微专题07：数列求和的常用方法【知识梳理+题型归纳】讲义-2026届高三数学二轮复习

2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题07：数列求和的常用方法】 【高考定位】 1.考查频率数列求和是高考数列板块的核心考点，全国卷与新高考卷每年必考，多以解答题第或选择题、填空题形式出现 2.考查难度中档为主，偶尔结合函数、不等式、数学归纳法提升难度，区分度较强 3.核心考向①等差、等比数列求和公式的直接应用②非等差等比数列的转化求和（裂项相消、错位相减为高频）③与通项公式结合的综合求和 【真题体验】 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 2．（2012·新课标卷·高考真题）数列满足，则的前项和为 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 6．（2014·广东·高考真题）已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足， （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切的正整数都有 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1:分组求和与并项求和】 【核心归纳】 分组求和本质是“化整为零”的转化思想适用于通项公式可拆分为多个等差等比数列或常见可求和数列和差形式的数列并项求和则针对通项含正负交替项相邻项合并后可化为定值或易求和形式的数列核心是通过合并项简化求和过程常与数列的奇偶性分析结合考查是教材中分组转化思想的延伸应用 （2025·新疆·模拟预测）已知正项数列满足，，且，，成等比数列.经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)若数列中第2项，第4项，，第项构成新数列，记的前项和为，求. 【规律方法总结】 1分组求和法 适用条件数列通项可表示为其中分别为等差等比数列或其他可直接求和的数列 核心步骤①拆分通项将拆分为若干个易求和数列的项的和或差②分别对拆分后的每个数列进行求和运用对应数列的求和公式③将各部分求和结果相加或相减得到原数列的前项和 核心公式若则其中为等差数列前项和为等比数列前项和 等差数列前项和（为等差数列首项为公差） 等比数列前项和当时当时（为等比数列首项为公比） 关键提醒拆分时需保证项数一致符号准确等比数列求和务必分公比与讨论贴合教材基础公式的严谨性要求 2并项求和法 适用条件数列通项含或类似正负交替结构相邻两项或多项合并后可得到常数等差/等比项或可求和形式如且为定值或易求和式 核心步骤①观察数列项的符号规律与数值特征确定合并的项数（通常为两项一组特殊情况为三项一组）②对每组项进行合并化简得到新的易求和数列③分数列项数为奇数偶数两种情况讨论求和避免遗漏末尾单独项 关键提醒合并项时需准确判断符号变化规律项数奇偶性对结果影响较大需重点关注这是高考命题中常见的易错点 （2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.小试牛刀1 (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 （2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且．小试牛刀2 (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) （2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和．已知．小试牛刀3 (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 【热点题型2：裂项相消求和】 【核心归纳】 裂项相消求和是高考高频考点核心是将数列通项拆分为两个项的差的形式通过累加使中间项相互抵消仅保留首尾有限项求和该方法适用于通项为分式根式阶乘二次式对数或三角函数形式的数列本质是“化繁为简”的转化思想教材中分式数列求和问题多以此为核心方法高考常结合通项推导不等式证明综合考查 （2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 【规律方法总结】 适用条件通项可转化为的形式且累加后中间项能完全抵消或部分抵消 核心步骤①裂项转化根据通项特征选择对应裂项模型将拆分为两项之差拆分后需验证等式成立（避免裂项错误）②累加求和写出前项和的展开式标注可抵消的中间项③化简结果保留首尾剩余项整理得到 核心结论裂项相消后剩余项具有固定规律若裂项形式为则累加后剩余前项的前半部分和后项的后半部分系数需严格匹配不可遗漏 常见裂项模型 1基础分式裂项（为非零常数）当时当时 2二次分式裂项 3根式裂项（为正常数）核心是分母有理化转化特例 4阶乘裂项（）利用阶乘的运算性质拆分 （2025·广东汕尾·一模）记为递增数列的前项和，.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记的前项和为，证明：. （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是数列的前项和，且满足，，数列满足，小试牛刀2 (1)求和； (2)若数列满足，，求的前项和. （2025·广东广州·模拟预测）已知数列中，，．小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)给定正整数m，设函数，求． 【热点题型3：错位相减求和】 【核心归纳】 错位相减求和是针对“等差×等比”型数列求和的唯一核心方法即数列通项可表示为一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积记为（为常数为等比数列公比）该题型是高考解答题的高频考点教材中等比数列求和公式推导思路为其方法基础核心是通过“乘公比→作差→化简”消去中间项掌握大招公式可直接秒杀大幅提升解题效率 （2025·辽宁丹东·模拟预测）已知数列的前项和为，且，各项均为正数的递增数列满足，.经典例题例题 (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)记数列的前项和为，求. 【规律方法总结】 核心大招公式（直接套用型） 设等差数列通项为（公差）等比数列通项为（公比首项）则数列前项和 其中系数计算公式 传统核心步骤（推导验证用） ①写出前项和②乘公比两边同乘等比数列的公比得③作差用得到④化简中间项为等比数列求和代入等比数列求和公式整理得到⑤验证代入或验证结果正确性排除计算错误 关键提醒作差时需注意最后一项的符号中间等比数列的项数为项避免项数计数错误公比时需单独讨论直接转化为等差数列求和大招公式需牢记系数推导逻辑避免死记硬背计算过程中注意通分与因式分解减少运算失误 （24-25高三下·安徽安庆·月考）已知数列的前项和为小试牛刀1 (1)求数列的通项公式 (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.设，求； （2024·福建·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且.小试牛刀2 (1)写出，，并求的通项公式； (2)记求. （2024·福建龙岩·一模）设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和.小试牛刀3 (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和. 【热点题型4：插项，公共项，并项求和】 【核心归纳】 该题型属于数列求和的综合应用核心围绕数列的项的构造与筛选展开插项求和是通过添加辅助项转化为已知求和模型公共项求和是筛选两个或多个数列的公共项构成新数列后求和并项求和侧重特殊结构项的合并（与题型1并项求和互补含周期数列并项）均体现“转化与化归”思想是教材中数列性质与求和方法的综合延伸高考中多以中档压轴题形式出现 （2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足.经典例题例题 (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【规律方法总结】 1插项求和 适用条件数列通项不直接符合常见求和模型通过添加或删除若干项（插项）转化为等差等比数列或可裂项错位相减的数列 核心方法①分析通项特征确定插项目标（转化为已知模型）②合理插项保证插项后新数列的求和可运用已有方法③对新数列求和后扣除或补充插项的数值得到原数列的和 关键提醒插项需遵循“等价转化”原则插项的数值与项数需准确计算避免破坏原数列的项数对应关系 2公共项求和 适用条件已知两个或多个数列（通常为等差等比数列）求其公共项构成的新数列的前项和 核心方法①判断公共项构成的新数列类型若原数列均为等差数列公共项构成的新数列仍为等差数列（无公共项除外）若原数列为等差与等比数列通过通项等式求解公共项②求新数列的首项与公差（或公比）联立原数列通项公式求解正整数解确定首项与递推关系③运用对应求和公式求新数列的和 关键提醒需验证公共项的周期性与唯一性避免遗漏或重复计数联立方程求解时需结合正整数条件筛选解确保新数列的项均为原数列的公共项 3特殊并项求和（补充题型1） 适用条件数列含周期结构或相邻多项合并为定值（非仅两项）如周期为3的数列含（为常数）的数列 核心方法①确定数列周期计算一个周期内各项的和②计算前项包含的完整周期数与剩余项数③总求和（为剩余项的和） （2023·福建福州·模拟预测）已知数列的首项，，.小试牛刀1 (1)设，求数列的通项公式； (2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求. （2023·湖北武汉·一模）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.小试牛刀2 (1)求数列{an}的通项公式； (2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. （2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： .小试牛刀3 课后针对训练 一、填空题 1．（23-24高二下·四川绵阳·月考）已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和 . 2．（2025·云南昆明·模拟预测）在数列中，若，则，，设数列的前项和为，则使成立的正整数的最大值为 . 3．（2023·贵州黔东南·模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 . 4．（2023·河南·模拟预测）已知为数列的前项和，，则 ；令，数列的前项和为，若存在，使得，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高三上·河南漯河·期末）数列满足，若为数列的前项和，则 . 6．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，已知则 ． 7．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且满足，则 ．（其中表示不超过的最大整数） 8．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 9．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和 . 10．（24-25高三上·云南·月考）已知在数列中，，且对任意的m，，都有，设，记函数在处的导数为，则使得成立的n的最小值为 ． 11．（2025·云南·模拟预测）有一个摸球游戏，一个不透明口袋中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同，为了增加游戏的趣味性，需先抛掷一枚质地均匀的骰子来确定摸球方式.若抛掷骰子得到的点数大于2，则一次摸出一个球，否则一次摸出2个球.摸到红球就算中奖，游戏结束.若未中奖，需要把摸到的球放回口袋，重复上述过程.用随机变量表示摸球的次数，记，则大于的最小整数为 . 12．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若 ，则 . 二、解答题 13．（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)求； (3)证明：. 14．（2025·江苏·模拟预测）已知数列的首项，且满足. (1)证明：是等差数列； (2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 15．（2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 16．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【微专题07：数列求和的常用方法】 【高考定位】 1.考查频率数列求和是高考数列板块的核心考点，全国卷与新高考卷每年必考，多以解答题第或选择题、填空题形式出现 2.考查难度中档为主，偶尔结合函数、不等式、数学归纳法提升难度，区分度较强 3.核心考向①等差、等比数列求和公式的直接应用②非等差等比数列的转化求和（裂项相消、错位相减为高频）③与通项公式结合的综合求和 【真题体验】 1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 【答案】 5 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 2．（2012·新课标卷·高考真题）数列满足，则的前项和为 【答案】1830 【详解】试题分析：，令 则 ，即数列是以16为公差的等差数列， 的前60项和为即为数列{bn}的前15项和 考点：数列递推式，数列求和 【名师点睛】本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，属难题.解题时要注意等差数列的求和公式的应用，解题的关键是有已知条件的特征构造等差数列，利用等差数列求和. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 6．（2014·广东·高考真题）已知各项均为正数的数列的前 项和为，且满足， （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切的正整数都有 【答案】（1）；（2）；（3）详见解析. 【详解】试题分析：（1）将代入方程 得到，结合题中条件（数列 的各项均为正数，得到）求出 的值，从而得到的值；（2）由十字相乘法结合 得到的表达式，然后在 的情况下，由求出数列 的表达式，并验证是否满足该表达式，从而得到数列的通项公式；（3）解法一是利用放缩法得到 ，于是得到 ，最后利用裂项求和法证明题中的不等式；解法二是保持不放缩，在 的条件下放缩为 ，最后在 和时利用放缩法结合裂项法证明相应的不等式. （1）令得： ，即，， ，，即 ； （2）由，得 ， ， ，从而，， 所以当时，， 又，； （3）解法一：当时，， . 证法二：当时，成立， 当时，， 则 . 考点：本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解，以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中等偏难题. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1:分组求和与并项求和】 【核心归纳】 分组求和本质是“化整为零”的转化思想适用于通项公式可拆分为多个等差等比数列或常见可求和数列和差形式的数列并项求和则针对通项含正负交替项相邻项合并后可化为定值或易求和形式的数列核心是通过合并项简化求和过程常与数列的奇偶性分析结合考查是教材中分组转化思想的延伸应用 （2025·新疆·模拟预测）已知正项数列满足，，且，，成等比数列.经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)若数列中第2项，第4项，，第项构成新数列，记的前项和为，求. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据递推公式得到为等差数列，设公差为，从而得到方程，求出公差，求出通项公式； （2）由题得到，分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）因为，故为等差数列，设公差为， 又，所以，，， ，，成等比数列，故，解得或4， 由于为正项数列，所以， ； （2）由题意，， . 【规律方法总结】 1分组求和法 适用条件数列通项可表示为其中分别为等差等比数列或其他可直接求和的数列 核心步骤①拆分通项将拆分为若干个易求和数列的项的和或差②分别对拆分后的每个数列进行求和运用对应数列的求和公式③将各部分求和结果相加或相减得到原数列的前项和 核心公式若则其中为等差数列前项和为等比数列前项和 等差数列前项和（为等差数列首项为公差） 等比数列前项和当时当时（为等比数列首项为公比） 关键提醒拆分时需保证项数一致符号准确等比数列求和务必分公比与讨论贴合教材基础公式的严谨性要求 2并项求和法 适用条件数列通项含或类似正负交替结构相邻两项或多项合并后可得到常数等差/等比项或可求和形式如且为定值或易求和式 核心步骤①观察数列项的符号规律与数值特征确定合并的项数（通常为两项一组特殊情况为三项一组）②对每组项进行合并化简得到新的易求和数列③分数列项数为奇数偶数两种情况讨论求和避免遗漏末尾单独项 关键提醒合并项时需准确判断符号变化规律项数奇偶性对结果影响较大需重点关注这是高考命题中常见的易错点 （2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.小试牛刀1 (1)求数列和的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得； （2）求得后，采用错位相减法可求得结果； （3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得：，； ， ， 当且时，， ，则； 当时，，满足； 综上所述：. （2）由（1）得：， ， ， ， . （3）当为奇数时，；当为偶数时，； ，均为递增数列，，，， 的前项中，包含数列的前项和数列的前项， 的前项和为 . （2025·浙江金华·一模）已知数列，满足()，且．小试牛刀2 (1)证明：数列与均为等比数列； (2)求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知得，结合等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得，，进而有，根据新定义及分组求和、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由，可得， 又， 所以与均为等比数列； （2）由（1）知，，所以， 则，， . （2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和．已知．小试牛刀3 (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，则， 又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列， . （2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则， 因此 ， 所以数列的前项和. 【热点题型2：裂项相消求和】 【核心归纳】 裂项相消求和是高考高频考点核心是将数列通项拆分为两个项的差的形式通过累加使中间项相互抵消仅保留首尾有限项求和该方法适用于通项为分式根式阶乘二次式对数或三角函数形式的数列本质是“化繁为简”的转化思想教材中分式数列求和问题多以此为核心方法高考常结合通项推导不等式证明综合考查 （2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求数列的前项和，再根据数列的单调性证明. 【详解】（1）由题意. 当时， . 当时，，， 两式相减，得 所以， 又因为，所以. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以. （2）因为 ， 所以 ， 因为为单调递增数列，且, 所以. 【规律方法总结】 适用条件通项可转化为的形式且累加后中间项能完全抵消或部分抵消 核心步骤①裂项转化根据通项特征选择对应裂项模型将拆分为两项之差拆分后需验证等式成立（避免裂项错误）②累加求和写出前项和的展开式标注可抵消的中间项③化简结果保留首尾剩余项整理得到 核心结论裂项相消后剩余项具有固定规律若裂项形式为则累加后剩余前项的前半部分和后项的后半部分系数需严格匹配不可遗漏 常见裂项模型 1基础分式裂项（为非零常数）当时当时 2二次分式裂项 3根式裂项（为正常数）核心是分母有理化转化特例 4阶乘裂项（）利用阶乘的运算性质拆分 （2025·广东汕尾·一模）记为递增数列的前项和，.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题设利用分和结合等差数列定义即可依次求出数列的首项和通项公式； （2）由错位相减求和方法结合等比数列前n项和公式即可求解； （3）方法一：由和放缩公式结合裂项相消求和法计算求证即可得证； 方法二：由数列的单调性和放缩公式得到即可计算求证. 【详解】（1）由题令，则，解得， 当时，， 所以，即， 因为，且是递增数列，所以， 所以，即是公差和首项均为2的等差数列， 所以. （2）设是数列的前项和， 因为，所以， 所以， 则， 两式相减得，即. （3）方法一：， 所以，① 因为， 所以，② ①+②得， 即，所以. 方法二：因为是递增数列，所以是递减数列. 所以， 所以， 所以 . （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是数列的前项和，且满足，，数列满足，小试牛刀2 (1)求和； (2)若数列满足，，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据和的关系，结合化简可得，，再利用累乘法可求得，由化简得，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求得； （2）由题设可得，根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意可知，， 则，则， 则，， 所以， 则，， 而满足上式，则. 由，则， 则，即，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即. （2）由， 则， 所以 . （2025·广东广州·模拟预测）已知数列中，，．小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据给定递推公式，变形并构造常数列求出通项公式. （2）由（1）求出及导数，再利用裂项相消法求出目标值. 【详解】（1）在数列中，由，得， 即， 则数列是常数列，而，因此，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，，函数， 求导得 则， 而， 所以 . 【热点题型3：错位相减求和】 【核心归纳】 错位相减求和是针对“等差×等比”型数列求和的唯一核心方法即数列通项可表示为一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积记为（为常数为等比数列公比）该题型是高考解答题的高频考点教材中等比数列求和公式推导思路为其方法基础核心是通过“乘公比→作差→化简”消去中间项掌握大招公式可直接秒杀大幅提升解题效率 （2025·辽宁丹东·模拟预测）已知数列的前项和为，且，各项均为正数的递增数列满足，.经典例题例题 (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系得到递推关系，再根据等比数列通项公式求解； （2）根据已知条件判断出，两边同时开方，得到，求出，再求解即可； （3）根据错位相减法求和. 【详解】（1）当时，，又，所以. 当时，，，两式相减得：， 即，所以. 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为数列是以为首项的递增数列，所以. 又数列的各项均为正数，且， 所以， 即，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以. （3）由（1）和（2）可知， 则①， 所以②， 由① ②可得：. 令③， 则④， 由③④得 ， 所以， 所以， 所以. 【规律方法总结】 核心大招公式（直接套用型） 设等差数列通项为（公差）等比数列通项为（公比首项）则数列前项和 其中系数计算公式 传统核心步骤（推导验证用） ①写出前项和②乘公比两边同乘等比数列的公比得③作差用得到④化简中间项为等比数列求和代入等比数列求和公式整理得到⑤验证代入或验证结果正确性排除计算错误 关键提醒作差时需注意最后一项的符号中间等比数列的项数为项避免项数计数错误公比时需单独讨论直接转化为等差数列求和大招公式需牢记系数推导逻辑避免死记硬背计算过程中注意通分与因式分解减少运算失误 （24-25高三下·安徽安庆·月考）已知数列的前项和为小试牛刀1 (1)求数列的通项公式 (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.设，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的关系，作差即可求解； （2）由题意得到，再结合错位相减法求解即可； 【详解】（1）解：当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， ，又，满足， 所以，数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故. （2）解：①由题意可得， 则， 所以，， 则， 上述两个等式作差得， 因此，； （2024·福建·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且.小试牛刀2 (1)写出，，并求的通项公式； (2)记求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用递推关系，可求，的值；结合题意，可用“累加法”求数列的通项公式. （2）可以把数列的前几项一一列举，然后求和，也可以用错位相减法求和. 【详解】（1）解法一：因为，， 所以，当时，，，所以. 当时，，，所以. 当时， ， 所以 当时，也符合上式. 综上， 解法二：因为，，， 所以，当时，，，所以. 当时，，，所以. 因为， 所以，即. 所以，即. 又，所以 （2）解法一：由（1）得，即 记 则①， ② ①-②，得， 所以， 故. 解法二：由（1）得，即. 记， 则 . 故. （2024·福建龙岩·一模）设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和.小试牛刀3 (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式得，再代入计算得到，解出即可得到其通项公式； （2）根据等比数列通项公式得，再利用错位相减法即可得到答案. 【详解】（1），，， 即，， ， 又，， ， ，解得:或， 又. （2）设数列公比为， ，， ，又， ， ， . ，① ，② ①②:， ， . 【热点题型4：插项，公共项，并项求和】 【核心归纳】 该题型属于数列求和的综合应用核心围绕数列的项的构造与筛选展开插项求和是通过添加辅助项转化为已知求和模型公共项求和是筛选两个或多个数列的公共项构成新数列后求和并项求和侧重特殊结构项的合并（与题型1并项求和互补含周期数列并项）均体现“转化与化归”思想是教材中数列性质与求和方法的综合延伸高考中多以中档压轴题形式出现 （2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足.经典例题例题 (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【答案】(1)， (2)96 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，经过检验，得到的表达式； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数，从而确定数列前75项是项之后，还有5项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为d， 则，解得， 故； 又①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，，又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 故. 【规律方法总结】 1插项求和 适用条件数列通项不直接符合常见求和模型通过添加或删除若干项（插项）转化为等差等比数列或可裂项错位相减的数列 核心方法①分析通项特征确定插项目标（转化为已知模型）②合理插项保证插项后新数列的求和可运用已有方法③对新数列求和后扣除或补充插项的数值得到原数列的和 关键提醒插项需遵循“等价转化”原则插项的数值与项数需准确计算避免破坏原数列的项数对应关系 2公共项求和 适用条件已知两个或多个数列（通常为等差等比数列）求其公共项构成的新数列的前项和 核心方法①判断公共项构成的新数列类型若原数列均为等差数列公共项构成的新数列仍为等差数列（无公共项除外）若原数列为等差与等比数列通过通项等式求解公共项②求新数列的首项与公差（或公比）联立原数列通项公式求解正整数解确定首项与递推关系③运用对应求和公式求新数列的和 关键提醒需验证公共项的周期性与唯一性避免遗漏或重复计数联立方程求解时需结合正整数条件筛选解确保新数列的项均为原数列的公共项 3特殊并项求和（补充题型1） 适用条件数列含周期结构或相邻多项合并为定值（非仅两项）如周期为3的数列含（为常数）的数列 核心方法①确定数列周期计算一个周期内各项的和②计算前项包含的完整周期数与剩余项数③总求和（为剩余项的和） （2023·福建福州·模拟预测）已知数列的首项，，.小试牛刀1 (1)设，求数列的通项公式； (2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边取倒数，构造函数可得，进而可得是，的等比数列，从而求得通项公式； （2）根据题意逐个项判断、...之间的3个数，再分析组成项求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，取倒得， 所以，即，即， 因为，所以是，的等比数列， 所以. （2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3， 合计个3， 所以. （2023·湖北武汉·一模）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.小试牛刀2 (1)求数列{an}的通项公式； (2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 【答案】(1) (2)1809 【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项； （2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和． 【详解】（1）由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，， 所以时， ， 又时，，得，也满足上式. 故. （2）由.所以， 又，所以前40项中有34项来自. 故 . （2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据数列得到构成，直接观察1和2的个数，再求；观察数列，利用等差数列的求和公式，确定数列1和2的个数，再求和. 【详解】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个， 所以数列的前20项的和为； 前个1之间有个2， 所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为， 当时，个数，第45个1后面有个2， 所以 故答案为：； 课后针对训练 一、填空题 1．（23-24高二下·四川绵阳·月考）已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和 . 【答案】 【分析】由题意可得数列是等比数列，求得通项公式，进而可得，利用并项求和法求解即可. 【详解】因为，所以数列是等比数列，设数列的公比为， 又因为，，所以，解得，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 2．（2025·云南昆明·模拟预测）在数列中，若，则，，设数列的前项和为，则使成立的正整数的最大值为 . 【答案】51 【分析】由条件确定数列的前项的值，再求数列的前项的和可得，求数列的前项的和可得，由条件可得，再结合条件列不等式求的范围，由此可得结论. 【详解】因为，则，， 所以当时，， 当时，， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， ， 所以， 所以时，， 所以， 所以成立的正整数的最大值为 故答案为： 3．（2023·贵州黔东南·模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 . 【答案】 【分析】由题意可得数列中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，分别求得数列中的前10项，进而归纳出，由数列的裂项相消求和可得所求和． 【详解】由，， 可得数列中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列， 又，，可得数列的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30， 由此可得 进而可得， 则数列的前50项和为 ． 故答案为：． 4．（2023·河南·模拟预测）已知为数列的前项和，，则 ；令，数列的前项和为，若存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】（1）由与的关系求出，注意验证； （2）由求出，再分n为奇数和偶数用裂项相消分别求出，根据存在，使得，求出m即可. 【详解】由得，当时，，所以； 当时，， 所以，又， 所以， 又， 所以. 所以当时，，当时，，当为偶数时，，显然，（为偶数）单调递减， 所以； 当为奇数时，若，则，若，则， 显然（为奇数）单调递增， 所以. 综上所述. 故答案为：； 5．（23-24高三上·河南漯河·期末）数列满足，若为数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】根据裂项相消及周期求和计算即可. 【详解】， . 故答案为：. 6．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，已知则 ． 【答案】 【分析】注意到，进一步由裂项相消法即可求解. 【详解】由题意， 所以 . 故答案为：. 7．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且满足，则 ．（其中表示不超过的最大整数） 【答案】88 【分析】直接利用数列的递推关系求出，再利用放缩法结合裂项相消求出结果. 【详解】正项数列的前项和为，且满足， 当时， 当时，，整理可得： ， 所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，则，则， 则， 所以 故 因为，，，， 所以，， 所以，故， 故答案为：88 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是证明数列为首项为1，公差为1的等差数列，利用放缩法得到，注意常见的裂项相消求和模型. 8．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】由于，则， 解得或，因为等比数列为递增数列，， 所以 所以，故. 因为， 所以. 故答案为： 9．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据题意得到，从而有，再利用错位相减法，即可求出结果. 【详解】由欧拉函数的定义知：若为素数，则， 若为素数，，则， 所以，得到， 所以①， ②， ①②得到， 即，整理得到. 故答案为：. 10．（24-25高三上·云南·月考）已知在数列中，，且对任意的m，，都有，设，记函数在处的导数为，则使得成立的n的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先依据题意得出数列是等比数列且求出，接着结合题意求出，进而得，于是由错位相减法求出，再由的单调性和以及时的导数值即可得解. 【详解】令，则，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故， 由题， 所以①， 所以②， 由①－②得，， 所以，且随着n的增大而增大， 又当时，， 当时，， 故n的最小值为8. 故答案为：8. 11．（2025·云南·模拟预测）有一个摸球游戏，一个不透明口袋中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同，为了增加游戏的趣味性，需先抛掷一枚质地均匀的骰子来确定摸球方式.若抛掷骰子得到的点数大于2，则一次摸出一个球，否则一次摸出2个球.摸到红球就算中奖，游戏结束.若未中奖，需要把摸到的球放回口袋，重复上述过程.用随机变量表示摸球的次数，记，则大于的最小整数为 . 【答案】3 【分析】首先计算出每次摸到红球的概率为，再写出，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可. 【详解】设每次摸到红球的概率为，则． 由题意，知的可能取值为， 则． 设①， 则②， ①②得, 所以，所以， 所以大于的最小整数为3． 故答案为：3． 12．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若 ，则 . 【答案】 【分析】先求出的通项，再利用退位相减法可求的通项，利用错位相减法可求. 【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故， 而，故， 故，而，故，符合该式， 故， 故，所以， 所以， 故， 故答案为： 二、解答题 13．（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)求； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）双曲线的方程为代入计算得解； （2）联立方程与，解得的横坐标.求出，计算，代入得解； （3）将利用放缩法得到，利用裂项相消求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 代入得，故双曲线的方程为. （2）联立方程与，解得的横坐标. 因为， 故 ， 所以. （3）因为 ， 故 ， 当时成立. 故.    14．（2025·江苏·模拟预测）已知数列的首项，且满足. (1)证明：是等差数列； (2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，即可求证； （2）通过分组求和即可求解. 【详解】（1）证明：因为，显然，所以， 所以， 即， 又，所以是以2为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）得，， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 15．（2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且． (1)求及； (2)当为正奇数时，比较与的大小． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）先根据递推式判断为等差数列，进而根据已知条件列出方程组求出公差和首项，进而得到该数列的通项公式和前项和. （2）先列出的表达式，然后作差比较大小即可. 【详解】（1）因为，所以为等差数列． 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得， 所以， （2）由（1）知，， 当为正偶数时，， ， 则当为正奇数时， ， 则在时单调递增， ．所以； ，所以， ，所以， 由的单调性可知，当取大于5的奇数时，， 综上所述，当为小于5的正奇数时，； 当为不小于5的正奇数时，． 16．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用结合等比数列的定义即可得证； （2）利用累加法即可求得的通项公式. （3）利用裂项相消法即可求解，根据其单调性即可证明. 【详解】（1）由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； （3）由（2）得， 所以， 所以 ， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $