精品解析：内蒙古呼和浩特市赛罕区2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期初二年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分100分．考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 人工智能大模型通过海量数据训练，拥有庞大参数，能模拟人类智能处理复杂任务，如对话与创作．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字对应的图案为轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. Kimi 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，B为线段上一点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，B，D，E，C四点共线，且△ABD≌△ACE，若∠AEC=105°，则∠DAE的度数等于（　　）． A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 6. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交AB于点D，连接，若，，则（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 8. 日常生活中取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是将这些数值任意排列，可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（ ） A. 020401 B. 402010 C. 100420 D. 041020 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 11月30日，我国成功实现12K小丝束T1000级碳纤维国产化量产，这标志着国产高性能碳纤维规模化量产实现关键性突破．量产的T1000级碳纤维单丝直径仅0.0000065米，不足头发丝的十分之一．数字0.0000065用科学记数法表示为_______米． 10. 分解因式：，结果为_______． 11. 在中，线段是的角平分线，是边上的中线，垂直于，已知：，，，则长是_______． 12. 如图，等边边长为，点D、E分别在边，边上，以为边向下作等边，连接，当且的周长最小时，的长为_______． 三、解答题（共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 13 计算 （1）； （2）． 14. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 15. （1）先化简，再求值然后从中选出一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． （2）解方程：； 16. 如图，的顶点分别为，，， （1）作出关于x轴对称的图形，写出顶点D、E、F的坐标． （2）在坐标系中作出的重心P，保留作图痕迹． （3）在重心的综合实践活动中，同学们探索发现了三角形重心的一个重要性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，请据此性质，求出的面积． 17. 请根据以下素材，探索完成任务． 如何确定托县葡萄销售利润的探究活动 素材1 呼和浩特市下辖托克托县盛产葡萄，素有“葡萄之乡”的美誉，其中“玫瑰香”最受欢迎．数学课外兴趣小组深入某大型超市进行活动，了解托克托县葡萄销售情况．经调查，超市用3000元购进了托县葡萄进行销售； 素材2 由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种葡萄，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进葡萄数量是第一次的2倍还多300千克； 素材3 超市进行让利促销活动，将该品种葡萄按定价每千克9元的九折（“九折”即定价的）出售，全部售完； 问题解决 任务1 探求葡萄的第一次进货数量 若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为________千克．（用含a的代数式表示） 任务2 探究该种葡萄第一次的进价 据以上素材提供的信息，求出第一次葡萄进价是多少元？ 任务3 探究葡萄全部售出后的利润 超市全部售出这种葡萄共盈利多少元？ 18. 在综合与探究活动课上，老师带领同学们以含30°角的直角三角形为基本图形，开展了一系列几何探究，发现了图形中隐藏的数量关系． 已知，在中，，． （1）探究一： 如图1，取的中点D，连接，在上截取，连接，求的度数； （2）探究二： 如图2，分别以，为边向外作等边和等边，连接交于点K，求证：； （3）深入探究： 如图3，垂直平分交于点P，若点Q在线段上运动（不与点A，P，C重合），以为一边，在上方作，交的延长线于点S，请直接写出，与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期初二年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分100分．考试时间90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 人工智能大模型通过海量数据训练，拥有庞大参数，能模拟人类智能处理复杂任务，如对话与创作．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字对应的图案为轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. Kimi 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：A．选项图形是轴对称图形，符合题意； B．选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C．选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D．选项图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式，积的乘方的逆运算，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选D． 3. 如图，在中，，，B为线段上一点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理分别求得，，再根据即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故选：C． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，逐一验证各选项因式分解的正确性，包括等式是否成立及是否分解彻底． 【详解】解：选项A: ，右边展开为，与左边相差，故A错误； 选项B: ，等式成立，但可继续分解为 ，分解不彻底，故B错误； 选项C: ，右边展开为，与左边相等，且为完全平方式，故C正确； 选项D: ，右边展开为，与左边不符，应为，故D错误． 故选：C． 5. 如图，B，D，E，C四点共线，且△ABD≌△ACE，若∠AEC=105°，则∠DAE的度数等于（　　）． A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC=105°， ∴∠ADE=∠AED=75°， ∴∠DAE=180°﹣75°﹣75°=30°， 故选A． 6. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． 【详解】A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 故选：D． 7. 如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交AB于点D，连接，若，，则（ ） A 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据作图可知垂直平分线段，则，然后利用等边对等角和三角形外角的性质求出即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：A． 8. 日常生活中取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是将这些数值任意排列，可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（ ） A. 020401 B. 402010 C. 100420 D. 041020 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式x，再利用平方差公式把对应的多项式分解因式，再代入x、y的值求出分解出的每个因式的结果，再结合题意求出所有可能的密码即可得到答案． 【详解】解：， 当，时，，，， ∴用上述方法产生的密码可以是，，，，，， 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 11月30日，我国成功实现12K小丝束T1000级碳纤维国产化量产，这标志着国产高性能碳纤维规模化量产实现关键性突破．量产的T1000级碳纤维单丝直径仅0.0000065米，不足头发丝的十分之一．数字0.0000065用科学记数法表示为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数字0.0000065中，第一个非零数字是6，因此系数为6.5，小数点向右移动6位，故指数为，用科学记数法表示为． 故答案为：． 10. 分解因式：，结果_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11. 在中，线段是的角平分线，是边上的中线，垂直于，已知：，，，则长是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．过D点作于F点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长． 【详解】解：过D点作于F点，如图， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵线段是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：4． 12. 如图，等边边长为，点D、E分别在边，边上，以为边向下作等边，连接，当且的周长最小时，的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握两点之间线段最短，直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半是解题的关键．作点F关于对称点，连接，当B，F，D，共线，且点D为中点时，的周长最小，由等边三角形的性质得到，，根据即可求解． 【详解】解：如图，作点F关于对称点，连接， 则， ∵，为等边三角形， ∴的周长为， 当B，F，D，共线，且点D为中点时，的周长最小， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，平方差公式和完全平方公式． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后去括号合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质， （1）直接利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，则，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 15. （1）先化简，再求值然后从中选出一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． （2）解方程：； 【答案】(1) ，取 ，原式 ； (2) 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握分式的运算法则，解分式方程的步骤是解题的关键： （1）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行验根即可． 【详解】（1）解：原式 ； ∵， ∴， ∵， ∴当时，原式； （2）解：， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴是原方程的解． 16. 如图，的顶点分别为，，， （1）作出关于x轴对称的图形，写出顶点D、E、F的坐标． （2）在坐标系中作出的重心P，保留作图痕迹． （3）在重心的综合实践活动中，同学们探索发现了三角形重心的一个重要性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，请据此性质，求出的面积． 【答案】（1）图见解析，，， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，重心的定义，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和重心的定义． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接即可； （2）找到边、的中点，作出边、边上的中线相交于点P即可； （3）先利用网格求出，则，再根据重心的性质得，则，进而得，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，，，； 【小问2详解】 解：如图，重心P即为所求； 【小问3详解】 解：根据网格图形可知，， ∵O是的中点， ∴， ∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 即的面积为． 17. 请根据以下素材，探索完成任务． 如何确定托县葡萄销售利润的探究活动 素材1 呼和浩特市下辖托克托县盛产葡萄，素有“葡萄之乡”的美誉，其中“玫瑰香”最受欢迎．数学课外兴趣小组深入某大型超市进行活动，了解托克托县葡萄销售情况．经调查，超市用3000元购进了托县葡萄进行销售； 素材2 由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种葡萄，但这次进价比第一次的进价提高了，购进葡萄数量是第一次的2倍还多300千克； 素材3 超市进行让利促销活动，将该品种葡萄按定价每千克9元的九折（“九折”即定价的）出售，全部售完； 问题解决 任务1 探求葡萄的第一次进货数量 若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为________千克．（用含a的代数式表示） 任务2 探究该种葡萄第一次的进价 据以上素材提供的信息，求出第一次葡萄进价是多少元？ 任务3 探究葡萄全部售出后的利润 超市全部售出这种葡萄共盈利多少元？ 【答案】任务1：；任务2：5元；任务3：5010元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，分式方程应用． 任务1：根据数量总价单价，列数代数式即可； 任务2：根据第二次的进货价有两种表示方法，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 任务3：根据数量总价单价，可求出两次购进葡萄的数量，再由利润销售收入成本，即可求出结论． 【详解】解：任务1：若第一次该种葡萄进价为a元，则第一次进货数量为， 故答案为：； 任务2：第一次进货数量为，则第二次的进货量为千克，第二次的进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：第一次葡萄进价是5元； 任务3：第一次进货数量为（千克）， 第二次进货数量为（千克）， 全部售出这种葡萄共盈利： （元）． 答：超市全部售出这种葡萄共盈利5010元． 18. 在综合与探究活动课上，老师带领同学们以含30°角的直角三角形为基本图形，开展了一系列几何探究，发现了图形中隐藏的数量关系． 已知，在中，，． （1）探究一： 如图1，取的中点D，连接，在上截取，连接，求的度数； （2）探究二： 如图2，分别以，为边向外作等边和等边，连接交于点K，求证：； （3）深入探究： 如图3，垂直平分交于点P，若点Q在线段上运动（不与点A，P，C重合），以为一边，在上方作，交的延长线于点S，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明是等边三角形，求出，，可得结论； （2）过点M作于F．利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明，，即可解决问题； （3）先根据题意画出图形，连接，在上截取，使得，连接，设交于点K．证明，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点M作于F． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：．理由如下： 如图，连接，在上截取，使得，连接，设交于点K． ∵垂直平分线段， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $