精品解析：黑龙江省龙江教育联盟2025-2026学年高三上学期1月期末数学试卷

高三数学试卷 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A,B，再应用交集定义计算求解. 【详解】由，，得， 所以中元素的个数为3. 故选：B. 2. 已知为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求解. 【详解】，又为纯虚数，所以，得， 故选：C. 3. 记等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 18 B. 28 C. 30 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质和可得，进而由得，进而可得，得. 【详解】由，得，所以，又，所以公差， 故，则. 故选：A 4. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先化简变形再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由题意得， 所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号， 当时，所以的最大值为2. 故选：A. 5. 已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据侧面积公式得上下底面的半径，进而可得圆台的高，根据圆台体积公式可得. 【详解】 设圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则， 解得，则， 所以该圆台的体积为. 故选：C 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及平方关系、和角正弦公式得，且，利用正弦函数的单调性有，进而得到的正余弦值，即可得. 【详解】因为①，②， 由①+②得，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又函数在上单调递增，所以，即， 所以，所以. 故选：B 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与的右支交于点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义及可判断是等边三角形，再结合在中根据求离心率. 【详解】由题意得点在第一象限，，由双曲线的定义得， 所以， 因为，所以，连接，则， 所以，即， 所以为等边三角形，即， 在中（为坐标原点），， 所以的离心率. 故选：B. 8. 已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，应用分段函数时，， 时 ，， 分别构造函数应用导数得出单调性进而得出最值，最后确定零点即可求出参数. 【详解】令，当时，， 令，则，令，则；令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以当时， 方程无实数根； 当时，方程有1个根； 当时，方程有2个根； 当时，方程 有1个 根 . 当 时 ，， 令 且， 则 ， 由 ， 知在和上单调递减，当时，，当时，， 所以当时，方程无实数根， 当或时，方程有1个根， 综上可知，当和时，方程有1个根. 当时，方程有3个根， 当，及时，方程有2个根， 所以当时，函数有3个零点. 故选：D. 二、选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知向量，，，，且，则（） A. 与的夹角为 B. 在上的投影向量为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量夹角余弦公式计算求解判断A，应用投影向量公式计算判断B，应用向量垂直及平行的坐标公式计算求解判断C，应用模长坐标公式计算判断D. 【详解】，与的夹角为，所以A正确； 因为在上的投影向量为，所以B正确； 由且，得， 解得或，则或，所以C不正确； 当时，， 当时，，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，且，为上任意一点，为圆上任意一点，则（ ） A. B. C. 可能是等腰三角形 D. 点到直线的最小距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】先设点的坐标再联立方程结合焦点半径公式计算判断A，结合A应用弦长公式计算判断B，应用抛物线定义判断C，应用点到直线距离公式及半径得出最小距离判断D. 【详解】设，， 由，得， 由， 得，又， 所以， 又，所以，故A正确； 因为，，所以，故B不正确； 设的准线与圆的切点坐标为，直线与的交点为，根据抛物线的定义，所以可能是等腰三角形，故C正确； 直线，即，则点到直线的距离，则点到直线的最小距离为，故D不正确. 故选：AC. 11. 记数列的前项和为，，，当时，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知及的关系得到，结合等比数列的定义判断A，进而得到，再依次判断B、C，再由，应用等比数列的前n项和求和，结合单调性判断D. 【详解】因为，则， 所以，则，又满足上式， 所以数列是等比数列，数列不是等比数列，A错； 所以，，所以，B对； 所以，数列是以4为首项，2为公差的等差数列，C对； 因为，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为函数为增函数，所以，D对. 故选：BCD 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共分. 12. 展开式中含项的系数为_____ 【答案】20 【解析】 【分析】应用两项乘积的二项式展开式计算求解系数即可. 【详解】展开式的通项公式为， ， 展开式的一般项为 由，得，符合题意； 展开式的一般项为 由，得(舍去)， 所以含项的系数为. 故答案为：20. 13. 已知函数，，，则_____ 【答案】2029 【解析】 【分析】先根据已知条件推导出函数的周期，再利用周期性求出一个周期内的函数值之和，最后根据周期计算 的值. 【详解】因为①， 将 替换为 ，得②， 由①+②得， 再将 替换为 得， 于是 ， 再将 替换为 ， 得 所以，所以的一个周期为6， 令 ，则, 令 ，则, 令 ，则, 令 ，则, 令 ，则, 令 ，则, 则一个周期和： 因为，故 . 故答案为：2029. 14. 袋中有除颜色外其余完全相同的个红球和个白球，每次取个球，若取出红球，则不放回；若取出白球，则放回.现连续取次球，若袋中还有个红球，则第次取出红球的概率为________ 【答案】 【解析】 【分析】先设事件，再应用独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式得出，最后应用条件概率公式计算求解. 【详解】记“第次取出白球为事件”，“第次取出红球为事件”，“连续取球3次，袋中还有1个红球为事件”， 事件的发生，意味着三次取球中有且仅有一次取到红球，该次可能是第一次、第二次或第三次，这三种情况互斥， 则， 因为， ，， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， . （1）当时，求的内切圆的半径； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算得出角B，再应用面积计算内切圆半径； （2）应用余弦定理得出函数，再应用函数的单调性得出值域即可求解. 【小问1详解】 因为，，得， 由及正弦定理得， 由余弦定理得，又，故， 设内切圆的半径为，则， 解得. 【小问2详解】 由题意知，， 在中，， 由三角形的三边关系可得得， 令，由对勾函数的性质可得当时单调递减， 当时，单调递增， 又，，， 所以， 所以的取值范围为. 16. 某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. （1）设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； （2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【答案】（1）模型的拟合程度更好 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据相关数据分别计算出和y的相关系数和x和v的相关系数，比较大小，即可得结论； （2）根据最小二乘估计公式求出相关参数，即可得答案. 【小问1详解】 令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好. 【小问2详解】 由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 所以， 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以. 17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，离心率为 ，点 在 上，过 的直线 与 相交于 ，两点. （1）求的方程； （2）求 面积的最大值. 【答案】（1） （2）12. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上列式计算求参即可得出椭圆方程； （2）先设直线方程，再联立方程得出韦达定理结合弦长公式求面积，最后应用函数单调性得出最大值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 解得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 由，知，得到， 设，，， 由，得， 由， 由韦达定理得，， ， 所以的面积， 令，则，， 因为函数在上单调递增，所以， ，即面积的最大值为12. 18. 在如图所示的五面体中， 是等腰直角三角形，，， 均垂直平面 ，. （1）求证：平面 平面 ； （2）设四棱锥 的外接球球心为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）应用勾股定理得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面  与平面  的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，，，， 所以四边形，四边形均为直角梯形， 因为，所以， 所以，所以， 在中，可得，在中，可得， 在梯形中，可得， 所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点为， 在中，， 同理可求得，则的中点即为四棱锥外接球的球心. 以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则 令， 得. 设平面的法向量， 则 令， 得. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数 . （1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若有2个极值点 ，求的取值范围； （3）当且时，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，求得切线方程，结合切线在轴上的截距为，列出方程，即可求解； （2）根据题意，转化为有两个不同的正根，列出不等式组，求得，再由，令，利用导数求得的单调性和最小值，进而求得其范围； （3）由（2）知，得到，令，求得，结合累加法和对数的运算性质，得到，进而证得成立. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 则且，所以， 因为切线在轴上的截距为， 令，可得，解得. 【小问2详解】 解：若有2个极值点，则有两个不同的正根， 即方程有两个不同的正根， 则满足，解得， 由 ， 令，可得， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 因为，当时，，所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 证明：由（2）知，当时，， 即，当且仅当时，等号成立， 令，则，整理得， 所以， 将上述的不等式两边相加， 可得， 整理得， 所以，其中且， 故当且时，不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 记等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 18 B. 28 C. 30 D. 42 4. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 5. 已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与的右支交于点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 已知向量，，，，且，则（） A. 与的夹角为 B. 在上的投影向量为 C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，且，为上任意一点，为圆上任意一点，则（ ） A. B. C. 可能是等腰三角形 D. 点到直线的最小距离为 11. 记数列的前项和为，，，当时，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是等差数列 D. 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共分. 12. 展开式中含项的系数为_____ 13. 已知函数，，，则_____ 14. 袋中有除颜色外其余完全相同的个红球和个白球，每次取个球，若取出红球，则不放回；若取出白球，则放回.现连续取次球，若袋中还有个红球，则第次取出红球的概率为________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， . （1）当时，求的内切圆的半径； （2）求的取值范围. 16. 某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. （1）设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； （2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，离心率为 ，点 在 上，过 的直线 与 相交于 ，两点. （1）求的方程； （2）求 面积的最大值. 18. 在如图所示的五面体中， 是等腰直角三角形，，， 均垂直平面 ，. （1）求证：平面 平面 ； （2）设四棱锥 的外接球球心为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 19. 已知函数 . （1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若有2个极值点 ，求的取值范围； （3）当且时，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $