精品解析：辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试数学试题

2026年大连市高三双基模拟考试 数学 命题人：申丽萍 何艳国 沙绿洲 秦娇 注意事项： 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷共150分，考试时间120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的并集运算求解． 【详解】，则， 故选：A 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算及复数的模计算可得. 【详解】，， ， 故选：B 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程和离心率定义求解. 【详解】假设双曲线实轴长，虚轴长，焦距为，由双曲线，可知，故双曲线离心率， 故选：A. 4. 函数图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可. 【详解】已知，余弦函数的对称中心为， 令，解得， 则函数的对称中心为，排除选项， 时，，对应选项， 对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误 故选：D 5. 已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期性，奇函数性质赋值计算即可. 【详解】由可知， 是一个周期为4的周期函数， 所以， 将代入，得 ， 又因为是定义在上的奇函数，故 所以， 所以， 所以. 故选：B. 6. 记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再根据等差数列前项和公式以及二次函数性质可得结果. 【详解】由可得数列为等差数列， 又可得，因此； 所以公差满足，因此； 即， 又因为，所以当或时，取得最大为45. 故选：C 7. 已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设作的中点，利用向量的加法法则将转化为；结合图形可得进而即可求解. 【详解】依题意，直线可化为，所以直线过定点； 圆的圆心为，半径为，所以，所以定点在圆的内部； 如上图（左），作的中点，则，所以； 如上图（中），在中，，当与重合时取等号，此时； 如上图（右），在中，，当与共线时取等号； 所以.当与重合，且，共线时取等号. 故选：D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对勾函数性质可得，令，求导，根据导数可得在区间上恒成立，进而可判断的大小关系. 【详解】由题意得， 令，由对勾函数可知， 函数在上单调递增， 则， 而，， 令， 因为，所以， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减， 因为，所以，所以， 令， 可得 所以函数在上单调递增， 故，即，所以， 所以存在实数，使得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，，，， 所以在区间上恒成立，故， 综上，故A正确. 故选：A 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是空间中四个不同的点，下列命题正确的是（ ） A. 若与是异面直线，则与是异面直线 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，假设与是共面直线，则在同一个平面内，所以与是共面直线，与题设与是异面直线矛盾，故A正确； 对于B，因为，所以点都在的垂直平分面上，但与的长度无法确定，故B错误； 对于C，由B知，点都在的垂直平分面上，所以，故C正确； 对于D，因为，所以与的位置有平行、相交或异面，故D错误. 故选：AC. 10. 若抛物线的焦点为，过的直线与相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设过的直线为，，直线与抛物线联立方程由韦达定理可得，.由可判断A；由两点间距离公式计算可判断B；由抛物线定义结合取等条件可判断C；由，，计算可判断D. 【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线， 设过的直线为，， 则，，， 由韦达定理可得，， ， ， 对于A，， 因为， 所以，即，故A正确； 对于B，， 当，即时，有最小值为，即，故B错误； 对于C，过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时， 因为直线与相交于两点，若，则直线与轴平行，不满足题意， 所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 因为，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（ ） A. 集合具有性质 B. 当时，具有性质的集合有无数个 C. 若集合具有性质，且，则 D. 已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用列举法来配对两两数量积为，即可判断A，利用总满足性质，即可判断B，利用分类列举，并通过数量积为，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配对数量积为，即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故A正确； 当时，令，， 则， 因为， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质， 因为正数有无数个，所以具有性质的集合有无数个，故B正确； 若集合具有性质， 则取，则只可能是 根据，依次解得：， 因为，且要满足集合中元素互异性，所以, 检验：当时， ， 因为 ， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质， 当时， ， 因为 ， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故C错误； 由C选项可知：满足，此时 假设满足题意，则取，要使其存在正交向量， 即，因为，所以必须为负数，即，此时， 由，逐一检验可知，只有时，，符合， 以此类推可得：有穷数列的通项公式为， 下证明充分性： 对于任意且 不妨假设，总存在满足， 有穷数列的通项公式为,故D正确； 故选：ABD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件确定圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥侧面积公式求结论. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 13. 已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用导数的几何意义建立方程计算即可. 【详解】易知，设， 所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意可知，解之得或， 当时，，此时切点在x轴上，不合题意；当时，； 所以. 故答案为： 14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】计算出的表达式，再根据均值公式和错位相减法即可得到，从而得到答案. 【详解】抛掷总次数 ，其中， . 所以 相减得 . 所以，所以正整数的最小值为3． 故答案为：3. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计月用电量样本数据的中位数； （3）在该小区所有居民用户中随机抽取一用户，已知的月用电量落在区间中，估计的月用电量恰好落在区间中的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，列式计算，即可得答案； （2）判断出样本数据的中位数落在哪个区间内，进而根据中位数的求解方法列式，即可求得答案； （3）先求出区间内的频率，再求出区间内的频率，根据概率的计算公式即可估计的月用电量恰好落在中的概率. 【小问1详解】 频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，每组的组距为50， 根据上述性质可得： , 解得； 【小问2详解】 首先计算前几组的频率： 区间的频率：， 区间的频率：， 区间的频率：， 前两组频率之和为，前三组频率之和为， 所以中位数在内， 设中位数为m，则， 解得； 【小问3详解】 先计算区间的频率： 区间的频率：， 区间的频率：， 区间的频率：， 所以区间的频率为，区间的频率为0.18， M的月用电量落在区间中时， 恰好落在区间中的概率为. 16. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线. （1）证明：； （2），点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明：在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以； （2）（i）证明： 因为点在直线上， 设，因为，则，即， 设点所在球的球心， 则， 即， 解得，即球心，半径为， 又， 所以点在球的球面上； （ii）或 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理再结合性质定理证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据，得，设球的球心，根据得球心，半径为，验证即可； （ii）设，平面的法向量为，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， （i）略 （ii）设，且， 设平面的法向量为，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 所以的长为或. 17. 已知与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. （1）若平分，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定理判断三角形类型，确定边长关系，再结合余弦定理直接求解. （2）利用坐标将几何问题代数化，利用向量点积公式计算夹角余弦值，进一步得出正弦值. 【小问1详解】 因为平分，所以， 又因为为中点，且边与边相交于点， 所以在中，是的平分线且过对边的中点， 故是等腰三角形，即， 在中，由余弦定理得：， ， 所以，， 则在中，，，，由余弦定理得： ，解得， 又因为，则， 所以， 同理，在中，，，，由余弦定理得： ， ， 所以. 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 由图可知坐标为， 因为，，得坐标为， 又因为为中点，由中点坐标公式得出点坐标为， 设点坐标为，由和，得出点坐标为, 所以，， 则， 所以， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）（i）; （ii）证明：易知， 联立得， 所以， 则 ，是定值，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义与性质计算即可； （2）（i）先证明椭圆上一点的切线方程公式，联立切线方程求交点，设方程及即可判定M的轨迹；（ii）利用两点斜率公式结合上问切线方程，联立直线与椭圆根据韦达定理计算即可证明. 【小问1详解】 由题意可设，则， 根据椭圆的定义可知的周长为 ， 所以，即椭圆方程为； 【小问2详解】 设点在椭圆上，易知， 所以， 即，当且仅当时取得等号， 即椭圆上有且仅有一点在直线上， 所以过椭圆上一点的切线方程为：； （i）由上知，可设l方程为，， 而直线斜率存在且不为0及椭圆的对称性可知， 则分别为， 联立可得是定值， 又作差可得，整理得， 即，所以M点在定直线上； （ii）略 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设，函数有四个零点，且. （i）当时，证明：； （ii）证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间. （2） 证明：因为， 所以是偶函数. 因为有四个零点,且， 所以. 令，则或，其中， 当时，， 因为（当且仅当时取等号）， 所以在单调递减， 因为，和各有一解，且， 所以，即得， 因为 即， 因为，且在单调递减， 所以，即 （i）因为，， 所以， 又因为在单调递减，即得， 所以. 设，则， 所以在单调递减，则，即，得证. （ii）因为为偶函数，所以. ， 因为，且，所以， 所以，即， 设，（当且仅当时取等号） 所以在上单调递增. 因为， 所以， 所以， 又因为 所以. 【解析】 【分析】（1）对求导，根据符号判断单调区间； （2）（i）分析可得为偶函数且在单调递减，根据，结合 题干可得，构造函数，根据单调性即可求解； （ii）根据为偶函数，可得，将问题转化为证明 ，构造函数，分析函数单调性，可得即可证明. 【小问1详解】 函数定义域为， (当且仅当时取等号)， 所以的单调递减区间为,无单调递增区间. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年大连市高三双基模拟考试 数学 命题人：申丽萍 何艳国 沙绿洲 秦娇 注意事项： 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷共150分，考试时间120分钟. 一､单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 函数图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11 7. 已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是空间中四个不同的点，下列命题正确的是（ ） A. 若与是异面直线，则与是异面直线 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若抛物线的焦点为，过的直线与相交于两点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（ ） A. 集合具有性质 B. 当时，具有性质的集合有无数个 C. 若集合具有性质，且，则 D. 已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________． 13. 已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标为__________. 14. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计月用电量样本数据的中位数； （3）在该小区所有居民用户中随机抽取一用户，已知的月用电量落在区间中，估计的月用电量恰好落在区间中的概率. 16. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线. （1）证明：； （2），点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 17. 已知与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. （1）若平分，求； （2）若，求. 18. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设，函数有四个零点，且. （i）当时，证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $