解：由①知当时，， 由，得， 的面积为 ， 又， 设，则，， 因为在上单调递减，，， 所以. 即， 所以，当时，等号成立， 所以面积的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 某校高一年级有1000人，高二年级有800人，高三年级有600人，按年级进行分层，用比例分配的分层随机抽样的方法从该校学生中抽取48人，则高一年级抽取的人数为（ ） A. 20人 B. 24人 C. 27人 D. 28人 3. 2024年巴黎奥运会金牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的众数与第75百分位数之差为（ ） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 4. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.040 C. 0.042 D. 0.048 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交 6. 7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（ ） A. 960 B. 980 C. 1060 D. 1260 7. 某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表： 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 若通过计算，可得根据小概率值的独立性检验，认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数的最小值为（ ） 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 80 B. 100 C. 120 D. 150 8. 已知点是抛物线：上位于第一象限内一点，为上位于第四象限内一点，为坐标原点，，且直线的斜率是直线的斜率的2倍，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线：的焦距为，点，是的左、右顶点，，是的左、右焦点，为双曲线上除两点外的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则或5 C. 直线与直线的斜率之积为 D. 点到的两条渐近线的距离之积为定值 11. 甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮甲、乙投中的概率分别为和，且每轮甲、乙投中与否互不影响，各轮之间也互不影响，则下列说法正确的是（ ） A. 一轮比赛中乙获胜的概率为 B. 若在8轮比赛中甲获胜的次数的数学期望为2，则的最小值为 C. 若且，则一轮比赛中平局的概率大于 D. 若，且在4轮比赛中，甲获胜2次的概率为，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与平行，则________. 13. 袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是________. 14. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，直线和直线分别与交于另一点和.若，则的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 茶产业不仅是产业发展的新引擎，更是实现乡村振兴的关键力量.某山区农村茶产业合作社统计了村民每户家庭人口数与每户茶产业年收入的情况，统计结果如下表： 每户家庭人口数（人） 3 4 5 6 每户茶产业年收入（万元） 5 8 14 17 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程； （2）若某户家庭人口数为8，预测该户茶产业年收入. 参考公式：经验回归方程，其中，. 16. 已知. （1）若的展开式的二项式系数和为64. （i）求的值； （ii）求展开式中的常数项. （2）证明：能被4整除. 17. 某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； （2）从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 18. 已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）设，若圆上存在点，使得，求实数的取值范围； （3）若为圆上的动点，求的取值范围. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $